2第二章-金融工程的基本分析方法

第一節(jié)幾個(gè)基本概念第二節(jié)無套利定價(jià)第三節(jié)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)第四節(jié)狀態(tài)價(jià)格定價(jià)第五節(jié)積木分析法課件和練習(xí)題發(fā)到公共信箱，請不要更改密碼和刪除文件。jrgc2010@126.com密碼：123456第二章金融工程的基本分析方法復(fù)利：假設(shè)數(shù)額A以利率R投資了n年。如果利息按每一年計(jì)一次復(fù)利，則上述投資的終值為：如果每年計(jì)m次復(fù)利，則終值為：

當(dāng)m趨于無窮大時(shí)，就稱為連續(xù)復(fù)利（Continuouscompounding），此時(shí)的終值為第一節(jié)幾個(gè)基本概念設(shè)是連續(xù)復(fù)利的年利率，是與之等價(jià)的每年記m次復(fù)利的年利率，則即利率間轉(zhuǎn)換設(shè)是一年記一次復(fù)利的年利率，是與之等價(jià)的每年記m次復(fù)利的年利率，則即利率間轉(zhuǎn)換無風(fēng)險(xiǎn)利率：是指投資者可以任意借入或者貸出資金的市場利率?，F(xiàn)階段，符合理論要求的無風(fēng)險(xiǎn)利率有兩個(gè)：回購利率、同業(yè)市場拆借利率。我們傾向于推薦使用7天回購利率的30天或90天平均值，因?yàn)橥瑯I(yè)拆借市場對一般投資者是不開放的。在美國等債券市場發(fā)達(dá)的國家，用短期國債利率。無風(fēng)險(xiǎn)利率回購及回購利率回購：是指一方用國債或其他高信用度的債券作抵押，向另一方借入資金的行為。借款到期時(shí)，借款方歸還借款本金并按回購利率支付利息，另一方歸還國債并收取本息?；刭徖剩阂话闶侵竾鴤刭徖剩凑諘r(shí)間一般又被叫做7天回購利率。把回購利率看作是使用國債借錢所需要償還的利息。http:///chinabond/index.jsp

同業(yè)拆借利率同業(yè)拆借利率：是指銀行同業(yè)之間的短期資金借貸利率。同業(yè)拆借有兩個(gè)利率，拆進(jìn)利率與拆出利率。其中，拆進(jìn)利率表示銀行愿意借款的利率，拆出利率表示銀行愿意貸款的利率。

倫敦同業(yè)拆借利率（LondonInterbankOfferedRate，簡稱為LIBOR

）：是國際短期資金拆借市場上的基礎(chǔ)利率?，F(xiàn)金流、現(xiàn)值、終值現(xiàn)金流：一個(gè)企業(yè)、機(jī)構(gòu)或投資者在投資或經(jīng)營過程中的支出和收入的貨幣稱為現(xiàn)金流，一般用C1,C2,…CT表示。現(xiàn)值（PV）：現(xiàn)金流在當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)值。終值（FV）：現(xiàn)金流在投資期結(jié)束時(shí)刻的價(jià)值。現(xiàn)值終值的計(jì)算

案例2-1：考察某個(gè)5年期，息票率為5%的債券的現(xiàn)金流，設(shè)該債券每年年底付息一次，最后一次付息時(shí)同時(shí)返還本金，債券的面值為50000元，則投資該債券的現(xiàn)金流為2500，2500，2500，2500，52500.假定一年期無風(fēng)險(xiǎn)利率為4.5%。終值FV=2500e4×0.045+2500e3×0.045+2500e2×0.045+2500e1×0.045+52500現(xiàn)值PV=2500e-0.045+2500e-2×0.045+2500e-3×0.045+2500e-4×0.045+52500e-5×0.045定價(jià)原理絕對定價(jià)法就是根據(jù)證券未來現(xiàn)金流的特征，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)馁N現(xiàn)率將這些現(xiàn)金流貼現(xiàn)加總為現(xiàn)值，該現(xiàn)值就是此證券的合理價(jià)格。

