串講04 兩條直線的位置關(guān)系（考點串講）（解析版）

串講04兩條直線的位置關(guān)系知識結(jié)構(gòu)要點梳理知識點一兩條直線(不重合)平行的判定類型斜率存在斜率不存在前提條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對應(yīng)關(guān)系l1∥l2?__k1＝k2__l1∥l2?兩直線的斜率都不存在圖示知識點二過一點與已知直線平行的直線方程(1)由已知直線求出斜率，再利用平行的直線斜率之間的關(guān)系確定所求直線的斜率，由點斜式寫方程；(2)可利用如下待定系數(shù)法：與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋C1＝0，再由直線所過的點確定C1.知識點三兩條直線的交點坐標(biāo)(1)求法：兩直線方程聯(lián)立組成方程組，此方程組的解就是這兩條直線的交點坐標(biāo)，因此解方程組即可．(2)應(yīng)用：可以利用兩直線的__交點個數(shù)__判斷兩直線的位置關(guān)系．一般地，將直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0的方程聯(lián)立，得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0)).當(dāng)方程組__有唯一__解時，l1和l2相交，方程組的解就是交點坐標(biāo)；當(dāng)方程組__無__解時，l1與l2平行；當(dāng)方程組__有無數(shù)組__解時，l1與l2重合．知識點四兩條直線垂直如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于__－1__；如果它們的斜率之積等于－1，那么它們__互相垂直__．[歸納總結(jié)]當(dāng)直線l1⊥直線l2時，可能它們的斜率都存在且乘積為定值－1，也可能一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0；較大的傾斜角總是等于較小傾斜角與直角的和．知識點五距離公式1、兩點間的距離公式一般地，設(shè)、為平面內(nèi)任意兩點，、之間的距離2、點到直線的距離公式點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝__eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))__.3、兩條平行直線間的距離一般地，已知兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)．設(shè)P(x0，y0)是直線l2上的任意一點，則Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，于是P(x0，y0)到直線l1：Ax＋By＋C1＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C1|,\r(A2＋B2))＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).此式就是兩條平行直線l1與l2間的距離公式．題型探究：考點一兩直線平行的判定例1.下列說法中正確的有（

