章末復(fù)習(xí)提升課-教案課件-人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊

章末復(fù)習(xí)提升課

知識網(wǎng)絡(luò)，缶轉(zhuǎn)。Kg]織網(wǎng)?把脈?貫通

N必然事件：戶(4)=1)

「(WA■(不可能事件：P(4)3

L(隨機(jī)事件：0vP(4)vl)

隨機(jī)事件

包含：824期6)

與概率

相等：4=8)

事件的關(guān)

系與運(yùn)算并事件：4U8或4+8)

-(交事件：4r18或48)

-(互斥事件：P(4U8)=P(4)+P(8)

概-(對立事件：P(B)=1-P0))

率有限性)

N基本特點(diǎn)

等可能性)

T古典概型戶葉

q概率計(jì)算公式一事件從鬻髓懿的個數(shù)

T事件的相互獨(dú)立性HP(4B)=P(4)P(8))

頻率的穩(wěn)定性)

q頻率與概率

隨機(jī)模擬)

主題串講，翁精研?悟道?突破

主題口L

互斥事件、對立事件的概率

遇TT某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該

超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.

一次購物量I至4件5至8件9至12件13至16件17件以上

顧客數(shù)(人)X3025y10

結(jié)算時間(分鐘/人)11.522.53

已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.

(1)確定羽y的值，并估計(jì)顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；

(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)

【解】(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.

該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)

算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機(jī)樣本，顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可

1X15+1.5X30+2X25+2.5X20+3X10

用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值為=1.9（分鐘）.

100

(2)記4為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘”，4,A2,小分別表示

事件“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1分鐘”“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1.5分

鐘”“該顧客一次購物的結(jié)算時間為2分鐘”.將頻率視為概率得

153303251

P(Ai)=j^=而，。^2)=而=正，0(43)=而=不

因?yàn)锳=4UA2UA3，且4,4,A3是互斥事件，所以

3317

P(A)=P(A?UA2UA3)=P(4)+尸(4)+。(4)=藥+而+^=而

7

故一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率為正.

回宿國囹

(1)互斥事件與對立事件的概率計(jì)算

①若事件A,A2,…，4彼此互斥，則

P(AiUA2U-UA?)=P(4I)+P(A2)H------\-P(An).

②設(shè)事件A的對立事件是A,則P(A)=1—P(A).

(2)求復(fù)雜事件的概率常用的兩種方法

①將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和.

②先求其對立事件的概率，然后再應(yīng)用公式P(A)=l—P(A)求解.

尉跟蹤訓(xùn)練;受轎車在保修期內(nèi)的維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤

與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關(guān)，某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，甲品牌車保修

期為3年，乙品牌車保修期為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌的轎車中分別隨機(jī)抽取50

輛，統(tǒng)計(jì)出在保修期內(nèi)首次出現(xiàn)故障的車輛數(shù)據(jù)如下：

品牌甲乙

首次出現(xiàn)故障

0<啟12<xW3x>30ax>2

的時間x(年)

轎車數(shù)量(輛)213442345

(1)從該廠生產(chǎn)的甲種品牌轎車中隨機(jī)?抽取一輛，求首次U《現(xiàn)故障發(fā)勺E在保修期內(nèi)的概

率;

(2)從該廠生產(chǎn)的乙種品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概

率.

(注：將頻率視為概率)

解：(1)設(shè)A,B,C分別表示甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障在第1年，第2年和第3年之內(nèi)，

設(shè)。表示甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障在保修期內(nèi)，因?yàn)锳,B,C是彼此互斥的，

2113

其概率分別為2(4)=否=石，P(B)=Q「(。=布

3

所以P(D)=P(AU8UC)=P(A)+P(B)+P(O=x，

3

即首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為天.

2+31

⑵乙品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為有鼠=而

i主題團(tuán)_____________________________

古典概型

掰習(xí)袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號分別為1,2,3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)

號分別為1,2.

(1)從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率；

(2)向袋中再放入一張標(biāo)號為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片

顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率.

【解】(1)將標(biāo)號為1,2,3的三張紅色卡片分別記為A,B,C,標(biāo)號為1,2的兩張

藍(lán)色卡片分別記為。，E.從這五張卡片中任取兩張的所有可能的結(jié)果為(4,B),(A,C),(A,

D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,。)，(C,E),(￡>,E),共10種.

