信息與通信信號與線性系統(tǒng)分析

2024/8/162024/8/161第四章傅里葉變換§4.1信號分解為正交函數(shù)§4.2周期信號的頻譜分析

§4.3典型周期信號的頻譜§4.4非周期信號的頻譜分析§4.5典型非周期信號的頻譜引言2024/8/1622024/8/162024/8/162頻域分析從本章開始由時域轉(zhuǎn)入變換域分析，首先討論傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析（頻域分析）。將信號進行正交分解，即分解為三角函數(shù)或復指數(shù)函數(shù)的組合。頻域分析將時間變量變換成頻率變量，揭示了信號內(nèi)在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制和頻分復用等重要概念。2024/8/1632024/8/162024/8/163發(fā)展歷史1822年，法國數(shù)學家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導理論時發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應用到電學中去，得到廣泛應用。19世紀末，人們制造出用于工程實際的電容器。進入20世紀以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進一步應用開辟了廣闊的前景。在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實際應用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點?！癋FT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。2024/8/1642024/8/162024/8/164主要內(nèi)容本章從傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開問題開始討論，引出傅里葉變換，建立信號頻譜的概念。通過典型信號頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，初步掌握傅里葉分析方法的應用。對于周期信號而言，在進行頻譜分析時，可以利用傅里葉級數(shù)，也可以利用傅里葉變換，傅里葉級數(shù)相當于傅里葉變換的一種特殊表達形式。本章最后研究抽樣信號的傅里葉變換，引入抽樣定理。2024/8/1652024/8/162024/8/165傅里葉生平1768年生于法國1807年提出“任何周期信號都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示”1829年狄里赫利第一個給出收斂條件拉格朗日反對發(fā)表1822年首次發(fā)表在“熱的分析理論”一書中2024/8/1662024/8/162024/8/166

傅里葉

(JeanBaptiseJosephFourier1768～1830)

法國數(shù)學家。1768年3月21日生于奧塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴黎綜合工科學校任講師。1798年隨拿破侖遠征埃及，當過埃及學院的秘書。1801年回法國，又任伊澤爾地區(qū)的行政長官。1817年傅里葉被選為科學院院士，并于1822年成為科學院的終身秘書。1827年又當選為法蘭西學院院士。

在十八世紀中期,是否有用信號都能用復指數(shù)的線性組合來表示這個問題曾是激烈爭論的主題。1753年,D.伯努利曾聲稱一根弦的實際運動都可以用正弦振蕩模的線性組合來表示,但他沒有繼續(xù)從數(shù)學上深入探求下去;后來歐拉本人也拋棄了三角級數(shù)的想法。2024/8/1672024/8/162024/8/167

在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角級數(shù)來表示一個具有間斷點的函數(shù),因此三角級數(shù)的應用非常有限。正是在這種多少有些敵對和懷疑的處境下,傅里葉約于半個世紀后提出了他自己的想法。傅里葉很早就開始并一生堅持不渝地從事熱學研究，1807年他在向法國科學院呈交一篇關(guān)于熱傳導問題的論文中宣布了任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。這篇論文經(jīng)J.-L.拉格朗日,P.-S.拉普拉斯,A.-M.勒讓德等著名數(shù)學家審查，由于文中初始溫度展開為三角級數(shù)的提法與拉格朗日關(guān)于三角級數(shù)的觀點相矛盾，而遭拒絕。由于拉格朗日的強烈反對,傅里葉的論文從未公開露面過。為了使他的研究成果能讓法蘭西研究院接受并發(fā)表,在經(jīng)過了幾次其他的嘗試以后,傅里葉才把他的成果以另一種方式出現(xiàn)在"熱的分析理論"這本書中。這本書出版于1822年,也即比他首次在法蘭西研究院宣讀他的研究成果時晚十五年。這本書已成為數(shù)學史上一部經(jīng)典性的文獻，其中基本上包括了他的數(shù)學思想和數(shù)學成就。2024/8/1682024/8/162024/8/168