）①若兩條不同直線的斜率相等，則兩直線平行；②若，則；③所有的直線都有傾斜角；④若兩條直線的垂直，則它們的斜率之積為-1.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】對于①，根據(jù)斜率的定義進(jìn)行判斷；對于②，舉出反例；對于③，根據(jù)傾斜角定義得到③正確；對于④，舉出反例.【詳解】對于①，若兩條不同直線的斜率相等，則兩直線平行，正確；對于②，若，但可能斜率不存在，此時不能得到，錯誤；對于③，所有的直線都有傾斜角，正確；對于④，若兩條直線中，一條直線斜率為0，另一條沒有斜率，也滿足垂直關(guān)系，但不滿足它們的斜率之積為-1，錯誤.，故正確的個數(shù)為2.故選：B例2.判斷下列各小題中的直線l1與l2是否平行：(1)l1經(jīng)過點A(－1，－2)，B(2,1)，l2經(jīng)過點M(3,4)，N(－1，－1)；(2)l1的斜率為1，l2經(jīng)過點A(1,1)，B(2,2)；(3)l1經(jīng)過點A(0,1)，B(1,0)，l2經(jīng)過點M(－1,3)，N(2，0)；(4)l1經(jīng)過點A(－3,2)，B(－3,10)，l2經(jīng)過點M(5，－2)，N(5,5)．[分析]斜率存在的直線求出斜率，利用l1∥l2?k1＝k2進(jìn)行判斷，若兩直線斜率都不存在，可通過觀察并結(jié)合圖形得出結(jié)論．[解析](1)k1＝eq\f(1－－2,2－－1)＝1，k2＝eq\f(－1－4,－1－3)＝eq\f(5,4)，k1≠k2，l1與l2不平行．(2)k1＝1，k2＝eq\f(2－1,2－1)＝1，k1＝k2，故l1∥l2或l1與l2重合．(3)k1＝eq\f(0－1,1－0)＝－1，k2＝eq\f(0－3,2－－1)＝－1，則有k1＝k2.又kAM＝eq\f(3－1,－1－0)＝－2≠－1，則A，B，M不共線．故l1∥l2.(4)由已知點的坐標(biāo)，得l1與l2均與x軸垂直且不重合，故有l(wèi)1∥l2.【歸納提升】兩直線平行的判定及應(yīng)用1．判定兩直線是否平行時，應(yīng)先看兩直線的斜率是否存在，若都不存在，則平行(不重合的情況下)；若存在，再看是否相等，若相等，則平行(不重合的情況下)．2．若已知兩直線平行，求其參數(shù)值時，也應(yīng)分斜率存在與不存在兩種情況求解．【變式】1.直線與直線的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交 C．重合 D．異面【答案】A【解析】由斜率和縱截距判斷．【詳解】直線方程化為，直線斜率為2，縱截距為，直線方程化為，直線斜率為2，縱截距為，兩直線斜率相等，縱截距不相等，兩直線平行．故選：A．2.已知直線l1：x＋my－2m－2＝0，直線l2：mx＋y－1－m＝0，當(dāng)時，m＝【答案】1【分析】根據(jù)兩直線平行的判定方法即可求得結(jié)果【詳解】因為，且斜率一定存在，所以，即，又因為，為兩條不同的直線，所以，所以故答案為：1考點二兩直線的交點問題例3.直線x-y+2＝0與x+y-2＝0的交點坐標(biāo)是（）A．（0，2） B．（2，0） C．（1，1） D．（-1，1）【答案】A【分析】聯(lián)立方程組進(jìn)行求解即可求出直線的交點坐標(biāo)．【詳解】由，得，即交點坐標(biāo)為(0，2).故選：A．例4．兩直線和的交點為．【答案】【分析】聯(lián)立兩條直線的方程可得交點.【詳解】由題意可得，解得，交點坐標(biāo)為.故答案為：【歸納提升】兩條直線相交的判定方法：(1)兩直線方程組成的方程組只有一組解，則兩直線相交；(2)在兩直線斜率都存在的情況下，若斜率不相等，則兩直線相交．【變式】1.已知直線，則與的交點坐標(biāo)是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】聯(lián)立兩直線方程，解方程即可得出交點的坐標(biāo).【詳解】由題意知，，所以兩直線的交點為，故選：A2.一次函數(shù)與的圖象的交點坐標(biāo)是．【答案】【分析】將一次函數(shù)的解析式聯(lián)立起來，解方程組即可.【詳解】聯(lián)立次函數(shù)的解析式可得：，解得，于是圖象的交點坐標(biāo)為．故答案為：．考點三兩條直線垂直關(guān)系的判斷例5.判斷下列各題中的直線l1、l2是否垂直：(1)l1經(jīng)過點A(－1，－2)、B(1,2)，l2經(jīng)過點P(－2，－1)、Q(2,1)；(2)l2經(jīng)過點A(3,4)、B(3,6)，l2經(jīng)過點P(－5,20)、Q(5,20)；(3)l1經(jīng)過點A(2，－3)、B(－1,1)，l2經(jīng)過點C(0，－1)、D(4,2)．【解析】(1)直線l1的斜率k1＝eq\f(2－－2,1－－1)＝2，直線l2的斜率k2＝eq\f(1－－1,2－－2)＝eq\f(1,2)，因為k1·k2＝1，所以l1與l2不垂直．(2)直線l1的斜率不存在，直線l2的斜率k2＝eq\f(20－20,5－－5)＝0，所以l1⊥l2.(3)直線l1的斜率k1＝eq\f(1＋3,－1－2)＝－eq\f(4,3)，直線l2的斜率k2＝eq\f(2－－1,4－0)＝eq\f(3,4)，因為k1·k2＝－1，所以l1⊥l2.【歸納提升】兩條直線垂直的判定條件：(1)如果兩條直線的斜率都存在且它們的積為－1，則兩條直線一定垂直；(2)兩條直線中，如果一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率為0，那么這兩條直線也垂直．【變式探究】1．已知直線與直線互相垂直，則m為（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)兩直線垂直的一般式的結(jié)論即可得出答案.【詳解】兩直線垂直，則有，即，解得.故選：C2.已知直線的斜率，直線的斜率，則與()A．平行