由于每一張卡片被取到的機(jī)會均等，因此這些樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的.

從這五張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的結(jié)果為(A,

D),(A,E),(B,D),共3種.

3

所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的概率為行.

(2)將標(biāo)號為0的綠色卡片記為F.從這六張卡片中任取兩張的所有可能的結(jié)果為(A,B),

(4,。，(A,。)，(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),

(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15種.

由于每一張卡片被取到的機(jī)會均等，因此這些樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的.

從這六張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的結(jié)果為(A,

0,(A,E),(A,F),(B,0,(B,F),(C,F),(D,F),(E,F),共8種.所以這兩張卡

Q

片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的概率為百.

求解古典概型概率“四步”法

匾1跟蹤訓(xùn)練;甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2

女.

（1）若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，求選出的2名教師性別相同的概率；

（2）若從報名的6名教師中任選2名，求選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率.

解：（1）從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，所有可能的結(jié)果為（甲男1,乙男）、（甲

男2,乙男）、（甲男1,乙女1）、（甲男1,乙女2）、（甲男2,乙女1）,（甲男2,乙女2）、（甲

女，乙女1）、（甲女，乙女2）、（甲女，乙男），共9種；選出的2名教師性別相同的結(jié)果有（甲

男1,乙男）、（甲男2,乙男）、（甲女，乙女1）、（甲女，乙女2）,共4種，所以選出的2名

4

教師性別相同的概率為反

（2）從報名的6名教師中任選2名，所有可能的結(jié)果為（甲男1,乙男）、（甲男2,乙男）、

（甲男1,乙女1）、（甲男1,乙女2）、（甲男2,乙女1）、（甲男2,乙女2）、（甲女，乙女1）、

（甲女，乙女2）、（甲女，乙男）、（甲男1,甲男2）、（甲男1,甲女）、（甲男2,甲女）、（乙男，

乙女1）、（乙男，乙女2）、（乙女1,乙女2）,共15種；選出的2名教師來自同一學(xué)校的所

有可能的結(jié)果為（甲男1,甲男2）、（甲男1,甲女）、（甲男2,甲女）、（乙男，乙女1）、（乙男，

乙女2）、（乙女1,乙女2）,共6種，所以選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率為。=|.

:主題即_____________________________

事件的相互獨(dú)立性

CBT31計(jì)算機(jī)考試分理論考試與實(shí)際操作考試兩部分，每部分考試成績只記“合格”

與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計(jì)算機(jī)考試“合格”并頒發(fā)“合格證書”.甲、

乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為4親3本12在實(shí)際操作考試中“合格”的概

率依次用1，泉275,所有考試是否合格相互之間沒有影響.

（1）若甲、乙、丙三人同時進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試，則誰獲得“合格證書”的可

能性大？

（2）求甲、乙、丙三人進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試后，恰有兩人獲得“合格證書”的

概率.

【解】（1）記“甲獲得'合格證書'”為事件A,“乙獲得'合格證書'”為事件B,

412321255

“丙獲得'合格證書'”為事件C,則P（A）=-XT=~,P（B）=TXT=T,P（C）=^X7=Q,

從而P（C）＞P（5）＞P（A）,所以丙獲得“合格證書”的可能性大.

（2）記“甲、乙、丙三人進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試后，恰有兩人獲得'合格證書'”

___21421531511

為事件D,則P（Z））=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）=TX-X-+-X-X-+-X-X^=—

期陶園附

利用相互獨(dú)立事件求復(fù)雜事件概率的解題思路

(1)將待求復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的簡單事件的和.

(2)將彼此互斥的簡單事件中的簡單事件，轉(zhuǎn)化為幾個已知(易求)概率的相互獨(dú)立事件的

積事件.

(3)代入概率的積、和公式求解.