相對定價(jià)法的基本思想就是利用標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與衍生品價(jià)格之間的內(nèi)在關(guān)系，直接根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格求出衍生品價(jià)格。股票和債券定價(jià)大多使用絕對定價(jià)法。衍生品定價(jià)則主要運(yùn)用相對定價(jià)法。絕對定價(jià)法是一般原理，易于理解，但難以應(yīng)用；相對定價(jià)法則易于實(shí)現(xiàn)，貼近市場，一般僅適用于衍生品。

套利---是在某項(xiàng)金融資產(chǎn)的交易過程中，利用一個(gè)或多個(gè)市場存在的價(jià)格差異，交易者可以在不需要期初投資支出的條件下獲取無風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬。套利的三大特征---無風(fēng)險(xiǎn)、復(fù)制、零投資無套利定價(jià)的思想---在有效的金融市場上，任何一項(xiàng)金融資產(chǎn)的定價(jià)，應(yīng)當(dāng)使得利用該項(xiàng)金融資產(chǎn)進(jìn)行套利的機(jī)會不復(fù)存在。

第二節(jié)無套利定價(jià)無套利價(jià)格在套利無法獲取無風(fēng)險(xiǎn)超額收益的狀態(tài)下，市場達(dá)到無套利均衡，此時(shí)得到的價(jià)格即為無套利價(jià)格。無套利分析法是衍生資產(chǎn)定價(jià)的基本思想和重要方法，也是金融學(xué)區(qū)別于經(jīng)濟(jì)學(xué)“供給需求分析”的一個(gè)重要特征。如果市場是有效率的話，市場價(jià)格必然由于套利行為作出相應(yīng)的調(diào)整，重新回到均衡的狀態(tài)，這就是無套利均衡的定價(jià)原則。套利組合無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)多頭、基礎(chǔ)資產(chǎn)空頭和遠(yuǎn)期合約多頭構(gòu)成一個(gè)典型的套利組合。投資者期初并無投資支出，通過賣空基礎(chǔ)資產(chǎn)獲得無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的資金來源，投資所得供遠(yuǎn)期合約交割使用，而交割所獲資產(chǎn)又正好用來軋抵基礎(chǔ)資產(chǎn)的空頭。套利組合的特點(diǎn)套利組合是自融資系統(tǒng)，因而市場規(guī)則允許賣空。套利過程涉及投資的時(shí)間價(jià)值，因而套利組合中一般包含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。套利組合是無風(fēng)險(xiǎn)的。如果套利組合中含有衍生品，則組合中通常亦包含對應(yīng)的基礎(chǔ)資產(chǎn)。套利組合的數(shù)學(xué)表達(dá)t0—期初，t—期末，Si(.)—資產(chǎn)Xi的價(jià)格

xi—資產(chǎn)Xi的數(shù)額，r—無風(fēng)險(xiǎn)利率套利組合—(X1,…,

Xn)期初V(t0)=x1S1(t0)+…+xnSn(t0)=0期末V(t)=x1S1(t)+…+xnSn(t)≥0定價(jià)：V(t0)=0，V(t)=0一價(jià)法則一價(jià)法則：金融市場要實(shí)現(xiàn)無套利機(jī)會，未來現(xiàn)金流相同的金融資產(chǎn)組合必須有相同的價(jià)格。未來現(xiàn)金流為0的組合，當(dāng)前現(xiàn)金流必須為0。無風(fēng)險(xiǎn)組合只能獲取無風(fēng)險(xiǎn)收益率。一價(jià)法則又稱為線性定價(jià)法則，是金融工程等價(jià)復(fù)制原理的核心。復(fù)制復(fù)制技術(shù)的要點(diǎn)是使復(fù)制組合的現(xiàn)金流特征與被復(fù)制組合的現(xiàn)金流特征完全一致，復(fù)制組合的多頭（空頭）與被復(fù)制組合的空頭（多頭）互相之間應(yīng)該完全實(shí)現(xiàn)頭寸對沖。復(fù)制技術(shù)定價(jià)的原則：構(gòu)造兩個(gè)投資組合，如果兩者的期末價(jià)值相等，則其期初價(jià)值一定相等，否則存在套利機(jī)會。Va(t0)=Vb(t0)，Va(t)=Vb(t)無套利定價(jià)的例子

