二次函數(shù)及其性質(zhì) 講義 初高中教材銜接

二次函數(shù)及其性質(zhì)二次函數(shù)的含義：一般地，把形如的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中是自變量，是因變量，自變量的最高次數(shù)為，是常數(shù).二次函數(shù)的性質(zhì)：對(duì)二次函數(shù)表達(dá)式配方，得到二次函數(shù)的頂點(diǎn)式：二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；二次函數(shù)的圖象是一條拋物線；EQ\o\ac(○,1)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象開口朝上；當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，二次函數(shù)圖象在對(duì)稱軸左側(cè)單調(diào)遞減，在對(duì)稱軸右側(cè)單調(diào)遞增；該二次函數(shù)在對(duì)稱軸處取得最小值，無(wú)最大值；EQ\o\ac(○,2)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象開口朝下；當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，二次函數(shù)圖象在對(duì)稱軸左側(cè)單調(diào)遞增，在對(duì)稱軸右側(cè)單調(diào)遞減；該二次函數(shù)在對(duì)稱軸處取得最大值，無(wú)最小值；在二次函數(shù)中，若令函數(shù)值，則得到一個(gè)一元二次方程.在此，我們研究二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系.為討論方便，在此，我們只討論的情況.方程的判別式方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根方程無(wú)實(shí)數(shù)根方程的根無(wú)解函數(shù)的圖象（示意圖）函數(shù)與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)及橫坐標(biāo)兩個(gè)一個(gè)無(wú)交點(diǎn)由上述一元二次方程與二次函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可知，當(dāng)函數(shù)圖象與軸有交點(diǎn)時(shí)，原函數(shù)可以表示為，其中是二次函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).二次函數(shù)的三種表達(dá)方式總結(jié)：一般式：；頂點(diǎn)式：，其中頂點(diǎn)坐標(biāo)為交點(diǎn)式（兩根式）：，其中是二次函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).例題講解例1：已知二次函數(shù)滿足，且的最大值是，求的表達(dá)式.解：又因?yàn)榈淖畲笾凳撬钥稍O(shè)為頂點(diǎn)式，將點(diǎn)代入，得，即：的表達(dá)式為.例2：已知二次函數(shù)滿足條件和.求；（2）在區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）設(shè)，因?yàn)闈M足條件和，代入，得，化簡(jiǎn)，得，即，解得：，即：.由二次函數(shù)解析式可知：該二次函數(shù)開口朝上，對(duì)稱軸為直線，在給定區(qū)間上的單調(diào)性為從單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，比較兩端點(diǎn)值大小，得，綜上所述，在區(qū)間上的最大值為，最小值為.自我檢測(cè)若二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，求的表達(dá)式.若二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，并且，求的表達(dá)式.已知函數(shù)，并且函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍.已知二次函數(shù)，求的最小值.參考答案由題干可知，該二次函數(shù)過(guò)給定的三個(gè)點(diǎn)，既可以設(shè)一般式，也可以設(shè)兩根式，而兩根式較為容易.因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，故設(shè)，把點(diǎn)代入，得：，即：的表達(dá)式為.由題干可知，二次函數(shù)在處取到最小值，因此該二次函數(shù)開口朝上，頂點(diǎn)為，故可以設(shè)的表達(dá)式為.因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)，把點(diǎn)代入，得，即：的表達(dá)式為.二次函數(shù)開口朝上，對(duì)稱軸為直線，對(duì)稱軸左側(cè)單調(diào)遞減，對(duì)稱軸右側(cè)單調(diào)遞增， 題干所給函數(shù)在區(qū)間右端點(diǎn)處取到最小值，故所給區(qū)間完全在對(duì)稱軸左側(cè)，則. 即：實(shí)數(shù)的取值范圍為.4.二次函數(shù)開口朝上，對(duì)稱軸為直線，對(duì)稱軸左側(cè)單調(diào)遞減，對(duì)稱軸右側(cè)單調(diào)遞增，因此，只需討論所給區(qū)間與對(duì)稱軸的位置關(guān)系即可.EQ\o\ac(○,1)當(dāng)時(shí)，所給區(qū)間完全在對(duì)稱軸的右側(cè)，在上單調(diào)遞增，最小值；EQ\o\ac(○,2)當(dāng)時(shí)，所給區(qū)間完全在對(duì)稱軸