匐跟蹤訓(xùn)練;設(shè)每個工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為0.6,

0.5,0.5,0.4,各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立，則同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率為

)

A.0.25B.0.30

C.0.31D.0.35

解析：選C.設(shè)甲、乙、丙、丁需使用設(shè)備分別為事件A,B,C,D,則P(A)=0.6,P(B)

=O.5,P(0=O.5,P(Q)=O.4,所以同一工作日最少3人需使用設(shè)備的概率為P(ABCD+ABCD

+ABCD+ABCD+ABCD)=0.6X0.5X0.5X0.6+0.6X0.5X0,5X0.4+0.6X0,5X0.5X0.4+

0.4X0.5X0.5X0.4+0.6X0.5X0.5X0.4=0.31.

:主題9_____________

概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題

麗某食品有限公司對生產(chǎn)的某種面包按行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)分成五個不同等級，等級系數(shù)X

依次為A,B,C,D,E.現(xiàn)從該種面包中隨機(jī)抽取20件樣品進(jìn)行檢驗(yàn)，對其等級系數(shù)進(jìn)行

統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表如下：

XABCDE

頻率0.10.20.450.150.1

從等級系數(shù)為4,D,E的樣品中一次性任取兩件(假定每件樣品被取出的可能性相同).

(1)求取出的兩件樣品是等級系數(shù)為A與D的概率；

(2)求取出的兩件樣品是不同等級的概率.

【解】(1)A級所取的樣品數(shù)為20X0.1=2,。級所取的樣品數(shù)為20X0.15=3,E級

所取的樣品數(shù)為20X0.1=2.

將等級系數(shù)為A的2件樣品分別記為G,“2；等級系數(shù)為。的3件樣品分別記為xi,

X2,X3：等級系數(shù)為E的2件樣品分別記為力,工；

現(xiàn)從0,a2,Xi,X2,X3,)，1,”這7件樣品中一次性任取兩件，共有21個不同的結(jié)果，

分別為(41,ai),(at,xi),(ai,xi),(67i,*3),(ai,yi),(“i,yi),(z,xi),Q,及)，(z,

X3),(a2,>'l),(42,yt),(Xl,Xz),(Xl,X3),(Xl,》)，(X1,及)，。2,*3),(忿，/)，(M,>2),

(X3,yi),(X3,yi),(yi,yi).

記事件M為“取出的兩件樣品是等級系數(shù)為A與?！?，則事件M所包含的樣本點(diǎn)有6

個，分別為(0,XI),31,X2),(ai,X3),(a2,X1),(02,尤2),(。2,a).

62

所以事件M的概率

(2)法一：記事件N為“取出的兩件樣品是等級系數(shù)為4與E”，則事件N所包含的樣

,4

本點(diǎn)有4個，分別為(0,%),(“I,>2),僅2,力)，伍2,>2),所以事件N的概率P(N)=五.

記事件Q為“取出的兩件樣品是等級系數(shù)為。與E”，則事件。所包含的樣本點(diǎn)有6

個，分別為(xi,yi),(xi,yi),(如yi),3,?),(如yD,S,yi),所以事件Q的概率P(。)

=旦二

=2?=7"

因?yàn)槭录﨧,N,Q為互斥事件，所以取出的兩件樣品是不同等級的概率為P(MUNUQ)

=P(M)+P(M+P(Q)=與

法二：記事件L為“取出的兩件樣品是不同等級”，則事件Z為“取出的兩件樣品是

同等級“，所以事件￡所含的樣本點(diǎn)有5種，分別為(〃1,〃2),(Xl,X2),(XI,X3),(X2,13),

——5

(yi,刃)，所以事件L的梭率P(L)=五，

..—516

所以P(L)=1—p(L)=i~Yi=Yi>

即取出的兩件樣品是不同等級的概率為鈴.

回園因幽

解決概率與統(tǒng)計(jì)綜合問題應(yīng)注意的問題

在解決此類綜合問題時，應(yīng)對圖表進(jìn)行觀察、分析、提煉，挖掘出圖表所給予的有用信

息，排除無關(guān)數(shù)據(jù)的干擾，進(jìn)而抓住問題的實(shí)質(zhì)，達(dá)到求解的目的.

跟蹤訓(xùn)練

人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:

上年度出

0123425

險次數(shù)

保費(fèi)0.85。a1.25〃1.5〃1.75。2a

隨機(jī)調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表:

出險次數(shù)0123425

頻數(shù)605030302010

(1)記A為事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”.求P(A)的估計(jì)值；

(2)記B為事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”.求

P(8)的估計(jì)值；

(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值.

