2.2.1線面平行的判定定理

§2.2.1直線與平面平行的判定1.直線與平面有幾種位置關(guān)系？復(fù)習(xí)引入:

其中平行是一種非常重要的關(guān)系，不僅應(yīng)用較多，而且是學(xué)習(xí)平面和平面平行的基礎(chǔ)．有三種位置關(guān)系：在平面內(nèi)，相交、平行．a(chǎn)aaa.Aaa怎樣判定直線與平面平行呢？問題探究:

根據(jù)定義，判定直線與平面是否平行，只需判定直線與平面有沒有公共點．但是，直線無限延長，平面無限延展，如何保證直線與平面沒有公共點呢？a

在生活中，注意到門扇的兩邊是平行的．當(dāng)門扇繞著一邊轉(zhuǎn)動時，另一邊始終與門框所在的平面沒有公共點，此時門扇轉(zhuǎn)動的一邊與門框所在的平面給人以平行的印象．實例感受實例感受

將一本書平放在桌面上，翻動書的硬皮封面，封面邊緣AB所在直線與桌面所在平面具有什么樣的位置關(guān)系？將課本的一邊AB緊靠桌面，并繞AB轉(zhuǎn)動，觀察AB的對邊CD在各個位置時，是不是都與桌面所在的平面平行？從中你能得出什么結(jié)論？ABCDCD是桌面外一條直線，AB是桌面內(nèi)一條直線，CD∥AB，則CD∥桌面直線AB、CD各有什么特點呢？它們有什么關(guān)系呢？猜想：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。做一做猜一猜

如果平面內(nèi)有直線與直線平行，那么直線與平面的位置關(guān)系如何？是否可以保證直線與平面平行？觀察直線與平面平行

平面外有直線平行于平面內(nèi)的直線．（1）這兩條直線共面嗎？（2）直線與平面相交嗎？探究直線與平面平行共面不可能相交平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行．說明:(1)證明直線與平面平行，三個條件必須具備，才能得到線面平行的結(jié)論．1.直線與平面平行判定定理(2)簡述:線線平行線面平行.(3)思想:空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.假設(shè)與有公共點P，則，點P是a與b的公共點，這與矛盾，已知：求證：證明：經(jīng)過a，b確定一個平面是兩個不同的平面pab直線與平面平行判定定理證明（1）定義法：證明直線與平面無公共點；（2）判定定理：證明平面外直線與平面內(nèi)直線平行．2.直線與平面平行判定方法說明:證明線面平行一般用判定定理.找線線平行的方法：1）空間直線平行關(guān)系的傳遞性2）三角形中位線法3）平行四邊形法4）成比例線段法直線和平面平行的判定定理如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

bab

a∥ba

a∥

注明：1、定理三個條件缺一不可。2、簡記：線線平行，則線面平行。3、定理告訴我們：要證線面平行，只要在面內(nèi)找一條線，使線線平行。

1．如圖，長方體中，（1）與AB平行的平面是

；（2）與平行的平面是

；（3）與AD平行的平面是

；平面平面平面平面平面平面隨堂練習(xí)判斷下列命題是否正確，若正確，請簡述理由，若不正確，請給出反例.(1)如果a、b是兩條直線，且a∥b,那么a平行于經(jīng)過b的任何平面；()（2）如果直線a和平面α滿足a∥α,那么a與α內(nèi)的任何直線平行;()（3）如果直線a、b和平面α滿足a∥α,b∥α,那么a∥b;()(4)過平面外一點和這個平面平行的直線只有一條.()試一試已知:空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點.求證:EF//平面BCD.分析：

EF在面BCD外，要證明EF∥面BCD，只要證明EF和面BCD內(nèi)一條直線平行即可.AEFBDCEF和面BCD哪一條直線平行呢？直線BD例求證：空間四邊形相鄰兩邊中點的連線，平行于經(jīng)過另外兩邊的平面.∵在△ABD中，E、F分別是AB、AD的中點證明：∴EF∥BD∴EF∥平面BCDBD平面BCD∩