書中處理了各種邊界條件下的熱傳導問題，以系統(tǒng)地運用三角級數(shù)和三角積分而著稱，他的學生以后把它們稱為傅里葉級數(shù)和傅里葉積分，這個名稱一直沿用至今。傅里葉在書中斷言：“任意”函數(shù)（實際上要滿足一定的條件,例如分段單調(diào)）都可以展開成三角級數(shù),他列舉大量函數(shù)并運用圖形來說明函數(shù)的這種級數(shù)表示的普遍性，但是沒有給出明確的條件和完整的證明。傅里葉的創(chuàng)造性工作為偏微分方程的邊值問題提供了基本的求解方法-傅里葉級數(shù)法,從而極大地推動了微分方程理論的發(fā)展，特別是數(shù)學物理等應用數(shù)學的發(fā)展；其次，傅里葉級數(shù)拓廣了函數(shù)概念，從而極大地推動了函數(shù)論的研究，其影響還擴及純粹數(shù)學的其他領(lǐng)域。傅里葉深信數(shù)學是解決實際問題的最卓越的工具，并且認為“對自然界的深刻研究是數(shù)學最富饒的源泉?！边@一見解已成為數(shù)學史上強調(diào)通過實際應用發(fā)展數(shù)學的一種代表性的觀點。2024/8/1692024/8/162024/8/169傅立葉的兩個最主要的貢獻——“周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和”

——傅里葉的第一個主要論點“非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示”

——傅里葉的第二個主要論點2024/8/16102024/8/162024/8/1610頻域分析：－－傅里葉變換自變量為j

復頻域分析：－－拉氏變換自變量為S=

+j

Z域分析：－－Z變換自變量為z

變換域分析：2024/8/16112024/8/162024/8/1611§4.1信號分解為正交函數(shù)正交矢量正交函數(shù)正交函數(shù)集用完備正交集表示信號2024/8/16122024/8/162024/8/1612一、正交矢量矢量：V1

和V2

參加如下運算，Ve

是它們的差，如下式：2024/8/16132024/8/162024/8/1613

表示和互相接近的程度當V1

、V2完全重合，則隨夾角增大，c12減??；當，V1

和V2相互垂直2024/8/16142024/8/162024/8/1614二維正交集三維正交集2024/8/16152024/8/162024/8/1615

二、正交函數(shù)令，則誤差能量最小2024/8/16162024/8/162024/8/1616解得2024/8/16172024/8/162024/8/1617正交條件若c12=0，則f1(t)不包含f2(t)的分量，則稱正交。正交的條件：2024/8/16182024/8/162024/8/1618例：試用sint在區(qū)間（0，2π）來近似f(t)。11tf(t)02024/8/16192024/8/162024/8/1619解：所以：11tf(t)02024/8/16202024/8/162024/8/1620例：試用正弦sint在（0，2π）區(qū)間內(nèi)來表示余弦cost.所以說明cost

中不包含sint

分量，因此cost

和sint

正交。顯然2024/8/16212024/8/162024/8/1621三、正交函數(shù)集n個函數(shù)構(gòu)成一函數(shù)集，如在區(qū)間內(nèi)滿足正交特性，即則此函數(shù)集稱為正交函數(shù)集2024/8/16222024/8/162024/8/1622在（t1,t2）區(qū)間，任意函數(shù)f(t)可由n個正交的函數(shù)的線性組合近似由最小均方誤差準則，要求系數(shù)滿足2024/8/16232024/8/162024/8/1623在最佳逼近時的誤差能量歸一化正交函數(shù)集：2024/8/16242024/8/162024/8/1624復變函數(shù)的正交特性兩復變函數(shù)正交的條件是2024/8/16252024/8/162024/8/1625§四用完備正交集表示信號帕斯瓦爾(Parseval)方程2024/8/16262024/8/162024/8/1626另一種定義：在正交集之外再沒有一有限能量的x(t)滿足以下條件三角函數(shù)集復指數(shù)函數(shù)集2024/8/16272024/8/162024/8/1627其它正交函數(shù)系沃爾什函數(shù)集勒讓德多項式切比雪夫多項式2024/8/16282024/8/162024/8/1628§4.2周期信號的頻譜分析周期信號可展開成正交函數(shù)線性組合的無窮級數(shù)：

.三角函數(shù)式的傅立里葉級數(shù){cosn

1t,sinn

1t}

.復指數(shù)函數(shù)式的傅里葉級數(shù)

{ejn

1t}2024/8/16292024/8/162024/8/1629一、三角函數(shù)的傅里葉級數(shù):

直流分量n=1基波分量

n>1諧波分量2024/8/16302024/8/162024/8/1630直流系數(shù)余弦分量系數(shù)正弦分量系數(shù)2024/8/16312024/8/162024/8/1631狄利赫利條件：

在一個周期內(nèi)只有有限個間斷點；在一個周期內(nèi)有有限個極值點；在一個周期內(nèi)函數(shù)絕對可積，即一般周期信號都滿足這些條件.

