串講02 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（考點串講）（解析版）

串講02對數(shù)與對數(shù)函數(shù)知識結(jié)構(gòu)要點梳理知識點一對數(shù)的概念1.若ax＝N(a＞0，且a≠1)，則數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，a叫做對數(shù)的__底數(shù)__，N叫做_真數(shù)__，記作x＝logaN．2．常用對數(shù)和自然對數(shù)(1)常用對數(shù)：通常我們將以_10_為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把log10N記為__lgN_.(2)自然對數(shù)：在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e＝2.71828…為底數(shù)的對數(shù)，以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并把logeN記為__lnN_.知識點二對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系當(dāng)a＞0，且a≠1時，ax＝N?x＝__logaN__.知識點三對數(shù)的基本性質(zhì)(1)_負(fù)數(shù)___和__0__沒有對數(shù)．(2)loga1＝_0__(a＞0，且a≠1)．(3)logaa＝__1__(a＞0，且a≠1)．知識點四對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)條件a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0性質(zhì)loga(MN)＝logaM＋logaNlogaeq\f(M,N)＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)知識點五換底公式若a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1，則有l(wèi)ogab＝eq\f(logcb,logca)．知識點六對數(shù)函數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0，＋∞)．知識點七對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)a＞10＜a＜1圖象性質(zhì)定義域(0，＋∞)，值域(-∞，＋∞)過定點(1，0)，即x＝1時，y＝0在(0，＋∞)上是減函數(shù)在(0，＋∞)上是增函數(shù)當(dāng)0<x<1時，y<0當(dāng)x>1時，y>0當(dāng)0<x<1時，y>0當(dāng)x>1時，y<0題型探究：考點一對數(shù)定義與性質(zhì)的應(yīng)用例1.有以下四個結(jié)論，其中正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】利用對數(shù)的性質(zhì)判斷AB；利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化判斷CD.【詳解】對于A，由于，而0和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，則無意義，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，由，得，C錯誤；對于D，由，得，D錯誤.故選：B例2.方程的解是（

）A．1 B．2 C．e D．3【答案】D【分析】利用指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴.故選：D.『規(guī)律方法』(1)任意實數(shù)的奇次方根只有一個，正數(shù)的偶次方根有兩個且互為相反數(shù)；(2)(eq\r(n,a))n是實數(shù)a的n次方根的n次冪，其中實數(shù)a的取值由n的奇偶性決定．【歸納提升】對數(shù)性質(zhì)在計算中的應(yīng)用(1)對數(shù)運(yùn)算時的常用性質(zhì)：logaa＝1，loga1＝0.(2)使用對數(shù)的性質(zhì)時，有時需要將底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形后才能運(yùn)用；對于多重對數(shù)符號的，可以先把內(nèi)層視為整體，逐層使用對數(shù)的性質(zhì)．【變式】1.有以下四個結(jié)論，其中正確的是（

