1.3.2-球的表面積與體積(m)

8/16/20241.3.2球的表面積與體積學(xué)習(xí)目標(biāo):1、通過(guò)對(duì)球的體積和面積公式的推導(dǎo)，了解推導(dǎo)過(guò)程中所用的基本數(shù)學(xué)思想方法：“分割—求和—化為準(zhǔn)確和”；2、能運(yùn)用球的面積和體積公式靈活解決實(shí)際問(wèn)題；3、能解決球的截面有關(guān)計(jì)算問(wèn)題及球的“內(nèi)接”與“外切”的幾何體問(wèn)題。RR一個(gè)半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個(gè)以上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐后,所得的幾何體的體積與一個(gè)半徑為R的半球的體積相等。一、球的體積:RRR設(shè)想一個(gè)球由許多頂點(diǎn)在球心,底面在球面上的“準(zhǔn)錐體”組成,這些準(zhǔn)錐體的底面并不是真的多邊形,但只要其底面足夠小,就可以把它們看成真正的錐體.二、球的表面積:RS球表=4πR2例1:鋼球直徑是5cm,求它的體積.4.若兩球體積之比是1:8，則其表面積之比是______.練習(xí)1:1.若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的___倍.2.若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的___倍.3.若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是___.內(nèi)切和外接問(wèn)題:例2：把直徑是5cm的鋼球放入一個(gè)正方體的有蓋紙盒中,至少要用多少紙?用料最省時(shí),球與正方體有什么位置關(guān)系?側(cè)棱長(zhǎng)為5cm兩個(gè)幾何體相切:一個(gè)幾何體的各個(gè)面與另一個(gè)幾何體的各面相切.球內(nèi)切于正方體(變式1)把棱長(zhǎng)為5cm的正方體的紙盒裝入半徑為4cm的球狀木盒里,能否裝得下?半徑為4cm的木盒能裝下的最大正方體與球盒有什么位置關(guān)系?球外接于正方體兩個(gè)幾何體相接:一個(gè)幾何體的所有頂點(diǎn)都在另一個(gè)幾何體的表面上。（變式2）三個(gè)球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過(guò)正方體的各頂點(diǎn),求這三個(gè)球的體積之比_________.探究：若正方體的棱長(zhǎng)為a，則：(1)正方體的內(nèi)切球的直徑=(2)正方體的外接球的直徑=(3)與正方體所有的棱相切的球的直徑=（變式3）半球內(nèi)有一內(nèi)接正方體，若正方體的棱長(zhǎng)為，求半球的體積。

RCDBAO（變式4）已知球面O上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，且PA、PB、PC兩兩互相垂直，若PA＝PB＝PC＝1，求這個(gè)球O的體積。O'OCBAPD分析：解決本題的關(guān)鍵是確定球O的半徑。由題意PA、PB、PC兩兩垂直聯(lián)想到長(zhǎng)方體，直徑應(yīng)該是補(bǔ)形后的對(duì)角線。（變式5）一個(gè)四面體的棱長(zhǎng)都為，四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球的表面積為()A、3π

B、4π

C、6π

D、DCBA聯(lián)想：⑴過(guò)一點(diǎn)有三條棱兩兩垂直，補(bǔ)形成長(zhǎng)方體；⑵正四面體補(bǔ)形成正方體。練習(xí)2：1.一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，它的棱長(zhǎng)是4cm,則這個(gè)球的體積為＿＿＿＿。2.長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為3、4、5，若它的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，則這個(gè)球的體積是＿＿＿＿＿。3.棱錐P－ABC的三個(gè)側(cè)棱兩兩垂直，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若P、A、B、C都在球面O上，則球O的體積是＿＿＿＿。例3:如圖是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖,單位是cm，試畫(huà)出它的直觀圖，并計(jì)算這個(gè)獎(jiǎng)杯的體積.(精確到0.01cm)86618515151111x/y/z/解：這個(gè)獎(jiǎng)杯的體積為V=V正四棱臺(tái)+V長(zhǎng)方體+V球V正四棱臺(tái)V長(zhǎng)方體=6×8×18=864V球=所以這個(gè)獎(jiǎng)杯的體積為V≈

1828.76(cm3)