考研數(shù)學(xué)一（解答題）高頻考點模擬試卷10（共75題）

考研數(shù)學(xué)一（解答題）高頻考點模擬試卷10（共5套）（共75題）考研數(shù)學(xué)一（解答題）高頻考點模擬試卷第1套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、確定a，b，使得當(dāng)x→0時，a—cosbx+sin3x與x3為等價無窮小．標(biāo)準答案：a=1，b=0知識點解析：暫無解析2、設(shè)f(x)是滿足的連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)x→0時，∫0xf(t)dt是與xn同階的無窮小量，求正整數(shù)n．標(biāo)準答案：由可知：即當(dāng)x→0時，f(x)是x2的同階無窮?。畬>0，有由此可見，當(dāng)n=3時，就有所以，n=3．知識點解析：關(guān)于無窮小量的比較，有下面一般性的結(jié)論：(1)當(dāng)x→a時，若f(x)是g(x)的同階無窮小，g(x)是h(x)的同階無窮小，則當(dāng)x→a時，f(x)也是h(x)的同階無窮?。?2)當(dāng)x→a時，若連續(xù)函數(shù)f(x)是x－a的n階無窮小，則∫axf(t)dt必為(x－a)的n+1階無窮?。?3)當(dāng)x→a時，g(x)是(x一)的n階無窮小，當(dāng)u→a時，f(u)是u的m階無窮小，則f[g(x)]必是(x一a)的nm階無窮小．3、設(shè)n階矩陣A和B滿足等式AB=aA+bB，其中a和b為非零實數(shù)。證明：(Ⅰ)A-bE和B-aE都可逆；(Ⅱ)A可逆的充分必要條件是B可逆；(Ⅲ)AB=BA。標(biāo)準答案：(Ⅰ)由AB=aA+bB得到(A-bE)(B-aE)=AB-aA-bB+abE=abE。由于a和b都非0，abE可逆，從而A-bE和B-aE都可逆。(Ⅱ)由AB=aA+bB得，A(B-aE)=bB。由于B-aE可逆，b不為0，那么A可逆(B-aE)可逆bB可逆b可逆。(Ⅲ)由(A-bE)(B-aE)=abE，得，根據(jù)逆矩陣的定義，從而有即(B-aE)(A-bE)=abE=(A-bE)(B-aE)，等式兩端展開并化簡，結(jié)合已知條件AB=aA+bB，得AB=BA。知識點解析：暫無解析4、設(shè)非齊次線性方程組Aχ＝b的系數(shù)矩陣的秩為r，η1，…，ηn-r+1是它的n－r＋1個線性無關(guān)的解．試證它的任一解可表示為χ＝k1η1＋…＋kn-r+1ηn-r+1(其中k1＋…kn-r+1＝1)．標(biāo)準答案：設(shè)χ為Aχ＝b的任一解，由題設(shè)知η1，η2，…，ηn-r+1線性無關(guān)且均為Aχ＝b的解．取ξ1＝η2－η1，ξ2＝η3－η1，…，ξn-r＝ηn-r+1－η1，根據(jù)線性方程解的結(jié)構(gòu)，則它們均為對應(yīng)齊次方程Aχ＝0的解．下面用反證法證：設(shè)ξ1，ξ2，…，ξn-r線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)l1，l2，…，ln-r使得l1ξ1＋l2ξ2＋…＋ln-rξn-r＝0，即l1(η2－η1)＋l2(η3－η1)＋…＋ln-r(ηn-r+1－η1)＝0，亦即－(l1＋l2＋…＋ln-r)η1＋l1η2＋l2η3＋…＋ln-rηn-r+1＝0．由η1，η2，…，ηn-r+1線性無關(guān)知－(l1＋l2＋…＋ln-r)＝l1＝l2＝…＝ln-r＝0，與與l1，l2，…，ln-r不全為零矛盾，故假設(shè)不成立．因此ξ1，ξ2，…，ξn-r線性無關(guān)，是Aχ＝0的一組基．由于χ，η1均為Aχ＝b的解，所以χ－η1，為Aχ＝0的解，因此χ－η1，可由ξ1，ξ2，…，ξn-r，一線性表示，設(shè)χ－η1＝k2ξ1＋k3ξ2＋…＋kn-r+1ξn-r＝k2(η2－η1)＋k3(η3－η1)＋…＋kn-r+1(ηn-r+1－η1)，則χ＝η1(1－k2－k3－…－kn-r+1)＋k2η2＋k3η3＋…＋kn-r+1ηn-r+1＝0，令k1＝1－k2－k3－…－kn-r+1，則k1＋k2＋k3＋…＋kn-r+1＝1，從而χ＝k1η1＋k2η2＋…＋kn-r+1ηn-r+1恒成立．知識點解析：暫無解析5、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，證明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(t)dt+(ξ一1)f(ξ)=0．標(biāo)準答案：令φ(x)=x∫0xf(t)dt一∫0xf(t)dt．