2.2.3-向量數(shù)乘運算及其幾何意義

2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義1.掌握向量的數(shù)乘運算及幾何意義；2.掌握向量數(shù)乘運算律，并會運用它們進(jìn)行計算；3.理解兩個向量共線的條件，能表示與某個非零向量共線的向量，能判斷兩個向量共線；4.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會類比和化歸思想．（重點）（重、難點）如何求作兩個非零向量的和向量？首尾相接首尾連OAB如何求作兩個非零向量的差向量？首同尾連指被減OAB問題：一只兔子向東一秒鐘的位移對應(yīng)的向量為，那么它在同一方向上按照相同的速度行走3秒鐘的位移對應(yīng)的向量怎樣表示？是嗎？兔子在相反方向上按照相同的速度行走3秒鐘的位移對應(yīng)的向量又怎樣表示？是嗎?你能用圖形表示嗎？位移與速度的關(guān)系：思考1：已知非零向量

，如何求作向量

＋

＋

和（－

）＋（－

）＋（－

）？OABCOMNP向量數(shù)乘的定義

（－

）＋（－

）＋（－

）思考2：向量

＋

＋

和（－

）＋（－

）＋（－

）分別如何簡化其表示形式？思考3：向量3

和－3

與向量

的大小和方向有什么關(guān)系？OABCOMNP＋

＋

記為3

，（－

）＋（－

）＋（－

）記為－3

.思考4：設(shè)

為非零向量，那么

還是向量嗎？它們分別與向量

有什么關(guān)系？思考5：一般地，我們規(guī)定：實數(shù)λ與向量

的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘.記作λ

，該向量的長度及方向與向量

有什么關(guān)系？（1）|λ

|=|λ||

|；（2）λ>0時,λ

與

方向相同；

λ<0時,λ

與

方向相反；

λ=0時,λ

=.思考6：如圖，設(shè)點M為△ABC的重心，D為BC的中點，那么向量與，與分別有什么關(guān)系？ABCDM向量數(shù)乘的運算律及共線向量基本定理思考1：你認(rèn)為－2×（5

），2

＋2，

可分別轉(zhuǎn)化為什么運算？-2×

(5

)=-10

；2

＋2=2(

+

)；(3＋)

=3

＋思考2：一般地，設(shè)λ，μ為實數(shù)，則λ(μ

)，(λ＋μ)

，λ(

＋

)分別等于什么？=ABCDE提升總結(jié)：思考3：對于向量

（

≠0）和

，若存在實數(shù)λ，使

=λ

，則向量

與

的方向有什么關(guān)系？思考4：若向量

（

≠0）與

共線，則一定存在實數(shù)λ，使

=λ

成立嗎？思考5：綜上可得向量共線定理：向量

（

≠0）與

共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)λ，使

=λ

.若

＝，上述定理成立嗎？共線一定存在不成立ABPO思考6：若存在實數(shù)λ，使，則A、B、C三點的位置關(guān)系如何？A、B、C三點共線思考7：如圖，若P為AB的中點，則與、的關(guān)系如何？思考8：向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量

、

，以及任意實數(shù)λ、x、y，λ(x

±y

）可轉(zhuǎn)化為什么運算？λ(x

±y

）=λx

±λy

.

例1.計算（1）（－3）×4

；（2）3（

＋

）－2（

－

）－

；（3）（2

＋3

－）－（3

－2

＋

）.向量與實數(shù)之間可以像多項式一樣進(jìn)行運算.23O例2.如圖，已知任意兩個非零向量試作你能判斷A、B、C三點之間的位置關(guān)系嗎？為什么？ABCA、B、C三點共線解：分別作向量，過點A、C作直線AC.觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量怎樣變化，點B始終在直線AC上，猜想A、B、C三點共線.

事實上，因為例3.如圖，□ABCD的兩條對角線相交于點M，且=

，=

，試用

,

表示、、和.MABDCD3.計算：2.(2012·聊城模擬）在△ABC中，已知D是AB邊上的一點，,若，則等于（）A.B.C.D.A4.根據(jù)下列各小題中給出的條件，分別判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明.簡析:（1）平行四邊形，一組對邊平行且相等.（2）梯形，一組對邊平行且不相等.（3）菱形，一組對邊平行且相等，一組鄰邊相等.5.如圖，在平行四邊形ABCD中，點M是AB的中點，點N在線段BD上，且有BN=BD，求證：M、N、C三點共線.提示：設(shè)，

則一、①的