1.1-隨機(jī)事件與樣本空間

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第二章隨機(jī)變量及其分布第一章隨機(jī)事件及概率第四章大數(shù)定律與中心極限定理主要內(nèi)容第一章隨機(jī)事件與概率本章是概率論部分的基本概念和基本知識(shí)，是學(xué)習(xí)以后各章所必不可少的．一、教學(xué)目的與要求二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)一、教學(xué)目的與要求理解事件的概念，熟練掌握事件的運(yùn)算法則，事件間的各種關(guān)系.掌握概率的幾種定義，熟悉并會(huì)用概率性質(zhì)進(jìn)行概率的有關(guān)計(jì)算.掌握幾種概型（古典概型、幾何概型、貝努里概型）概率的計(jì)算.理解事件獨(dú)立性的概念，并會(huì)用獨(dú)立性的性質(zhì)進(jìn)行概率的計(jì)算.掌握條件概率的定義，并能應(yīng)用有關(guān)條件概率的公式（乘法公式、全概率公式及貝葉斯公式）計(jì)算概率.二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn):

各種類(lèi)型概率的計(jì)算難點(diǎn):

有關(guān)事件概率的計(jì)算§1.1隨機(jī)事件和樣本空間一、隨機(jī)事件和樣本空間的概念1、基本事件和樣本空間定義：一個(gè)試驗(yàn)如果滿足下述條件：（1）試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知道的，并且不止一個(gè)；（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一個(gè)試驗(yàn)之前不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。就稱(chēng)這樣的試驗(yàn)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，為方便起見(jiàn)，也簡(jiǎn)稱(chēng)為試驗(yàn)．（可重復(fù)性）（明確可知性）（不確定性）定義：隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果,稱(chēng)為基本事件（樣本點(diǎn)）．一般用表示,也可以A,B,C等表示.因?yàn)殡S機(jī)試驗(yàn)的所有結(jié)果是明確的，從而所有的基本事件也是明確的．則基本事件的全體所組成的集合，稱(chēng)為樣本空間．常用來(lái)表示．注：（1）定義中的每個(gè)可能的結(jié)果是指每個(gè)不能再分或不必再細(xì)分的可能結(jié)果.（2）對(duì)于一個(gè)具體的隨機(jī)試驗(yàn)，我們可以根據(jù)試驗(yàn)的條件和觀察的目的來(lái)確定樣本空間．例1－例4（見(jiàn)課本P4）例1.1,例1.2,例1.3,例1.4．例5拋擲一枚均勻的硬幣，觀察它可能出現(xiàn)的結(jié)果．

={出現(xiàn)正面}，={出現(xiàn)反面}，則樣本空間為{正，反}．例6若擲兩枚硬幣，或一枚硬幣擲兩次．=（正，正），=（正，反），=（反，正），=（反，反）

則樣本空間為{(正，正),(正，反),(反，正),(反,反)}若關(guān)心兩枚硬幣中正面出現(xiàn)的次數(shù)，則=“出現(xiàn)i次正面”

其樣本空間從這個(gè)例子我們可以看到對(duì)同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，當(dāng)目的和要求不同時(shí)，則樣本空間所含的樣本點(diǎn)是不一樣的．樣本空間為例75件同類(lèi)產(chǎn)品中有3件正品，記為2件次品，記為今從中任取2件，則這一試驗(yàn)的樣本空間為：

共有10個(gè)樣本點(diǎn)．現(xiàn)在改變它的試驗(yàn)條件：從中依次不放回地任取2件，即每次取1件，取后不放回，一共取兩次，這時(shí)，樣本點(diǎn)不僅與取出的產(chǎn)品有關(guān)，而且與抽取產(chǎn)品的先后次序有關(guān)．如是不同的樣本點(diǎn)，不難看出，這一試驗(yàn)共有20個(gè)樣本點(diǎn)．

與例8向某一目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，觀察彈著點(diǎn)的位置，其結(jié)果可以用某一平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（x，y）來(lái)表示，其樣本空間為從上面的一些例子可以看出，樣本空間可以是有限的，也可以是無(wú)限的；可以是一維點(diǎn)集，也可以是二維點(diǎn)集．而且一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)往往與一個(gè)樣本空間相聯(lián)系；反過(guò)來(lái)一個(gè)樣本空間又是許多同類(lèi)試驗(yàn)?zāi)５某橄蠡?/p>