解：(1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.

由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為

60+50

=0.55,故P(A)的估計(jì)值為0.55.

(2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次

30+30

數(shù)大于1且小于4的頻率為200_=境3,故P(8)的估計(jì)值為0.3.

(3)由所給數(shù)據(jù)得

保費(fèi)0.85。a1.25a1.5a1.75a2a

頻率0.300.250.150.150.100.05

調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為

0.85ax0.30+aX0.25+1.25aX0.15+1.5aX0.15+1.75?X0.10+2。X0.05=1.1925a.

因此，續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.1925a.

熱考強(qiáng)化，演練?強(qiáng)化?培優(yōu)_令

1.(2019?福建省師大附中期中考試)袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個，現(xiàn)從中取出

兩個球.設(shè)事件P表示“取出的都是黑球”；事件。表示“取出的都是白球”；事件R表示

”取出的球中至少有一個黑球”，則下列結(jié)論正確的是()

A.P與R是互斥事件

B.P與。是對立事件

C.。和R是對立事件

D.Q和R是互斥事件，但不是對立事件

解析：選C.袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個，現(xiàn)從中取出兩個球，取球的方法共

有如下幾類：

①取出的兩球都是黑球；②取出的兩球都是白球；③取出的球一黑一白.

事件R包括①@兩類情況，所以事件P是事件R的子事件，故A不正確；

事件Q與事件R互斥且對立，所以選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D不正確；

事件p與事件Q互斥，但不是對立事件，所以選項(xiàng)B不正確.

故選C.

2.甲、乙兩顆衛(wèi)星同時獨(dú)立的監(jiān)測臺風(fēng).在同一時刻，甲、乙兩顆衛(wèi)星準(zhǔn)確預(yù)報臺風(fēng)

的概率分別為0.8和0.75,則在同一時刻至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報準(zhǔn)確的概率為()

A.0.95B.0.6

C.0.05D.0.4

解析：選A.法一：在同一時刻至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報準(zhǔn)確可分為：①甲預(yù)報準(zhǔn)確，乙預(yù)

報不準(zhǔn)確：②甲預(yù)報不準(zhǔn)確，乙預(yù)報準(zhǔn)確：③甲預(yù)報準(zhǔn)確，乙預(yù)報準(zhǔn)確.這三個事件彼此互

斥，故至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報準(zhǔn)確的概率為O.8X(1-0.75)+(1-0.8)X0.75+0.8X0.75=0.95.

法二：”在同一時刻至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報準(zhǔn)確”的對立事件是“在同一時刻兩顆衛(wèi)星預(yù)

報都不準(zhǔn)確”，故至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報準(zhǔn)確的概率為1-(1-0.8)X(1-0.75)=0.95.

3.(2019?江西省上饒市期末統(tǒng)考)甲、乙兩位同學(xué)玩游戲，對于給定的實(shí)數(shù)按下列

方法操作一次產(chǎn)生一個新的實(shí)數(shù)：由甲、乙同時各擲一枚均勻的硬幣，如果出現(xiàn)兩個正面朝

上或兩個反面朝上，則把G乘以2后再減去6；如果出現(xiàn)一個正面朝上，一個反面朝上，則

把m除以2后再加上6,這樣就可得到一個新的實(shí)數(shù)S，對實(shí)數(shù)“2仍按上述方法進(jìn)行一次

操作，又得到一個新的實(shí)數(shù)。3,當(dāng)。3>0時，甲獲勝，否則乙獲勝，若甲勝的概率為則

m的取值范圍是.