因為φ(0)=φ(1)=0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=∫0xf(t)dt+(x一1)f(x)，故∫0ξf(t)dt+(ξ一1)f(ξ)=0．知識點解析：暫無解析6、標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析7、設(shè)a，b，c為非零常數(shù)，求以曲線為準線，母線平行于l=(a，b，c)的柱面S的方程．標(biāo)準答案：1°過點(x0，y0，0)，以l=(a，b，c)為方向向量的直線方程是x=x0+ta，y=y0+tb，z=tc，→cx0=cx一az．cy0=cy—bz→這些直線即柱面S上的點(x，y，z)滿足F(cx0，cy0)=F(cx一az，cy—bz)=0．即S上點(x，y，z)滿足F(cx一az，cy—bz)=0．2°設(shè)(x0，y0，z0)滿足方程F(cx0一az0，cy0—bz0)=0，要證(x0，y0，z0)在柱面S上．令→(x2，y2，0)在準線上j(x0，y0，z0)在直線上．該直線的方向向量→(x0，y0，z0)在柱面S上．因此，柱面S的方程是F(cx一az，cy—bz)=0．知識點解析：暫無解析8、設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為求P{0．4＜X≤1．3}，P{X＞0．5}，P{1．7＜X≤2}以及概率密度f(χ)．標(biāo)準答案：P{0．4＜X≤1．3}＝F(1．3)－F(0．4)＝(1．3－0．5)－＝0．6，P{X＞0．5}＝1－P{X≤0．5}＝1－F(0．5)＝1－＝0．75，P{1．7＜X≤2}＝F(2)－F(1．7)＝1－1＝0；知識點解析：暫無解析9、計算，其中D={(x，y)｜0≤y≤min{x，1一x}}．標(biāo)準答案：如圖6一13所示，在極坐標(biāo)中知識點解析：暫無解析10、設(shè)三階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是線性方程組Ax=0的兩個解。(Ⅰ)求A的特征值與特征向量；(Ⅱ)求正交矩陣Q和對角矩陣A，使得QTAQ=A。標(biāo)準答案：(Ⅰ)因為矩陣A的各行元素之和均為3，所以有則λ=3是矩陣A的特征值，α=(1，1，1)T是對應(yīng)的特征向量。對應(yīng)λ=3的全部特征向量為kα=k(1，1，1)T，其中k是不為零的常數(shù)。又由題設(shè)知Aα1=0，Aα2=0，即Aα1=0.α1，Aα2=0.α2，而且α1，α2線性無關(guān)，所以λ=0是矩陣A的二重特征值，α1，α2是其對應(yīng)的特征向量，因此對應(yīng)λ=0的全部特征向量為k1α1+k2α2=k1(-1，2，-1)T+k2(0，-1，1)T，其中k1，k2是不全為零的常數(shù)。(Ⅱ)因為A是實對稱矩陣，所以α與α1，α2正交，只需將α1與α2正交化。由施密特正交化法，取β1=α1，β2=α2-再將α，β2，β2單位化，得令Q=(η1，η2，η3)，則Q-1=QT，且QTAQ==Λ。知識點解析：暫無解析11、設(shè)三元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A的秩為1，已知η1，η2，η3是它的三個解向量，且η1+η2=[1，2，3]T，η2+η3=[2，－1，1]T，η3+η1=[0，2，0]T，求該非齊次方程的通解．標(biāo)準答案：由r(A)=1，知AX=b的通解應(yīng)為k1ξ1+k2ξ2+η，其中對應(yīng)齊次方程組AX=0的解為ξ1=(η1+η2)－(η2+η3)=η1－η3=[－1，3，2]T，ξ2=(η2+η3)－(η3+η1)=η2－η1=[2，－3，1]T．因ξ1，ξ2線性無關(guān)，故是AX=0的基礎(chǔ)解系．取AX=b的一個特解為η=(η3+η1)=[0，1，0]T．故AX=b的通解為k1[－1，3，2]T+k2[2，－3，1]T+[0，1，0]T，k1，k2為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析12、求函數(shù)μ=x+y+z在沿球面x2+y2+z2=1上的點(x0，y0，z0)的外法線方向上的方向?qū)?shù)，在球面上怎樣的點使得上述方向?qū)?shù)取最大值與最小值?標(biāo)準答案：球面x2+y2+z2=1在點(x0，y0，z0)處的外法向量為n=｛2x0，2y0，2z0｝，知識點解析：暫無解析設(shè)二維隨機變量(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x，y)=．13、求隨機變量X，Y的邊緣密度函數(shù)；標(biāo)準答案：fX(x)=∫－∞＋∞f(x，y)dy．