又∵EF平面BCD，連接BD，三角形的中位線是常用的找平行線的方法.1.如圖，四面體ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點.BCADEFGH(3)你能說出圖中滿足線面平行位置關(guān)系的所有情況嗎？(1)E、F、G、H四點是否共面？(2)試判斷AC與平面EFGH的位置關(guān)系；練習(xí)解：(1)E、F、G、H四點共面.∵在△ABD中，E、H分別是AB、AD的中點.∴EH∥BD且同理GF∥BD且∴EH∥GF且EH＝GF∴E、F、G、H四點共面.(2)AC∥平面EFGH解:（3）由EF∥HG∥AC，得EF∥平面ACD，AC∥平面EFGH，HG∥平面ABC.由BD∥EH∥FG，得BD∥平面EFGH，EH∥平面BCD，F(xiàn)G∥平面ABD.BCADEFGH1.如圖，四面體ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點.(3)你能說出圖中滿足線面平行位置關(guān)系的所有情況嗎？(1)E、F、G、H四點是否共面？(2)試判斷AC與平面EFGH的位置關(guān)系；1．如圖，長方體中，（1）與AB平行的平面是

；（2）與平行的平面是

；（3）與AD平行的平面是

；平面平面平面平面平面平面隨堂練習(xí)

例2在長方體ABCD—A1B1C1D1中.（1）作出過直線AC且與直線BD1平行的截面，并說明理由.（2）設(shè)E，F(xiàn)分別是A1B和B1C的中點，求證直線EF//平面ABCD.ABCC1DA1B1D1EFMGH2．如圖，正方體中，E為的中點，試判斷與平面AEC的位置關(guān)系，并說明理由．證明：連接BD交AC于點O,連接OE,在中，E，O分別是的中點．隨堂練習(xí)AEBDC如圖，空間四邊形ABCD中，E是AB上的一點,試過CE作一平面平行于BD，并說明畫法的理論依據(jù)F變式引申兩個全等的正方形ABCD、ABEF不在同一平面內(nèi),M、N是對角線AC、BF的中點求證：MN∥面BCEDANMCBFE練一練PQ引申：

M、N是AC，BF上的點且AM=FN，求證：MN∥面BCEDANMCBFEDANMCBFE已知四棱錐S-ABCD,ABCD是平行四邊形,S是平面ABCD外一點,M為SC的中點.求證:SA//平面MDB知識擴(kuò)展BSMCADo證明：如圖，連接BD1

，在△DBD1中，EF為三角形中位線，所以EF//BD1，又EF平面ABC1D1

，

BD1

平面ABC1D1所以BD1//平面ABC1D1例如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點.求證：EF//平面ABC1D1.解：直線BD1//平面AEC，證明如下:如圖，連接BD交AC于O，再連接OE在△DBD1中，OE為三角形中位線，所以O(shè)E//BD1，又BD1

平面AEC，OE平面AEC，故BD1//平面AEC.P562如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點.試判斷BD1與平面AEC的位置關(guān)系，并說明理由.O注意：在直觀圖中，線段平行關(guān)系不變，可利用此特性先直觀地找出平行線的可能所在.練習(xí)如圖，已知P、Q是邊長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的面AA1DD1,面ABCD的中心.求證PQ//平面AA1B1B,并求線段的PQ長.解:（1）連接AB1，在△AB1D1中，顯然P，Q分別是AD1，D1B1的中點，所以，PQ//AB1，且PQ=CD1又因為PQ平面AA1B1BCD1