--同一市場、不同資產(chǎn)間套利

案例2-2：市場有三種金融資產(chǎn)，未來可能出現(xiàn)兩種狀態(tài)，收益矩陣如下：三種金融資產(chǎn)的價(jià)格向量為：[1,5,3]這個(gè)市場的價(jià)格體系是否合理？這樣的市場行情能否產(chǎn)生套利活動？案例2-2（續(xù)）構(gòu)建三種金融資產(chǎn)的頭寸為[a1,a2,a3]使得未來現(xiàn)金流為0，也即解得，而該頭寸當(dāng)前的現(xiàn)金流為案例2-2（續(xù)）可見，存在著某種金融資產(chǎn)組合使得未來現(xiàn)金流為0，而當(dāng)前現(xiàn)金流不為0，這是一種套利機(jī)會。投資者可以持有51單位資產(chǎn)一的多頭，38單位資產(chǎn)二的空頭，和7單位資產(chǎn)三的多頭，即可以得到當(dāng)前118元的獲利。無套利定價(jià)的例子案例2-3遠(yuǎn)期利率：假設(shè)現(xiàn)在6個(gè)月即期年利率為10%（連續(xù)復(fù)利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6個(gè)月到1年期的遠(yuǎn)期利率定為11%，試問這樣的市場行情能否產(chǎn)生套利活動？遠(yuǎn)期利率的無套利均衡價(jià)格應(yīng)該為多少？案例2-3（續(xù)）1、交易者按10%的利率借入一筆6個(gè)月資金1000萬元。2、簽訂一份協(xié)議（遠(yuǎn)期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定該交易者可以按11%的價(jià)格6個(gè)月后從市場借入資金1051萬元（等于1000e0.10×0.5）。3、按12%的利率貸出一筆1年期的款項(xiàng)金額為1000萬元。4、1年后收回1年期貸款，得本息1127萬元（=1000e0.12），并用1110萬元（等于1051e0.11×0.5）償還遠(yuǎn)期協(xié)議的債務(wù)后，交易者凈賺17萬元（1127萬元-1110萬元）。案例2-3（續(xù)）按10%的利率借入一筆6個(gè)月資金1元簽訂一份協(xié)議（遠(yuǎn)期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定該交易者可以按r*的價(jià)格6個(gè)月后從市場借入資金1.051元（等于e0.10×0.5）。按12%的利率貸出一筆1年期的款項(xiàng)金額為1元。到期末：1.051er*×0.5=e1×0.12,r*=14%無套利定價(jià)的例子