當(dāng)x≤0時，fX(x)=0；當(dāng)x＞0時，fX(x)=∫－∞＋∞f(x，y)dy=∫0＋∞2e－(x+2y)dy=e－x∫0＋∞e－2yd(2y)=e－x，則fX(x)=．fY(y)=∫－∞＋∞f(x，y)dx，當(dāng)y≤0時，fY(y)=0；當(dāng)y＞0時，fY(y)=∫0＋∞2e－(x＋2y)dx=2e－2y∫0＋∞e－xdx=2e－2y，則fY=．知識點解析：暫無解析14、判斷隨機變量X，Y是否相互獨立；標(biāo)準答案：因為f(x，y)=fX(x)fY(y)，所以隨機變量X，Y相互獨立．知識點解析：暫無解析15、求隨機變量Z=X+2Y的分布函數(shù)和密度函數(shù)．標(biāo)準答案：FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+2Y≤z)=f(x，y)dxdy，當(dāng)z≤0時，F(xiàn)Z(z)=0；當(dāng)z＞0時，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（解答題）高頻考點模擬試卷第2套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、設(shè)AB是3階矩陣，A可逆，它們滿足2A-1B＝B－4E．證明A－2E可逆．標(biāo)準答案：用A左乘2A-1B＝B－4E兩側(cè)得2B＝AB－4A．即(A－2E)B＝4A．由A可逆，得A－2E可逆．知識點解析：暫無解析2、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(x)非負，試證：至少存在一點ξ∈(0，1)，使得ξf(ξ)=∫ξ1f(x)dx．標(biāo)準答案：令F(x)=x∫1xf(t)dt，則F(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F(1)=1．∫11f(t)dt=0．由洛爾定理，存在點ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即∫1ξf(t)dt+ξf(ξ)=0，故ξf(ξ)一∫ξ1f(x)dx=0．知識點解析：欲證ξf(ξ)=∫ξ1f(x)dx=>xf(x)=∫x1f(t)dt，如作輔助函數(shù)F(x)=xf(x)一∫x1f(t)dt，則F(0)=0f(0)一∫01f(t)dt出≤0，F(xiàn)(1)=1．f(1)－∫11f(t)dt=f(1)≥0，難以驗證F(x)在[0，1]上有F(0)<0，F(xiàn)(1)>0．于是，可作輔助函數(shù)F(x)，使得F’(x)=xf(x)一∫x1f(t)dt，即F’(x)=[x∫1xf(t)dt]’，即F(x)=x∫1xf(t)dt，再用洛爾定理證明．用輔助函數(shù)法證明存在點ξ，使得F(ξ)=0，若將待證結(jié)論中的ξ換為x不能作為輔助函數(shù)時，可考慮用其原函數(shù)作為輔助函數(shù)．3、求曲線x=acos3t，y=asin3t繞直線y=x旋轉(zhuǎn)一周所得曲面的面積．標(biāo)準答案：如圖3．29，曲線關(guān)于y=±x對稱，只需考察t∈一段曲線．現(xiàn)在沒有現(xiàn)成的公式可用．用微元法導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)面的面積公式．任取曲線的小微元，端點坐標(biāo)為(x(t)，y(t))=(acos3t，asin3t)，它到直線y=x的距離為l(t)=．曲線微元的弧長ds==3a｜sintcost｜dt，它繞y=x旋轉(zhuǎn)所得曲面微元的面積為dS=2πl(wèi)(t)ds=2π．3a｜sintcost｜dt，因此整個旋轉(zhuǎn)面的面積為知識點解析：暫無解析4、計算(1)∑為的上側(cè)．(2)∑為上半橢球面(z≥0)的上側(cè)．標(biāo)準答案：(1)2π，(2)2π知識點解析：暫無解析5、求兩曲面x2+y2=z與一2(x2+y2)+z2=3的交線在xOy平面上的投影曲線方程。標(biāo)準答案：在方程組中消去z，得(x2+y2)2一2(x2+y2)一3=0，等價變形為(x2+y2—3)(x2+y2+1)=0，即有x2+y2=3，故所求投影曲線方程為知識點解析：暫無解析6、已知平面П：x－4y+2z+9=0，直線L：試求在平面П內(nèi)，經(jīng)過L與П的交點且與L垂直的直線方程．標(biāo)準答案：(Ⅰ)先求L的方向向量(Ⅱ)求L與П的交點M0．由解得M0(x，y，z)=(－3，－1，－5)．(Ⅲ)所求直線的方向向量L1=l×n所求直線方程為或求出過L與П的交點M0且與L垂直的平面方程，它是2(x+3)+3(y+1)+2(z+5)=0，即2x+3y+2z+19=0．