只包含兩個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間,既可以用來(lái)描述擲硬幣出現(xiàn)正面和反面的試驗(yàn)，又可以描述產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)中出現(xiàn)正品和次品的試驗(yàn)，還可以描述射擊中是中還是不中的試驗(yàn)等等．盡管問(wèn)題的實(shí)際內(nèi)容不同，但卻能歸結(jié)為相同的概率模型．2．隨機(jī)事件在隨機(jī)試驗(yàn)中，有時(shí)關(guān)心的是帶有某些特征的基本事件是否發(fā)生，如在例1中，A={球的標(biāo)號(hào)=5}，

B={球的標(biāo)號(hào)是偶數(shù)}，

C={球的標(biāo)號(hào)<5}．其中A是基本事件，而B(niǎo)和C是由多個(gè)基本事件所組成的，相對(duì)于基本事件，稱(chēng)為復(fù)雜事件．無(wú)論是基本事件還是復(fù)雜事件，它們?cè)谠囼?yàn)中發(fā)生與否，都帶有隨機(jī)性，所以都叫做隨機(jī)事件或簡(jiǎn)稱(chēng)為事件，習(xí)慣上用A、B、C，…來(lái)表示．2196807543定義

一般地，我們稱(chēng)樣本空間的某個(gè)子集為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)為事件.說(shuō)某事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所包含的某一個(gè)基本事件出現(xiàn)，可用來(lái)表示.基本事件與隨機(jī)事件是兩個(gè)不同的概念，基本事件是一個(gè)隨機(jī)事件，而隨機(jī)事件不一定是基本事件，如上例.從上述事件的構(gòu)成來(lái)看，在一次試驗(yàn)中，一個(gè)事件“發(fā)生”,當(dāng)且僅當(dāng)它所含的一個(gè)基本事件發(fā)生；一個(gè)事件“不發(fā)生”，當(dāng)且僅當(dāng)它所含的所有基本事件都不發(fā)生.一個(gè)事件是否稱(chēng)為基本事件是相對(duì)于試驗(yàn)的目的來(lái)說(shuō)的．例如：一射手擊靶，如果考察命中的環(huán)數(shù)，那么“命中0環(huán)”，“命中1環(huán)”，…，“命中10環(huán)”都是基本事件，共有11個(gè)；如果考察的是命中還是不命中，那么只有兩個(gè)基本事件，即“命中”，“不命中”．定義

必然事件,

用符號(hào)來(lái)表示不可能事件,

用符號(hào)來(lái)表示例9．拋擲一枚硬幣．落下后它的正面朝上，這是一個(gè)隨機(jī)事件,記作A=“正面朝上”；落下后它的正面朝下，這是一個(gè)隨機(jī)事件,記作B=“正面朝下”．例10．拋擲兩枚硬幣．A=“兩個(gè)都是正面朝上”；B=“兩個(gè)都是正面朝下”；C=“一個(gè)正面朝上，一個(gè)正面朝下”都是隨機(jī)事件．不難看出D=“至少有一個(gè)正面朝上”也是一個(gè)隨機(jī)事件．例11．?dāng)S一個(gè)勻稱(chēng)的骰子．A=“出現(xiàn)1點(diǎn)”，B=“出現(xiàn)2點(diǎn)”，…，F(xiàn)=“出現(xiàn)6點(diǎn)”；G=“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，H=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”都是隨機(jī)事件；I=“點(diǎn)數(shù)大于6”是不可能事件；J=“點(diǎn)數(shù)不大于6”是必然事件．例12．在10個(gè)同類(lèi)產(chǎn)品中，有8個(gè)正品，2個(gè)次品，從中任取3個(gè)A=“三個(gè)都是正品”，B=“至少有一個(gè)是次品”為隨機(jī)事件；C=“三個(gè)都是次品”是不可能事件；D=“至少有一個(gè)是正品”是必然事件．例13．在一副撲克牌中任摸14張．A=“其中有兩張花色是不同的”是必然事件；B=“其中沒(méi)有兩張花色是不同的”是不可能事件．

不可能事件和必然事件是否發(fā)生都是確定的，顯然不符合隨機(jī)事件的定義（因隨機(jī)事件具有不確定性即試驗(yàn)前不能確定哪個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)），所以不是隨機(jī)事件．但為了便于討論問(wèn)題起見(jiàn)，我們也把它們算作隨機(jī)事件的極端情形．二、事件的關(guān)系與運(yùn)算1．事件的關(guān)系與運(yùn)算文氏圖(Venndiagram)

A

以下設(shè)等都是同一樣本空間中的事件.——

A

包含于B

事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件B

發(fā)生AB(1).事件的包含定義：若，則（若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生），這時(shí)稱(chēng)事件B包含事件A，記作或，即A是B的子事件．(2).事件的相等定義：若且則稱(chēng)事件A與B相等，記作定義：“事件A、B中至少有一個(gè)發(fā)生”,這樣的一個(gè)事件稱(chēng)作事件A與B的并（或和）記作(或A+B)．類(lèi)似的可以推廣到n個(gè)事件：中至少有一個(gè)發(fā)生”,這樣的一個(gè)事件稱(chēng)作事件（3）.并(和)事件