解析：由題意可知，進(jìn)行兩次操作后，可得如下情況：

當(dāng)?shù)?2(241-6)—6=4”|一18,其出現(xiàn)的概率為(J)=；,

當(dāng)°3=；(20—6)+6=°|+3,其出現(xiàn)的概率為⑤=；,

當(dāng)俏=2得+6)-6=ai+6,其出現(xiàn)的概率為(；)=；,

當(dāng)。3=*食+6)+6=胃+9,其出現(xiàn)的概率為g)=；,

33

因?yàn)榧撰@勝的概率為不即。3>〃1的概率為彳,

4。］—18Wai4。］—18>。1

則滿足J

fll,n或'a\,整理得0W6或

彳+9>0才+9W〃i

答案：(一8,6JU［12,+8)

4.(2019?廣東省惠州市期末考試)2019年4月23日“世界讀書日”來臨之際，某校為

了了解中學(xué)生課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，并獲得了他們一周課外閱讀時間(單

位：小時)的數(shù)據(jù)，按閱讀時間分組：第一組［0,5),第二組［5,10),第三組［10,15),第四

組［15,20),第五組［20,25］,繪制了頻率分布直方圖如圖所示.已知第三組的頻數(shù)是第五

組頻數(shù)的3倍.

頻率

組距

510152025時間

(1)求“的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該校學(xué)生一周課外閱讀時間的平均值；

(2)現(xiàn)從第三、四、五這3組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人參加?！爸腥A詩詞比

賽”.經(jīng)過比賽后，從這6人中隨機(jī)挑選2人組成該校代表隊(duì)，求這2人來自不同組別的概

率.

解：(1)由頻率分布直方圖可得第三組和第五組的頻率之和為1-(0.01+0.07+0.04)X5

=0.4,

3

第三組的頻率為0.4Xi高=0.3,

所以a=g^=0.06.

該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x=2.5X0.01X5+7.5X0.07X5+12.5X0.06X5+17.5X0.04X5

+22.5X0.02X5=12.25,

所以可估計(jì)該校學(xué)生一周課外閱讀時間的平均值為12.25小時.

(2)易得從第三、四、五組抽取的人數(shù)分別為3,2,1,

設(shè)為A,B,C,D,E,F,則從該6人中選拔2人的樣本點(diǎn)有：

(A,B),(A,0,(A,。)，(A,E),(A,F),(B,6,(B,D),(B,E),(8,F),(C,

。)，(C,E),(C,F),(D,￡),(￡>,F),(￡,F),共15個，

其中來自不同的組別的樣本點(diǎn)有：

(4,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,

F),(E,F),

共11個，

所以這2人來自不同組別的概率為

擊破?練透?升華.

IA基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)］

1.老師為研究男女同學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的差異情況，對某班50名同學(xué)(其中男同學(xué)30名，女

同學(xué)20名)采取分層隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個容量為10的樣本進(jìn)行研究，則女同學(xué)甲被

抽到的概率為（）

1

A-50B10

C.5D4

解析：選C.因?yàn)樵诜謱与S機(jī)抽樣中，任何個體被抽到的概率均相等，所以女同學(xué)甲被

抽到的概率2=$=上,故應(yīng)選C.

2.由經(jīng)驗(yàn)得知，在人民商場付款處排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其概率如下:

5人及

排隊(duì)人數(shù)01234

以上

概率0.110.160.30.290.10.04

則至多有2人排隊(duì)的概率為（）

A.0.3B.0.43

C.0.57D.0.27

解析：選C.記“沒有人排隊(duì)”為事件A,“1人排隊(duì)”為事件8,“2人排隊(duì)”為事件C,

A、B、。彼此互斥.記“至多有2人排隊(duì)”為事件&則P（￡）=P（A+8+C）=P（A）+P（8）+

產(chǎn)（0=0.11+0.16+0.3=0.57.

3.一個三位數(shù)的百位，十位，個位上的數(shù)字依次為a,b,c,當(dāng)且僅當(dāng)〃?，Xc時稱

為''凹數(shù)"（如213,312等），若a,b,ce{l,2,3,4},且a,b,c互不相同，則這個三

位數(shù)為“凹數(shù)”的概率是（）

1B盤

A6

C.1D-看

解析：選C.由1,2,3組成的三位數(shù)有123,132,213,231,312,321,共6個;

由1,2,4組成的三位數(shù)有124,142,214,241,412,421,共6個:

由1,3,4組成的三位數(shù)有134,143,314,341,413,431,共6個;

由2,3,4組成的三位數(shù)有234,243,324,342,432,423,共6個.

所以共有6+6+6+6=24個三位數(shù).

當(dāng)b=1時，有214,213,314,412,312,413,共6個“凹數(shù)”；

當(dāng)6=2時，有324,423,共2個“凹數(shù)”.