于是，所求直線方程為知識點解析：暫無解析7、已知函數(shù)f(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，計算二重積分標(biāo)準答案：將二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分可得首先考慮，注意這里是把變量y看作常數(shù)，故有由f(1，y)=f(x，1)=0易知fy(1，y)=fx(x，1)=0。故所以對該積分交換積分次序可得再考慮積分注意這里是把變量x看作常數(shù)，故有因此知識點解析：暫無解析8、標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析9、已知隨機變量X的概率密度(I)求分布函數(shù)F(x)；(II)若令Y＝F(X)，求Y的分布函數(shù)FY(y)·標(biāo)準答案：直接應(yīng)用F(x)＝P{X≤x}，F(xiàn)Y(y)＝P｛F(X)≤y｝求解．(Ⅱ)令Y＝F(X)，則由0≤F(x)≤1及F(x)為x的單調(diào)不減連續(xù)函數(shù)知(如圖2．1)，當(dāng)y<0時FY(y)＝0；當(dāng)y≥1時，F(xiàn)Y(y)＝1；當(dāng)0≤y<[*284]時!FY(y)＝P{F(X)≤y}＝P{F(X)≤0}＋P{0Y(y)＝P{F(X)≤y}＝P｛F(X)≤0｝＋P｛0－1(y)}知識點解析：暫無解析10、假設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，如果X服從標(biāo)準正態(tài)分布，Y的概率分布為P{Y=-1}=。求：(Ⅰ)Z=XY的概率密度fZ(z)；(Ⅱ)V=｜X-Y｜的概率密度fV(v)。標(biāo)準答案：(Ⅰ)根據(jù)題意P{Y=-1}=，P{Y=1}=，X～N(0，1)且X與Y相互獨立，所以Z=XY的分布函數(shù)為FZ(z)=P{XY≤z}=P{Y=-1}P{XY≤z｜Y=-1}+P{Y=1}P{XY≤z｜Y=I}=P{Y=-1}P{-X≤z｜Y=-1}+P{Y=1}P{X≤z｜Y=1}=P{Y=-1}P{X≥-z}+P{Y=1}P{X≤z}即Z=XY服從標(biāo)準正態(tài)分布，所以其概率密度為(Ⅱ)由于V=｜X-Y｜只取非負值，因此當(dāng)v＜0時，其分布函數(shù)FV(v)=P{X-Y≤v}=0；當(dāng)v≥0時，F(xiàn)V(v)=P{-v≤X-Y≤v}=P{Y=-1}P{-v≤X-Y≤v｜Y=-1}+P{Y=1}P{-v≤X-Y≤v｜Y=1}綜上計算可得，由于FV(v)是連續(xù)函數(shù)，且除個別點外，導(dǎo)數(shù)都是存在的，所以V的概率密度為知識點解析：暫無解析11、設(shè)二維正態(tài)隨機變量(X，y)的概率密度為f(x，y)，已知條件概率密度fX｜Y(x｜y)=求：(1)常數(shù)A和B；(2)邊緣概率密度fX(x)和fY(y)；(3)f(x，y)．標(biāo)準答案：(1)由性質(zhì)∫－∞+∞fX｜Y(x｜y)dx=1可以定出常數(shù)A，也可以更簡單地把看成形式－∞＜x＜+∞．(2)從而將x，y的函數(shù)分離．(3)f(x，y)=fX｜Y(x｜y).fY(y)．(1)知識點解析：暫無解析設(shè)A為三階實對稱矩陣，A的每行元素之和為5，AX=0有非零解且λ1=2是A的特征值，對應(yīng)特征向量為(一1，0，1)T．12、求A的其他特征值與特征向量；標(biāo)準答案：因為A的每行元素之和為5，所以有3218，即A有特征值λ2=5，對應(yīng)的特征向量為．又因為AX=0有非零解，所以r(A)＜3，從而A有特征值0，設(shè)特征值0對應(yīng)的特征向量為，根據(jù)不同特征值對應(yīng)的特征向量正交得知識點解析：暫無解析13、求A．標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析14、標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析15、標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（解答題）高頻考點模擬試卷第3套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、求函數(shù)的間斷點，并判斷它們的類型．標(biāo)準答案：對于函數(shù)F(x)的分段點x=0，因故x=0是函數(shù)F(x)的跳躍間斷點．