平面AA1B1B所以PQ//平面AA1B1B（2）AB1=，PQ=問：PQ//平面DD1C1C？∵PQ//C1D練習(xí)C1ACB1BMNA1F證明：取A1C1中點F，連結(jié)NF，F(xiàn)C．∵N為A1B1中點，M是BC的中點，∴NFCM為平行四邊形，故MN∥CFB1C1∴NF＝∥＝∥又∵BCB1C1，即MCNF＝∥∴MN∥平面AA1C1C.例如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分別是BC和A1B1的中點，求證：MN∥平面AA1C1C∴MC＝∥B1C1練習(xí)練1：三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC1上的點，F(xiàn)是CB1上的中點，求證：A1B//平面ADC1.法一：線面平行判定定理

連接BC1，則DE為△ABC1中位線，

所以EF//AB,

又EF平面ABC，AB平面ABC，

故EF//平面ABC.法二：由面面平行判定線面平行

取CC1的中點G，連接GE和GF，

則GE為△ACC1中位線，

所以GE//AC,

又GE平面ABC，AC平面ABC，

故GE//平面ABC.G同理可證GF//平面ABC.又GE∩GF=G，所以面GEF//面ABC.

ml

證明：又因m在α內(nèi)，∵

∥α，∴

和α沒有公共點；∴

和m也沒有公共點；又

和m都在平面β內(nèi)，且沒有公共點，∴

∥m．解：依題意點D為邊BC的中點.連接A1C交AC1于E，連接DE.在△ADC1中，DE為三角形中位線，所以DE//A1B,又DE平面ADC1

，A1B平面ADC1故A1B//平面ADC1練2：在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC為正三角形，D是BC上的點，若AD⊥BC，求證：A1B//平面ADC1.E練習(xí)例如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，M，N分別是AB，PC的中點,求證：MN//平面PAD.HG法二：取DC的中點G，連接GN，GM，往證面GMN//面PAD即可.證明：取PD的中點H，連接HN，AH，在三角形△PDC中，HN為三角形中位線，所以HN//DC且HN=DC又因為底面為正方形，且M為AB中點，所以AM//DC且AM=DC∴AM//HN且AM=HN即AMNH為平行四邊形，故MN//AH又AH平面PAD，MN平面PAD，故MN//平面PAD.練：如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，△PAD是正三角形，E，F(xiàn)分別是PC，BD的中點，求證：EF//平面PAD.證明：分別取PD，AD的中點G，H，連接GE，HF，GH在△PDC中，GE為三角形中位線，所以GE//DC且GE=DC同理，HF//AB且HF=AB又∵底面為正方形，∴AM//DC且AM=DC∴GE//HF且GE=HF即HFEG為平行四邊形，故EF//GH又GH平面PAD，EF平面PAD，故EF//平面PAD.GH練習(xí)例如圖，點B為△ACD所在平面外一點，M，N分別為△ABC，△ABD的重心.

(1)求證：MN//平面ACD.

(2)若底面邊長為1為正三角形，求線段的MN的長度.解:(1)分別連接BM，BF交AC，AD于點E，F(xiàn).

因為M，N分別為對應(yīng)三角形的重心，

故E，F(xiàn)為相應(yīng)邊的中點，且有

BM:ME=2:1，BN:NF=2:1∴MN//EF且MN=EF.又因為MN平面ACD，EF平面ACD

所以MN//平面ACD.EF(2)又因為在△ACD中，EF是三角形的中位線，所以，EF//CD且EF=CD.∴MN=，CD=線段成比例也是常用的找平行線的方法.練如圖點B為△ACD所在平面外一點，M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心.

(1)求證：平面MNG//平面ACD.(2)求的值.EFH同理，連接BG交CD于中點H，可證NG//平面ACD且NG=FH.

又因為MN∩NG=N，所以面MNG//面ACD.練習(xí)解:(1)分別連接BM，BF交AC，AD于點E，F(xiàn).

因為M，N分別為對應(yīng)三角形的重心，

故E，F(xiàn)為相應(yīng)邊的中點，且有

BM:ME=2:1，BN:NF=2:1∴MN//EF且MN=EF.又因為MN平面ACD，EF平面ACD

所以MN//平面ACD.同理可證明NG=AC且NG//AC，MG=AD且