2024/8/16322024/8/162024/8/1632三角函數(shù)是正交函數(shù)

2024/8/16332024/8/162024/8/1633周期信號的另一種

三角函數(shù)正交集表示2024/8/16342024/8/162024/8/1634比較幾種系數(shù)的關(guān)系2024/8/16352024/8/162024/8/1635

周期函數(shù)的頻譜：周期信號的譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率處。直觀看出：各分量的大小，各分量的相移，2024/8/16362024/8/162024/8/1636二、周期函數(shù)的復指數(shù)級數(shù)由前知由歐拉公式其中引入了負頻率2024/8/16372024/8/162024/8/1637指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的系數(shù)兩種傅氏級數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系2024/8/16382024/8/162024/8/1638兩種傅氏級數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系2024/8/16392024/8/162024/8/1639周期復指數(shù)信號的頻譜圖00π-π2024/8/16402024/8/162024/8/1640周期復指數(shù)信號的頻譜圖的特點引入了負頻率變量，沒有物理意義，只是數(shù)學推導；

Cn

是實函數(shù)，F(xiàn)n

一般是復函數(shù)，當Fn

是實函數(shù)時，可用Fn的正負表示0和π相位，幅度譜和相位譜合一；2024/8/16412024/8/162024/8/1641三、周期信號的功率特性P為周期信號的平均功率符合帕斯瓦爾定理

2024/8/16422024/8/162024/8/1642四、對稱信號的傅里葉級數(shù)三種對稱：偶函數(shù)：f(t)=f(-t)奇函數(shù)：f(t)=-f(-t)奇諧函數(shù)：半周期對稱任意周期函數(shù)有：偶函數(shù)項奇函數(shù)項2024/8/16432024/8/162024/8/1643周期偶函數(shù)Fn是實數(shù)只含直流和余弦分量2024/8/16442024/8/162024/8/1644例如:周期三角函數(shù)是偶函數(shù)Ef(t)T1/2-T1/2t2024/8/16452024/8/162024/8/1645周期奇函數(shù)只含正弦項Fn為虛數(shù)2024/8/16462024/8/162024/8/1646例如周期鋸齒波是奇函數(shù)E/2-E/2T1/2-T1/2f(t)t02024/8/16472024/8/162024/8/1647奇諧函數(shù)：沿時間軸平移半個周期；反相；波形不變；半波對稱2024/8/16482024/8/162024/8/1648奇諧函數(shù)的波形：T1/2-T1/20tf(t)2024/8/16492024/8/162024/8/1649奇諧函數(shù)的傅氏級數(shù)奇諧函數(shù)的偶次諧波的系數(shù)為0a20=

,b20=

2024/8/16502024/8/162024/8/1650例：利用傅立葉級數(shù)的對稱性判斷所含有的頻率分量周期偶函數(shù)，奇諧函數(shù)周期奇函數(shù)，奇諧函數(shù)-T/2T/2-T/2T/2E/2-E/2只含基波和奇次諧波的余弦分量只含基波和奇次諧波的正弦分量2024/8/16512024/8/162024/8/1651含有直流分量和正弦分量只含有正弦分量含有直流分量和余弦分量-TTTT含有直流分量和偶次諧波余弦分量2024/8/16522024/8/162024/8/1652五、傅里葉有限級數(shù)