所以這個三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率「=空^=/

4.四個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著完全相同的一枚硬幣，所有人同時拋出

自己的硬幣.若落在圓桌上時硬幣正面朝上，則這個人站起來；若硬幣正面朝下，則這個人

繼續(xù)坐著.那么，沒有相鄰的兩個人站起來的概率為（）

17

A-4B16

1D2

C=2u16

解析：選B.拋四枚硬幣，總的結(jié)果有16種，“沒有相鄰的兩個人站起來”記為事件A,

可分為三類：一是沒有人站起來，只有1種結(jié)果：二是1人站起來，有4種結(jié)果；三是有2

人站起來，可以是AC或B。，有2種結(jié)果.所以滿足題意的結(jié)果共有1+4+2=7種結(jié)果，

7

p(A)=n?故選B.

5.某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產(chǎn)

情況下，出現(xiàn)乙級品和丙級品的概率分別是0.05和0.03,則抽檢一件是甲口(\B

級品的概率為.

解析：記抽檢的產(chǎn)品是甲級品為事件A,是乙級品為事件2,是丙級品,

為事件C,這三個事件彼此互斥，因而所求概率為P(A)=1—P(B)—P(O=0.92.

答案：0.92

6.甲、乙兩名運(yùn)動員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動服中選擇1種，則他

們選擇相同顏色運(yùn)動服的概率為.

解析：甲、乙的選擇方案有紅紅、紅白、紅藍(lán)、白紅、白白、白藍(lán)、藍(lán)紅、藍(lán)白、藍(lán)藍(lán)

31

9種，其中顏色相同的有3種，所以所求概率為$=].

答案：I

7.加工某一零件需經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別燒，表，表,

且各道工序互不影響，則加工出來的零件的次品率為.

解析：依題意得，加工出來的零件的正品率是1—4)x(1磊)x(1一表)焉，因此

加工出來的零件的次品率是1一率=看.

3

答案：而

8.設(shè)甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的運(yùn)動員人數(shù)分別為27,9,18.現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣

的方法從三個協(xié)會中抽取6名運(yùn)動員組隊(duì)參加比賽.

(1)求應(yīng)從這三個協(xié)會中分別抽取的運(yùn)動員的人數(shù)；

(2)將抽取的6名運(yùn)動員進(jìn)行編號，編號分別為Ai，A2,4,A4,A5,A6,現(xiàn)從這6名

運(yùn)動員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽.

(i)用所給編號列出所有可能的結(jié)果；

(ii)設(shè)A為事件“編號As和A6的兩名運(yùn)動員中至少有1人被抽到”，求事件A發(fā)生的

概率.

解：(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個協(xié)會中抽取的運(yùn)動員人數(shù)分別為3,1,2.

(2)(i)從6名運(yùn)動員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽的所有可能結(jié)果為(A,Ai),(Al,A3),

(Ai,A4),(Ai,A5),(Ai,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,Ab),(A3,A4),(A3,A5),

03,A6),(4,4),(4,A6),05,4),共15種.

(ii)編號為4和4的兩名運(yùn)動員中至少有1人被抽到的所有可能結(jié)果為(Ai,A5),(A,,

4),(42,4),(42,46),03,4),⑶，4),(4,4),(4,46),(4,4),共9種.

93

因此，事件A發(fā)生的概率P(A)="j-^=g.

9.(2019?江西省臨川第一中學(xué)期末考試)某學(xué)校為了解其下屬后勤處的服務(wù)情況，隨機(jī)

訪問了50名教職工，根據(jù)這50名教職工對后勤處的評分情況，繪制頻率分布直方圖如圖所

示，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為［40,50),［50,60),［80,90),［90,100］.

(1)估計(jì)該學(xué)校的教職工對后勤處評分的中位數(shù)(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位)；

(2)從評分在［40,60)的受訪教職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人中至少有1人對后勤處

評分在［50,60)內(nèi)的概率.

解：(1)由頻率分布直方圖，可知(0.004+a+0.018+0.022X2+0.028)><10=l,

解得a=0.006.

設(shè)該學(xué)校的教職工對后勤處評分的中位數(shù)為xo,有

(0.004+0.006+0.022)X!O+O.O28-(xo-7O)=O.5,解得為七76.4(分)，

故該學(xué)校的教職工對后勤處評分的中位數(shù)約為76.4.