當(dāng)x＞0時，在x=1處沒有定義，且極限不存在，故x=1是函數(shù)F(x)的振蕩間斷點．當(dāng)x＜0時，k=0，1，2，…處沒有定義，則這些點都是函數(shù)F(x)的間斷點．特別對于點有故是函數(shù)F(x)的可去間斷點；而點k=1，2，…顯然是函數(shù)F(x)的無窮間斷點．知識點解析：暫無解析2、解齊次方程組標(biāo)準答案：對系數(shù)矩陣作初等行變換化為階梯形矩陣由n-R(A)=4-2=2，基礎(chǔ)解系由2個向量組成，每個解中有2個自由變量。令x2=1，x4=0，解得x3=0，x1=2。令x2=0，x4=2，解得x3=15，x1=-22。得到η1=(2，1，0，0)T，η2=(-22，0，15，2)T，因此通解是k1η1+k2η2，k1，k2為任意常數(shù)。知識點解析：暫無解析3、設(shè)f(x)在[0，+∞)可導(dǎo)，且f(0)=0．若f’(x)＞-f(x)，∈(0，+∞)，求證：f(x)＞0，x∈(0，+∞)．標(biāo)準答案：要證f(x)＞0，exf(x)＞0(x＞0)．由exf(x)在[0，+∞)可導(dǎo)且[exf(x)]’=ex[f’(x)+f(x)]＞0(x＞0)，exf(x)在[0，+∞)單調(diào)上升exf(x)＞exf(x)|x=0=0(x＞0)，f(x)＞0(x＞0)．知識點解析：暫無解析4、設(shè)f(x)在[0，1]上具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足條件｜f(x)≤a，｜f"(x)≤b．苴中a，b都是非負常數(shù)，c是(0，1)內(nèi)任意一點．證明｜f’(c)≤2a+．標(biāo)準答案：對f(x)在x=c處應(yīng)用泰勒公式展開，可得f(x)=f(c)+f’(c)(x—c)+(x—c)2(*)其中ξ=c+θ(x一c)，0＜θ＜1．在(*)式中令x=0，則有知識點解析：暫無解析5、已知α1，α2，α3是齊次線性方程組Aχ＝0的一個基礎(chǔ)解系，證明α1＋α2，α2＋α3，α1＋α3也是該方程組的一個基礎(chǔ)解系．標(biāo)準答案：根據(jù)A(α1＋α2)＝Aα1＋Aα2＝0＋0＝0可知，α1＋α2是方程組Aχ＝0的解．同理可知α2＋α3，α1＋α3也是Aχ＝0的解．假設(shè)k1(α1＋α2)＋k2(α2＋α3)＋k3(α1＋α3)＝0，則(k1＋k3)α1＋(k1＋k2)α2＋(k2＋k3)α3＝0，因為α1，α2，α3是基礎(chǔ)解系，它們是線性無關(guān)的，因此由于此方程組系數(shù)行列式D＝＝2≠0，則有后。k1＝k2＝k3＝0，所以α1＋α2，α2＋α3，α1＋α3線性無關(guān)．根據(jù)題設(shè)，Aχ＝0的基礎(chǔ)解系含有3個線性無關(guān)的向量，所以α1＋α2，α2＋α3，α1＋α3也是方程組Aχ＝0的基礎(chǔ)解系．知識點解析：暫無解析6、作自變量與因變量變換：u＝x＋y，v＝x—y，w＝xy—z，變換方程為w關(guān)于u，v的偏導(dǎo)數(shù)滿足的方程，其中z對x，y有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)．標(biāo)準答案：由于z＝xy—w，則知識點解析：暫無解析7、求．標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析8、求．標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析9、設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為xOy坐標(biāo)面，其底部所占的區(qū)域為D=｜(x，y)｜x2+y2-xy≤75}，小山的高度函數(shù)為h(x，y)=75-x2-y2+xy。(Ⅰ)設(shè)M(x0，y0)為區(qū)域D上的一點，問h(x，y)在該點沿平面上何方向的方向?qū)?shù)最大?若此方向的方向?qū)?shù)為g(x0，y0)，寫出g(x0，y0)的表達式；(Ⅱ)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動，為此需要在山腳下尋找一坡度最大的點作為攀登的起點。也就是說，要在D的邊界線x2+y2-xy=75上找出使(Ⅰ)中g(shù)(x，y)達到最大值的點。試確定攀登起點的位置。標(biāo)準答案：(Ⅰ)函數(shù)h(x，y)在點M處沿該點的梯度方向(Ⅱ)求g(x，y)在條件x2+y2-xy-75=0下的最大值點與求g2(x，y)=(y-2x)2+(x-2y)2=5x2+5y2-8x)，在條件x2+y2-xy-75=0下的最大值點等價。這是求解條件最值問題，用拉格朗日乘數(shù)法。