如果完全逼近，則n→∞;實際應用中，n=N,N是有限整數(shù)。N愈趨近∞，則其均方誤差愈小若用2N＋1項逼近，則2024/8/16532024/8/162024/8/1653誤差函數(shù)和均方誤差誤差函數(shù)均方誤差2024/8/16542024/8/162024/8/1654例如:對稱方波,是偶函數(shù)且奇諧函數(shù)只有奇次諧波的余弦項。E/2-E/2T1/4-T1/4t2024/8/16552024/8/162024/8/1655對稱方波有限項的傅里葉級數(shù)N=1N=3N=5-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.812024/8/16562024/8/162024/8/1656項數(shù)N越大，誤差越小例如:N=11-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.812024/8/16572024/8/162024/8/1657由以上可見：N越大，越接近方波快變信號，高頻分量，主要影響跳變沿；慢變信號，低頻分量，主要影響頂部；任一分量的幅度或相位發(fā)生相對變化時，波形將會失真有吉伯斯現(xiàn)象發(fā)生2024/8/162024/8/1658§4.3典型周期信號的頻譜周期矩形脈沖信號周期鋸齒脈沖信號周期三角脈沖信號周期半波脈沖信號周期全波脈沖信號2024/8/16592024/8/162024/8/1659一、周期矩形脈沖信號的頻譜f(t)t0E-TT2024/8/16602024/8/162024/8/1660f(t)t0E-TT2024/8/16612024/8/162024/8/1661f(t)Fnt00ET-T2024/8/16622024/8/162024/8/1662頻譜分析表明離散頻譜，譜線間隔為基波頻率，脈沖周期越大，譜線越密；各分量的大小與脈幅成正比，與脈寬成正比，與周期成反比；各譜線的幅度按包絡(luò)線變化。過零點為：主要能量在第一過零點內(nèi)。主帶寬度為：Fn02024/8/16632024/8/16周期信號的功率例4.3－1T=1s,t=0.2s,E=12024/8/16642024/8/16周期矩形的頻譜變化規(guī)律：若T不變，在改變τ的情況若τ不變，在改變T時的情況T2024/8/16652024/8/162024/8/1665對稱方波是周期矩形的特例TT/4-T/4實偶函數(shù)周期矩形奇諧函數(shù)對稱方波奇次余弦2024/8/16662024/8/162024/8/1666對稱方波的頻譜變化規(guī)律TT/4-T/4奇次諧波

02024/8/16672024/8/162024/8/1667傅立葉級數(shù)的系數(shù)T

信號的周期脈寬

基波頻率

1傅立葉級數(shù)小結(jié)2024/8/16682024/8/162024/8/1668當周期信號的周期T無限大時,就演變成了非周期信號的單脈沖信號頻率也變成連續(xù)變量§4.4非周期信號的頻譜分析2024/8/16692024/8/162024/8/1669頻譜演變的定性觀察-T/2T/2T/2-T/22024/8/16702024/8/162024/8/16701.從周期信號FS推導非周期信號的FT傅立葉變換=F[f(t)]2024/8/16712024/8/162024/8/16712.傅立葉的逆變換傅立葉逆變換=F

-1

[F(w)]2024/8/16722024/8/16F(w)

=F[f(t)]F(jw)

f(t)=F

-1[F(w)]f(t)

F(w)2024/8/16732024/8/162024/8/16733.從物理意義來討論FT

(a)F(ω)是一個密度函數(shù)的概念

(b)F(ω)是一個連續(xù)譜

(c)F(ω)包含了從零到無限高頻的所有頻率分量

(d)各頻率分量的頻率不成諧波關(guān)系2024/8/16742024/8/162024/8/1674傅立葉變換一般為復數(shù)FT一般為復函數(shù)若f(t)為實數(shù)，則幅頻為偶函數(shù),相頻為奇函數(shù)2024/8/16752024/8/162024/8/16754.傅立葉變換存在的充分條件用廣義函數(shù)的概念，允許奇異函數(shù)也能滿足上述條件，因而象階躍、沖激一類函數(shù)也存在傅立葉變換2024/8/16762024/8/162024/8/16764.5典型非周期信號的頻譜單邊指數(shù)信號雙邊指數(shù)信號矩形脈沖信號符號函數(shù)沖激函數(shù)信號沖激偶函數(shù)信號階躍函數(shù)信號2024/8/16772024/8/162024/8/16771.單邊指數(shù)信號信號表達式幅頻相頻2024/8/16782024/8/162024/8/1678

f(t)t0001.單邊指數(shù)信號2024/8/16792024/8/162024/8/16792.雙邊指數(shù)信號2024/8/16802024/8/162024/8/16802.雙邊指數(shù)信號00f(t)t2024/8/16812024/8/162024/8/16813.矩形脈沖信號2024/8/16822024/8/162024/8/1682t0202