--不同市場、不同資產(chǎn)間套利案例2-4遠(yuǎn)期外匯：

假定市場條件如下：目前貨幣市場上美元利率是6%，馬克利率是10%；外匯市場上美元與馬克的即期匯率是1美元兌換1.8馬克(1:1.8)，問題是一年期的遠(yuǎn)期匯率是否還是1:1.8呢？無套利定價(jià)的例子案例2-5期貨的價(jià)格發(fā)現(xiàn)功能：假設(shè)小麥一年后的期貨價(jià)格是1500元/噸，市場無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%，持有成本是30元/噸，根據(jù)持有成本理論和無風(fēng)險(xiǎn)套利規(guī)則（不考慮其他因素），則小麥當(dāng)前的合理價(jià)格大約應(yīng)該為（1500-30）/（1+5%）=1400（元/噸）。案例2-5（續(xù)）如果現(xiàn)貨價(jià)格低于1400元，說明現(xiàn)貨被低估，則交易者可以做空期貨的同時(shí)通過借貸以當(dāng)前價(jià)格購買現(xiàn)貨，并持有一年到期后交割，可以獲得無風(fēng)險(xiǎn)利潤。這樣以來，小麥現(xiàn)貨市場的價(jià)格必然上漲；反過來，如果當(dāng)前的小麥現(xiàn)貨價(jià)格高于1400元，交易者賣空現(xiàn)貨（如果允許賣空）的同時(shí)做多期貨，則同樣可以獲取無風(fēng)險(xiǎn)收益。這樣以來，現(xiàn)貨市場價(jià)格必然下跌，回到其合理的價(jià)格水平。案例2-6期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型：假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是9元。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，求一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。套利組合：可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和y單位的標(biāo)的股票多頭組成的無風(fēng)險(xiǎn)組合。11y－0.5=9yy=0.25-f+10×0.25=9×0.25×e-0.1×0.25f=0.31無套利定價(jià)的例子若隨機(jī)過程{Yt}滿足如下條件（1）給定新息集Ft

，Yt是已知的（2）E|Yt|<∞

（3）Et(Yt+

)≡E(Yt+

|Ft)=Yt對任意

成立則稱{Yt}為對應(yīng)于信息集Ft的一個(gè)鞅。第三節(jié)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)鞅的定義等價(jià)鞅測度：資產(chǎn)價(jià)格St是一個(gè)隨機(jī)過程，資產(chǎn)價(jià)格變化的實(shí)際概率分布為P，若存在另一種概率分布P*使得未來價(jià)格序列經(jīng)無風(fēng)險(xiǎn)利率r貼現(xiàn)后（以P*計(jì)算期望）是一個(gè)鞅，即Ste-rt=E*t(St+

e-r（t+

）)，等價(jià)于St=e-r

E*t(St+

)，則稱P*為P的等價(jià)鞅測度。P*稱為是風(fēng)險(xiǎn)中性概率資產(chǎn)定價(jià)的基本定理：對于有限離散時(shí)間金融市場，市場無套利等價(jià)于存在等價(jià)鞅測度。等價(jià)鞅測度及資產(chǎn)定價(jià)的基本定理

在對衍生證券定價(jià)時(shí)，可假定所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，此時(shí)所有證券的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險(xiǎn)利率r，因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)中性的投資者并不需要額外的收益來吸引他們承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)。同樣，所有的現(xiàn)金流都可以用未來現(xiàn)金流的期望值通過無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)求得。這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了定價(jià)方便而作出的人為假定，但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)案例2-7：假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是9元。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，現(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的例子求風(fēng)險(xiǎn)中性概率：利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理定價(jià)：案例2-7（續(xù)）案例2-8：假設(shè)一個(gè)無紅利支付的股票，當(dāng)前時(shí)刻t股票價(jià)格為S，基于該股票的某個(gè)期權(quán)的價(jià)值是f，期權(quán)的有效期是T，在這個(gè)有效期內(nèi)，股票價(jià)格或者上升到Su，或者下降到Sd。當(dāng)股票價(jià)格上升到Su時(shí)，我們假設(shè)期權(quán)的收益為fu，如果股票的價(jià)格下降到Sd時(shí)，期權(quán)的收益為fd。風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)與無套利定價(jià)的等價(jià)性構(gòu)造一個(gè)由Δ股股票多頭和一個(gè)期權(quán)空頭組成的證券組合，并計(jì)算出該組合為無風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的Δ.無套利定價(jià)思路由無套利定價(jià)原理：求風(fēng)險(xiǎn)中性概率：風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)思路利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理定價(jià)狀態(tài)價(jià)格指的是在特定的狀態(tài)發(fā)生時(shí)回報(bào)為1，否則回報(bào)為0的資產(chǎn)在當(dāng)前的價(jià)格。此類資產(chǎn)通常被稱為“基本證券”或阿羅——德布魯證券（Arrow-Debru）