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x，y，λ)=5x2+5y2-8xy+λ(x2+y2-xy-75)，則有聯(lián)立(1)，(2)解得y=-x，λ=-6或y=x，λ=-2。若y=-x，則由(3)式得3x2=75，即x=±5，y=±5。若y=x，則由(3)式得x2=75，即。于是得可能的條件極值點M1(5，-5)，M2(-5，5)，?，F(xiàn)比較f(x，y)=g2(x，y)=5x2+5y2-8xy在這些點的函數(shù)值，有f(M1)=f(M2)=450，f(M3)=f(M4)=150。因為實際問題存在最大值，而最大值又只可能在M1，M2，M3，M4中取到。所以g2(x，y)在M1，M2取得邊界線D上的最大值，即M1，M2可作為攀登的起點。知識點解析：暫無解析10、求極限標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析11、驗收成箱包裝的玻璃器皿，每箱24只裝．統(tǒng)計資料表明，每箱最多有2只殘品，且含0，1，2件殘品的箱各占80％，15％，5％．現(xiàn)在隨意抽取一箱，隨意檢驗其中4只；若未發(fā)現(xiàn)殘品則通過驗收，否則要逐一檢驗并更換．試求(1)一次通過驗收的概率；(2)通過驗收的箱中確實無殘品的概率．標(biāo)準答案：(1)設(shè)Ai={抽取的一箱中含有i件次品)(i=0，1，2)，則A0，A1，A2構(gòu)成完備事件組，且P(A0)=0．8，P(A1)=0．15，P(A2)=0．05．設(shè)B={一次通過驗收}，則(2)由貝葉斯公式得知識點解析：暫無解析12、求微分方程的通解．標(biāo)準答案：此為齊次方程，只要作代換即得原方程通解為其中C為任意正常數(shù)．知識點解析：暫無解析一種資產(chǎn)在未來的支付事先是未知，這樣的資產(chǎn)稱為風(fēng)險資產(chǎn)．設(shè)一種風(fēng)險資產(chǎn)未來的支付為X，它的取值依賴于未來的自然狀態(tài)，設(shè)未來所有可能的自然狀態(tài)為Ω={ω1，ω2，ω3，ω4，ω5}，X對狀態(tài)的依賴關(guān)系如下：13、如果在未來我們觀察到該資產(chǎn)的支付為2，那么我們能夠斷定哪些事件一定發(fā)生了，哪些事件一定沒有發(fā)生，舉例說明不能確定哪些事件是否發(fā)生；標(biāo)準答案：{ω3，ω4，ω5}，Ω兩個事件發(fā)生了，{ω1，ω2}，?兩個事件沒有發(fā)生，{ω3}，{ω4}，{ω5}，{ω3，ω4}，{ω3，ω5}，{ω4，ω5}等事件是否發(fā)生不能確定；知識點解析：暫無解析14、在未來，觀察X的取值能夠確定是否發(fā)生的事件有哪些?標(biāo)準答案：{ω1，ω2}，{ω3，ω4，ω5}，?，Ω等事件通過觀察X的取值一定能知道是否發(fā)生了．知識點解析：暫無解析15、標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（解答題）高頻考點模擬試卷第4套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，x1，x2，…，xn，…，是[a，b]上一個點列，求標(biāo)準答案：由f(x)在[a，b]上連續(xù)知，ef(x)在[a，b]上非負連續(xù)，且0f(x)≤M，其中M，m分別為ef(x)在[a，b]上的最大值和最小值，于是故由根據(jù)夾逼準則，得知識點解析：暫無解析2、證明下列不等式：標(biāo)準答案：(Ⅰ)設(shè)f(x)=，則f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且可見函數(shù)f(x)在點x=處取得它在區(qū)間[0，1]上的最小值，又因f(0)=f(1)=1，故f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值是f(0)=f(1)=1，從而知識點解析：暫無解析3、已知3階矩陣有一個二重特征值，求a，并討論A是否相似于對角矩陣．標(biāo)準答案：(1)求a．A的特征多項式為要使得它有二重根，有兩種可能的情況：①2是二重根，即2是λ2一8λ+18+3a的根，即4一16+18+3a=0，求出a=一2，此時三個特征值為2，2，6．②2是一重根，則λ2一8λ+18+3a有二重根，λ2一8λ+18+3a=(x一4)2，求出a=一2／3．此時三個特征值為2，4，4．(2)討論A是否相似于對角化矩陣．①當(dāng)a=一2時，對二重特征值2，考察3一r(A一2E)是否為2?即r(A一2E)是否為1②當(dāng)a=一2／3時，對二重特征值4，考察3一r(A一4E)是否為2?