B．垂直

C．重合

D．非以上情況【答案】B【詳解】根據(jù)斜率乘積為-1，可知兩條直線垂直故選：B考點四平行、垂直的應(yīng)用例6．過點且與直線平行的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)所求直線方程為，將點的坐標(biāo)代入所求直線方程，求出的值，即可得解.【詳解】設(shè)過點且與直線平行的直線方程是，將點的坐標(biāo)代入直線的方程得，解得，故所求直線方程為，即.故選：A.[歸納提升]過一點與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法：(1)由已知直線求出斜率，再利用平行(垂直)的直線斜率之間的關(guān)系確定所求直線的斜率，由點斜式寫方程；(2)可利用如下待定系數(shù)法：與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋C1＝0，再由直線所過的點確定C1；與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋C2＝0，再由直線所過的點確定C2.例7．過點且與直線垂直的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩直線互相垂直可得所求直線的斜率，利用直線的點斜式方程即得.【詳解】由直線可得其斜率為：，則與其垂直的直線斜率為，故過點且與直線垂直的直線方程為，即：.故選：C.【變式探究】1.經(jīng)過點，且與直線平行的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出直線斜率，利用點斜式寫出直線方程即可.【詳解】直線斜率為，故經(jīng)過點，且與直線平行的直線方程為，整理得.故選：B.2.過點且與直線垂直的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線垂直滿足的斜率關(guān)系，即可由點斜式求解.【詳解】直線的斜率為，所以與直線垂直的直線斜率為，故由點斜式可得，即，故選：B考點五點到直線的距離公式例8.原點到直線間的距離是（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】利用點到直線的距離公式直接求值即可.【詳解】原點到直線間的距離是：.故選：A例9.已知點到直線的距離為2，則．【答案】【分析】根據(jù)點到直線的距離公式即可求解.【詳解】由題意可得，故答案為：[歸納提升]1.求點到直線的距離，首先要把直線方程化成一般式方程，然后再套用點到直線的距離公式．2．當(dāng)點與直線有特殊位置關(guān)系時，也可以用公式求解，但是這樣會把問題變復(fù)雜了，要注意數(shù)形結(jié)合．【變式探究】1.已知點，直線：，則點到直線的距離為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】利用點到直線的距離公式計算即可.【詳解】已知點，直線，則點到直線l的距離,故選：.2．已知直線過原點，且點到直線的距離為1，則直線的斜率.【答案】0或【分析】對直線的斜率分類討論，再利用點到直線的距離公式即可得出．【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，即為軸，不滿足條件，舍去．直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，點，到直線的距離為1，，化為，解得或．故答案為：0或．考點六求兩平行直線的距離例9.兩條平行直線和間的距離為，則，分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)可得參數(shù)，再利用平行線間距離公式可得.【詳解】由直線與直線平行，得，解得，所以兩直線分別為和，即和，所以兩直線間距離，故選：D.例10.若：與：平行，則．【答案】3【分析】根據(jù)兩直線平行的條件列方程，解方程得到m的值，將m的值代入方程驗證即可.【詳解】因為直線：與：平行，所以，解得，將代入兩直線方程，得：，：，兩直線平行.故答案為：3[歸納提升]求兩平行直線間距離的兩種思路：(1)轉(zhuǎn)化為求其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離．(2)利用兩條平行直線間距離公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).【變式】1.兩條平行直線：，：之間的距離是（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】利用平行直線間的距離公式即可得解.【詳解】因為：，：，所以它們之間的距離為.故選：B.2.已知直線與直線平行，則與之間的距離為【答案】/【分析】利用兩直線平行的條件及兩直線平行間的距離公式即可求解.【詳解】由.所以直線：所以與之間的距離：故答案為：素養(yǎng)作業(yè)1.下列說法中，正確的個數(shù)為（

）①若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行；②若兩條直線平行，則這兩條直線的斜率相等；③若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交；④若兩條直線的斜率都不存在，則這兩條直線平行．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)直線平行和斜率之間的關(guān)系分別判斷即可【詳解】若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行或重合，所以①不正確；若兩條直線都垂直于x軸，則這兩條直線的斜率都不存在，所以②不正確；若兩條直線的斜率都不存在，則這兩條直線平行或重合，所以④不正確；顯然③正確．故選：A．2.直線和的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能確定【答案】B【解析】根據(jù)兩直線的方程求出各自的斜率，然后斜率的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】由，因此該直線的斜率為：.由，因此該直線的斜率為：，因為，所以這兩條直線相交但不垂直.故選：B3.過點和點的直線與軸的位置關(guān)系是A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直【答案】B【解析】根據(jù)兩點縱坐標(biāo)相同即可判斷出位置關(guān)系.【詳解】兩點的縱坐標(biāo)都等于

直線方程為：直線與軸平行本題正確選項：4.已知點，若直線與直線垂直，則實數(shù)（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)垂直直線的斜率關(guān)系，結(jié)合斜率公式即可求解.【詳解】直線的斜率為：，因為直線與直線垂直，所以，解得：.故選：B.5．已知直線，，若，則實數(shù)（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由兩直線垂直