的并（或和），記作

或BA定義：“事件A與B同時(shí)發(fā)生”,這樣的一個(gè)事件稱(chēng)作事件A與B的交（或積）記作（或AB）．發(fā)生A發(fā)生且B發(fā)生A、B同時(shí)發(fā)生類(lèi)似的“同時(shí)發(fā)生”稱(chēng)為的交（或積）記作（簡(jiǎn)記為）（4）.交(積)事件AB發(fā)生（5）.差事件不發(fā)生．發(fā)生而定義：“事件發(fā)生而不發(fā)生”，這樣一個(gè)與的差．記為事件稱(chēng)作事件

注：AB（6）.互不相容事件(互斥事件)（7）．對(duì)立事件（逆）A對(duì)立事件與互不相容事件的關(guān)系：

對(duì)立事件一定是互不相容的，但互不相容事件不一定是對(duì)立的．

定義：若，則稱(chēng)事件A與事件

B互不相容（互斥）。

即表示互不相容的兩事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生。定義：若A是一個(gè)事件，令稱(chēng)為事件A的對(duì)立事件或逆事件．

（8）．完備事件組事件運(yùn)算有如下的基本性質(zhì)：

（1）否定律（2）冪等律（3）交換律（4）結(jié)合律（5）分配律（6）德·摩根（DeMorgan）公式（對(duì)偶原則或反演律）更一般地有例14：設(shè)A、B、C是樣本空間的三個(gè)隨機(jī)事件，試將下列事件用A、B、C表示出來(lái)．（1）A發(fā)生，但B、C都不發(fā)生（2）A、B發(fā)生，而C不發(fā)生（3）三個(gè)事件都發(fā)生（4）三個(gè)事件中至少一個(gè)發(fā)生（5）三個(gè)事件都不發(fā)生或或或或或或或（6）不多于一個(gè)事件發(fā)生（7）不多于兩個(gè)事件發(fā)生（8）三個(gè)事件中至少兩個(gè)發(fā)生（9）恰有一個(gè)事件發(fā)生（10）恰有兩個(gè)事件發(fā)生或或或或例15

在圖書(shū)館中隨意抽取一本書(shū)，表示數(shù)學(xué)書(shū)，表示中文書(shū)，表示平裝書(shū).——抽取的是精裝中文版數(shù)學(xué)書(shū)——精裝書(shū)都是中文書(shū)——非數(shù)學(xué)書(shū)都是中文版的，且中文版的書(shū)都是非數(shù)學(xué)書(shū)事件則以下事件表示什么含義例16試驗(yàn)Ｅ：袋中有三個(gè)球編號(hào)為１,２,３，從中任意摸出一球，觀察其號(hào)碼，記Ａ＝

Ｂ＝

Ｃ＝.試問(wèn)：１）Ｅ的樣本空間為什么？２）Ａ與Ｂ，Ａ與Ｃ，Ｂ與Ｃ是否互不相容？３）Ａ，Ｂ，Ｃ對(duì)立事件是什么？4）A與B的和事件，積事件，差事件各是什么？三．事件域前面我們?cè)?jīng)指出，事件是樣本空間的某個(gè)子集，但一般并不把的一切子集都作為事件，因?yàn)檫@將會(huì)給進(jìn)一步的討論帶來(lái)困難．另一方面，由討論問(wèn)題的需要，又必須把問(wèn)題中感興趣的事件都包括進(jìn)來(lái)．例如，若A是事件，則應(yīng)要求也是事件，若A、B是事件，則以及等也應(yīng)是事件．為此，我們通?？偸歉鶕?jù)具體問(wèn)題的需要，適當(dāng)選取的一些子集組成集類(lèi)F

，要求F對(duì)集合的逆、交、并等運(yùn)算封閉，而把中屬于F

的那些子集叫做事件，把F

稱(chēng)作事件域．定義：設(shè)是一給定的樣本空間，F(xiàn)是由的一些子集構(gòu)成的集合類(lèi)，如果F滿足下列條件：（1）則稱(chēng)F為事件域，F(xiàn)中的元素稱(chēng)為事件，稱(chēng)為必然事件．關(guān)于F有如下性質(zhì)：

（2）（3）（2）若

F，有

F；

F，i=1,2,…

，有F.（3）若（1）

F；

例：

F

是一個(gè)事