即r(A一4E)是否為1．r(A一4E)=2，此時A不相似于對角矩陣。知識點解析：暫無解析4、設(shè)直線y=ax與拋物線y=x2所圍成的圖形面積為S1，它們與直線x=1所圍成的圖形面積為S2，且a＜1．(1)確定a，使S1+S2達到最小，并求出最小值；(2)求該最小值所對應(yīng)的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準答案：(1)直線y=ax與拋物線y=x2的交點為(0，0)，(a，a2)．知識點解析：暫無解析5、設(shè)b＞a≥0，f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)≠f(b)，求證：存在ξ，η∈(a，b)使得f’(ξ)=f’(η)．標(biāo)準答案：因為f(x)在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理條件，故至少存在ξ∈(a，b)，使令g(x)=x2，由柯西中值定理知，ヨ∈η(a，b)，使將②式入①式，即得知識點解析：暫無解析6、設(shè)隨機變量X服從標(biāo)準正態(tài)分布N(0，1)，在X=x(一∞＜x＜+∞)的條件下，隨機變量Y服從正態(tài)分布N(x，1)．求在Y=y條件下關(guān)于X的條件概率密度．標(biāo)準答案：依題意，X的概率密度為在X=x的條件下，關(guān)于Y的條件概率密度為根據(jù)條件概率密度的定義可得X與Y的聯(lián)合概率密度為根據(jù)二維正態(tài)分布的性質(zhì)可知，二維正態(tài)分布(X，Y)的邊緣分布是一維正態(tài)分布，于是Y的概率密度為從上面式子可以看出，在Y=y條件下關(guān)于X的條件分布是正態(tài)分布知識點解析：暫無解析7、求極限標(biāo)準答案：方法一(分子有理化)：方法二(等價無窮小代換)：當(dāng)x→0，y→0時，則知識點解析：暫無解析8、求函數(shù)f(x，y)=x2+2y2-x2y2在區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤4，y≥0，x≥0}上的最大值和最小值。標(biāo)準答案：先求D內(nèi)的駐點及相應(yīng)的函數(shù)值，由得f(x，y)在D內(nèi)有一個駐點=2。再求f(x，y)在D的邊界上的最大值與最小值，D的邊界由三部分組成：一是線段Γ1：y=0，0≤x≤2，在Γ1上f(x，y)=x2(0≤x≤2)，最小值為0，最大值為4。二是線段Γ2：x=0，0≤y≤2，在Γ2上f(x，y)=2y2(0≤y≤2)，最小值為0，最大值為8。三是上半圓周Γ3：y2=4-x2(0≤x≤2)，在Γ3上f(x，y)=x2+2(4-x2)-x2(4-x2)=8-5x2+x4h’(x)=，由h’(x)=0得x=0或x2=，且于是f(x，y)在D的邊界上的最大值為8，最小值為0。最后通過比較知f(x，y)在D上的最大值為8，最小值為0。知識點解析：暫無解析9、計算，其中S為圓柱x2+y2=a2(a＞0)位于z=－a與z=a之間的部分．標(biāo)準答案：令S1：y=－，Dxz={(x，z)|－a≤x≤a，－a≤z≤a}，知識點解析：暫無解析10、設(shè)隨機變量X的分布律為求X的分布函數(shù)F(x)，并利用分布函數(shù)求P{2＜X≤6}，P{X＜4}，P{1≤X＜5}．標(biāo)準答案：X為離散型隨機變量，其分布函數(shù)為F(x)=Pi，這里和式是對所有滿足xi≤x的i求和，本題中僅當(dāng)xi=1，4，6，10時概率P{X=xi}≠0，故有當(dāng)x＜1時，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=0；當(dāng)1≤x＜4時，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=P{X=1}=2／6；當(dāng)4≤x＜6時，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=P{X=1}+P{X=4}=3／6；當(dāng)6≤x＜10時，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=P{X=1}+P{X=4}+P{X=6}=5／6；當(dāng)x≥10時，F(xiàn)(x)=P{X=1}+P{X=4}+P{X=6}+P{X=10}=1．于是P{2＜X≤6}=F(6)一F(2)=5／6—1／3=1／2，P{X＜4}=F(4)—P{X=4}=1／2—1／6=1／3，P{1≤X＜5}=P{1＜X≤5}+P{X=1}一P{X=5}=F(5)一F(1)+1／3—0=1／2—1／3+1／3=1／2．