(2)由頻率分布直方圖可知，受訪教職工評分在［40,50)內(nèi)的人數(shù)為0.004X10X50=

2(人)，受訪教職工評分在［50,60)內(nèi)的人數(shù)為0.006X10X50=3(人).

設(shè)受訪教職工評分在［40,50)內(nèi)的兩人分別為a\,ai,在［50,60)內(nèi)的三人分別為b\,

h2,犯，則從評分在［40,60)內(nèi)的受訪教職工中隨機(jī)抽取2人，

其樣本點(diǎn)有(01,02),31,bl),{a\,%,(ai,一),(他，6)，Q,歷),(S,bi),(bi,

bi),(bt,b^,(bi,%)，共10個，其中2人評分至少有一人在［50,60)內(nèi)的樣本點(diǎn)有9個,

9

故2人評分至少有1人在［50,60)內(nèi)的概率為

[B能力提升]

10.（2019?汕頭模擬）甲、乙兩人參加“社會主義價值觀”知識競賽，甲、乙兩人獲得一

等獎的概率分別轉(zhuǎn)2和本3甲、乙兩人是否獲得一等獎相互獨(dú)立，則這兩個人中恰有一人獲得

一等獎的概率為（）

32

A-4B-3

Q5

CqD.TT

解析：選D.根據(jù)題意，恰有一人獲得一等獎就是甲獲得乙沒有獲得或甲沒有獲得乙獲

得，則所求概率是|x（l—（X（l—圖=卷故選D.

11.若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會

均等，則甲或乙被錄用的概率為（）

22

A-3B5

「3r9

u10

解析：選D.記事件A:甲或乙被錄用.從五人中錄用三人，樣本點(diǎn)有（甲，乙，丙）、（甲，

乙，?。?、（甲，乙，戊）、（甲，丙，?。?、（甲，丙，戊）、（甲，丁，戊）、（乙，丙，?。?、（乙，

丙，戊）、（乙，丁，戊）、（丙，丁，戊），共10個，而事件A的對立事件?僅有（丙，丁，戊）

——1—9

一種可能，所以事件A的對立事件A的概率為P（A）=所以P（A）=1—P（A）=記.故選

D.

12.甲、乙分別從底為等腰直角三角形的直三棱柱的9條棱中任選一條，則這2條棱互

相垂直的概率為（）

A絲B衛(wèi)

281081

嚼DI1

解析：選C.由題意知本題是一個古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是甲從這9條棱中任

選一條，乙從這9條棱中任選一條，共有9X9=81（種）結(jié)果，滿足條件的事件是這2條棱互

相垂直，所有可能情況是

當(dāng)甲選底面上的一條直角邊時，乙有5種選法，共有4條直角邊，則共有20種結(jié)果；

當(dāng)甲選底面上的一條斜邊時，乙有3種選法，共有2條底面的斜邊，則共有6種情況；

當(dāng)甲選一條側(cè)棱時，乙有6種選法，共有3條側(cè)棱，則共有18種結(jié)果.

綜上所述，共有20+6+18=44（種）結(jié)果，

故這2條棱互相垂直的概率是3r.

O1

13.(2019?廣東省東莞市調(diào)研測試)某電商在雙1--搞促銷活動，顧客購滿5件獲得積分

30分(不足5件不積分)，每多買2件再積20分(不足2件不積分)，比如某顧客購買了12件,

則可積90分.為了解顧客積分情況，該電商在某天隨機(jī)抽取了1000名顧客，統(tǒng)計(jì)了當(dāng)天

他們的購物數(shù)額，并將樣本數(shù)據(jù)分為13,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15),

[15,17),[17,19),[19,21]九組，整理得到如圖頻率分布直方圖.

頻率

0.1

0

S

S040

O.02

似

O.f

(1)求直方圖中a的值；

(2)從當(dāng)天購物數(shù)額在[13,15),[15,17)的顧客中按分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人.那

么，從這6人中隨機(jī)抽取2人，求這2人積分之和不少于240分的概率.

解：(1)各組的頻率分別為0.04,0.06,2a,2a,6a,0.2,2a,0