）A． B．C．若，則 D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，，所以A錯誤，B正確；若，則，故C錯誤；，而沒有意義，故D錯誤．故選：B.2.求下列各式中x的值：(1)x＝eqlog\s\do8(\f(1,2))16；(2)log8x＝－eq\f(1,3)【解析】(1)∵x＝eqlog\s\do8(\f(1,2))16，∴(eq\f(1,2))x＝16，即2－x＝24.∴－x＝4，即x＝－4.(2)∵log8x＝－eq\f(1,3)，∴x＝8－eq\s\up7(\f(1,3))＝eq\f(1,\r(3,8))＝eq\f(1,2).考點二對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用例3．用logax，logay，logaz表示：(1)loga(xy2)；(2)loga(xeq\r(y))；(3)logaeq\r(3,\f(x,yz2)).[解析](1)loga(xy2)＝logax＋logay2＝logax＋2logay.(2)loga(xeq\r(y))＝logax＋logaeq\r(y)＝logax＋eq\f(1,2)logay.(3)logaeq\r(3,\f(x,yz2))＝eq\f(1,3)logaeq\f(x,yz2)＝eq\f(1,3)[logax－loga(yz2)]＝eq\f(1,3)(logax－logay－2logaz)．例4.化簡或求值：（1）．【詳解】（1）原式(2)【詳解】（2）[歸納提升]1.對對數(shù)式進(jìn)行計算、化簡時，一要注意準(zhǔn)確應(yīng)用對數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)．二要注意取值范圍對符號的限制．2.利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡與求值的原則和方法(1)基本原則：①正用或逆用公式，對真數(shù)進(jìn)行處理，②選哪種策略化簡，取決于問題的實際情況，一般本著便于真數(shù)化簡的原則進(jìn)行．(2)兩種常用的方法：①“收”，將同底的兩對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù)；②“拆”，將積(商)的對數(shù)拆成同底的兩對數(shù)的和(差)．【變式探究】1.用logax、logay、logaz表示下列各式：(1)loga(x3y5)；(2)logaeq\f(\r(x),yz).[解析](1)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay.(2)logaeq\f(\r(x),yz)＝logaeq\r(x)－loga(yz)＝logaxeq\s\up6(\f(1,2))－(logay＋logaz)＝eq\f(1,2)logax－logay－logaz.2.計算下列各式：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2.[解析](1)法一：原式＝eq\f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)×eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).法二：原式＝lgeq\f(4\r(2),7)－lg4＋lg7eq\r(5)＝lgeq\f(4\r(2)×7\r(5),7×4)＝log(eq\r(2)·eq\r(5))＝lgeq\r(10)＝eq\f(1,2).(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5×(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.考點三換底公式的應(yīng)用例5.計算：(1)(2)【答案】(1)；(2)4.【分析】（1）（2）根據(jù)給定條件，利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及換底公式計算作答.【詳解】（1）.（2）.[歸納提升]關(guān)于換底公式的用途和本質(zhì)：(1)換底公式的本質(zhì)是化異底為同底，這是解決對數(shù)問題的基本方法．(2)在運(yùn)用換底公式時，若能結(jié)合底數(shù)間的關(guān)系恰當(dāng)選用一些重要的結(jié)論，如logab＝eq\f(1,logba)；logaan＝n，logambn＝eq\f(n,m)logab；lg2＋lg5＝1等，將會達(dá)到事半功倍的效果．【變式】利用對數(shù)的換底公式計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)換底公式和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計算即可.【詳解】（1）；（2）.考點五對數(shù)函數(shù)的定義域例6.函數(shù)的定義域是.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)特征得到不等式，求出定義域【詳解】由題意得，解得，故定義域為.故答案為：例7.函數(shù)的定義域為.【答案】【分析】利用對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于零，解不等式即可求得結(jié)果.【詳解】由對數(shù)函數(shù)定義可得，解得或，所以函數(shù)定義域為.故答案為：[歸納提升]定義域是研究函數(shù)的基礎(chǔ)，若已知函數(shù)解析式求定義域，常規(guī)為：①分母不能為零，②0的零次冪與負(fù)指數(shù)次冪無意義，③偶次方根的被開方式(數(shù))非負(fù)，④求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域時，除遵循前面求函數(shù)定義域的方法外，還要對這種函數(shù)自身有如下要求：一是要特別注意真數(shù)大于零；二是要注意底數(shù)；三是按底數(shù)的取值應(yīng)用單調(diào)性．【變式探究】1.函數(shù)的定義域為【答案】【分析】由對數(shù)及分式的性質(zhì)列不等式組求定義域即可.【詳解】由解析式知：或，所以函數(shù)定義域為.故答案為：2．函數(shù)的定義域為．【答案】【分析】利用函數(shù)有意義，列出不等式求解即得.【詳解】函數(shù)有意義，則，解得，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：考點六利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小例8.比較下列各組中兩個值的大?。?1)ln0.3，ln2；(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；(3)log30.2，log40.2；[分析](1)底數(shù)相同時如何比較兩個對數(shù)值的大??？(2)底數(shù)不同、真數(shù)相同時如何比較兩個對數(shù)值的大??？[解析](1)因為函數(shù)y＝lnx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且0.3＜2，所以ln0.3＜ln2.(2)當(dāng)a＞1時，函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上是減函數(shù)，又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.(3)因為0＞log0.23＞log0.24，所以eq\f(1,log0.23)＜eq\f(1,log0.24)，即log30.2＜log40.2.[歸納提升]比較對數(shù)值大小時常用的四種方法(1)同底數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．(2)同真數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化．(3)若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對底數(shù)進(jìn)行分類討論．提醒：比較數(shù)的大小時先利用性質(zhì)比較出與0或1的大?。咀兪教骄俊?.比較大小：（填“>”或“<”）．【答案】【詳解】試題分析：因為函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以．考點：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用．2.已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合中間值比較大小.【詳解】因為在R上單調(diào)遞減，故，即，因為在上單調(diào)遞增，故，因為在上單調(diào)遞減，故，故.故選：C．考點七對數(shù)函數(shù)的圖象例9.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過分析正比例函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的特征可得解.【詳解】函數(shù)，由對數(shù)函數(shù)可知，且，當(dāng)時，為過原點的減函數(shù)，為減函數(shù)，則B錯誤，D正確；當(dāng)時，為過原點的增函數(shù)，為增函數(shù)，則A錯誤，C錯誤；故選：D.例10.在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.【詳解】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，只有B滿足.故選：B.【變式探究】1.函數(shù)的圖象大致（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象直接得出.【詳解】因為，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象可得A正確.故選：A.2.函數(shù)與的大致圖像是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題可根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)得出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)是減函數(shù)，過點，函數(shù)是減函數(shù)，過點，所以A選項中的函數(shù)圖像符合題意，故選：A.素養(yǎng)作業(yè)1.下列函數(shù)可能是對數(shù)函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用對數(shù)函數(shù)的圖象可得合適的選項.【詳解】對數(shù)函數(shù)的定義域為，ABCD四個選項中最有可能是對數(shù)函數(shù)的是A選項.故選：A.2.在同一個坐標(biāo)系下，函數(shù)與函數(shù)的圖象都正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)圖象．【詳解】解：指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，對數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，故選：A.3.已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小可得答案.【詳解】因為，，所以.故選：D.4.已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，及函數(shù)單調(diào)性，即可求解.【詳解】，則，故A正確；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D錯誤.故選：A.5．函數(shù)的定義域是.【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義求對數(shù)函數(shù)的定義域.【詳解】解：要使函數(shù)有意義就要，即，所以函數(shù)的定義域是.故答案為：6．函數(shù)的定義域為.【答案】【分析】根據(jù)定義域的求法，即可求解.【詳解】解：，得，故答案為：7.函數(shù)且恒過的定點為.【答案】【分析】若且過定點，則點的坐標(biāo)與的取值無關(guān)，由對數(shù)的性質(zhì)可知，令即可求出.【詳解】由題意得：，解得，當(dāng)時，，所以定點坐標(biāo)為.故答案為：8．函數(shù)的圖象必過定點．【答案】【分析】直接利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出所經(jīng)過的定點．【詳解】解：函數(shù)，則：令，解得，當(dāng)時．故函數(shù)的圖象必過定點為．故答案為：．9．不等式的解集為．【答案】【分析】利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求出不等式的解集.【詳解】由不等式，得，解得