知識點解析：暫無解析設(shè)隨機變量U在[-2，2]上服從均勻分布，記隨機變量求：11、Cov(X，Y)，并判定X與Y的獨立性；標(biāo)準答案：X，Y的全部可能取值為-1，1，且P{X=-1，Y=-1)=P{U≤-1，U≤1}=P{U≤-1)=P{X=-1，Y=1}P{U≤-1，U＞1}=0，P{X=1，Y=-1}=P{U＞-1，U≤1}=P{-1＜U≤1}=P{X=1，Y=1}=P{U＞-1，U＞1}=P{U＞1}=所以(X，Y)的分布律及邊緣分布律為知識點解析：暫無解析12、D[X(1+Y)]．標(biāo)準答案：D[X(1+Y)]=D(X+XY)DX+D(XY)+2Cov(X，XY)=DX+D(XY)+2E(X2Y)-2EXE(XY)．①此外，由于XY及X2Y的分布律分別為D(XY)=E(X2Y2)-[E(XY)]2=1-0=1，⑤將②～⑥代入①得知識點解析：暫無解析13、設(shè)半徑為R的球面S的球心在定球面x2+y2+z2=a2(a＞0)上，問R取何值時，球面S在定球面內(nèi)的面積最大?標(biāo)準答案：設(shè)球面S：x2+y2+(z—a)2=R2．知識點解析：暫無解析14、求下列函數(shù)的微分：標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析15、標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（解答題）高頻考點模擬試卷第5套一、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程y—xey=1所確定，試求標(biāo)準答案：2e2知識點解析：暫無解析2、設(shè)，A=αβT，B=βTα，其中βT是β的轉(zhuǎn)置，求解方程2B2A2x=A4x+B4x+y．標(biāo)準答案：由已知得又A2=αβTαβT=α(βTα)βT=2A，遞推地A4=23A．代入原方程，得16Ax=8Ax+16x+y，即8(A-2E)x=y(其中E是3階單位矩陣)．令X=(x1，x2，x3)’，代人上式，得到非齊次線性方程組解其對應(yīng)的齊次方程組，得通解ξ=k(1，2，1)T(k為任意常數(shù))．顯然，非齊次線性方程組的一個特解為η*=(0，0，-1/2)T，于是所求方程的解為x=ξ+η*，即x=k(1，2，1)T+(0，0，-1/2)T，其中k為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析3、求星形線L：x2／3+y2／3=a2／3(a＞0)所圍區(qū)域的面積A．標(biāo)準答案：圖形關(guān)于x，y軸均對稱，第一象限部分：0≤x≤a，0≤y≤4∫0π／2cos3t．3asin2tcostdt=12a2∫0π／2cos4t(1－cos2t)dt=3／8πa2．知識點解析：暫無解析4、設(shè)向量α1，α2，...，αt是齊次方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系，向量β不是方程組Ax=0的解即Aβ≠0．試證明：向量組β，β+α1，β+α2，…，β+αt線性無關(guān)．標(biāo)準答案：(定義法)若有一組數(shù)k,k1，k2，...，kt，使得kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+…kt(β+αt)=0，①則因α1，α2，...，αt是Ax=0的解，知Aαi=0(i=1，2，…，t)，用A左知識點解析：(用秩)經(jīng)初等變換向量組的秩不變．把第1列的-1倍分別加至其余各列，有(β，β+α1，β+α2，…，β+αt)→(β，α1，α2，...，αt)．因此r(β，β+α1，β+α2，…，β+αt)=r(β,α1，α2，...，αt)．由于α1，α2，...，αt是基礎(chǔ)解系，它們是線性無關(guān)的，秩r(α1，α2，...，αt)=t，又β必不能由α1，α2，...，αt線性表出(否則Aft=0)，故r(α1，α2，...，αt,β)=t+1．所以r(β，β+α1，β+α2，…，β+αt)=t+1．即向量組β，β+α1，β+α2，…，β+αt線性無關(guān)．5、設(shè)A為m階實對稱陣且正定，B為m×n實矩陣，BT為B的轉(zhuǎn)置矩陣．試證：BTAB為正定矩陣的充分必要條件是B的秩r(B)=n．標(biāo)準答案：必要性：設(shè)BTAB為正定矩陣，則對任意的實n維列向量x≠0，有xT(BTAB)x＞0，即(Bx)TA(Bx)＞0于是Bx≠0．因此，取=0只有零解，從而有r(B)=n．充分性：因(BTAB)T=BTATB=BTAB，故BTAB為實對