。如果未來時(shí)刻有N種狀態(tài)，而這N種狀態(tài)的價(jià)格我們都知道，那么我們只要知道某種資產(chǎn)在未來各種狀態(tài)下的回報(bào)狀況和市場無風(fēng)險(xiǎn)利率水平，我們就可以對該資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)，這就是狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)。第四節(jié)狀態(tài)價(jià)格定價(jià)若A是有風(fēng)險(xiǎn)證券，其目前的價(jià)格是PA，一年后其價(jià)格要么上升到uPA

，要么下降到dPA

?；咀C券1在證券市場上升時(shí)價(jià)值為1，下跌時(shí)價(jià)值為0；基本證券2恰好相反，在市場上升時(shí)價(jià)值為0，在下跌時(shí)價(jià)值為1?；咀C券1現(xiàn)在的市場價(jià)格是πu，基本證券2的價(jià)格是πd。狀態(tài)價(jià)格定價(jià)完全市場：若市場上存在n個(gè)未來狀態(tài)，同時(shí)市場上又有n種阿羅—德布魯證券，那么市場上的任何一種資產(chǎn)都可以用這些基本證券的組合來復(fù)制，由此對沖資產(chǎn)所面臨的風(fēng)險(xiǎn)，實(shí)現(xiàn)完全的保值，這樣的市場稱為完全市場。不完全市場：若此基本證券的數(shù)目小于未來狀態(tài)的數(shù)目，則在某些狀態(tài)下，資產(chǎn)不可能通過構(gòu)造相應(yīng)的復(fù)制組合提供完全的保值，故市場是不完全的。市場的完全性uPA份基本證券1和dPA份基本證券2可以復(fù)制證券A，狀態(tài)價(jià)格定價(jià)的原理PA=πuuPA+πddPA

即πuu+πdd=1

1單位基本證券組成的組合是無風(fēng)險(xiǎn)的

實(shí)質(zhì)？案例2-9：假如有價(jià)證券A的市場情況如下PA=100，r=2%，u=1.07,d=0.98，T-t=1,可以算出狀態(tài)價(jià)格定價(jià)的例子則B當(dāng)前的價(jià)格為PB=πuuPB+πddPB

=0.4378×103+0.5424×98.5=98.52假設(shè)另外有一個(gè)證券B，它在一年后的價(jià)格可能上升到103元，也可能下降到98.5元。

用Δ份證券A和當(dāng)前市場價(jià)值為L的無風(fēng)險(xiǎn)證券組合來復(fù)制證券B案例2-9（續(xù)）：由該方程組可解出Δ=0.5，L=48.52。于是，B現(xiàn)在的市場價(jià)值I=100Δ+L=100×0.5+48.52=98.52。

多階段狀態(tài)價(jià)格定價(jià)的例子107114.49104.86假設(shè)在第一年末，市場處于上升狀態(tài)。用Δu份證券A和市場價(jià)值為Lu的無風(fēng)險(xiǎn)證券組合來復(fù)制證券B。(第二階段）解得：Δu=0.49，Lu=50.76

因此，PBu=107Δu+Lu=102.99

多階段狀態(tài)價(jià)格定價(jià)的例子（續(xù)）98104.8696.04假設(shè)在第一年末，市場處于下跌狀態(tài)。用Δd份證券A和市場價(jià)值為Ld的無風(fēng)險(xiǎn)證券組合來復(fù)制證券B。(第二階段）解得：Δd=0.51，Ld=48.51

因此，PBd=98Δd+Ld=98.50

多階段狀態(tài)價(jià)格定價(jià)的例子（續(xù)）10010798用Δ份證券A和市場價(jià)值為L的無風(fēng)險(xiǎn)證券組合來復(fù)制證券B。(第一階段）解得：Δ=0.50，L=48.52

因此，PBu=100Δ+L=98.52

多階段狀態(tài)價(jià)格定價(jià)的例子（續(xù)）Δ=0.50