甘肅省蘭州市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE18-甘肅省蘭州市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.請將答案填在答題卡上，交卷時只交答題卡.第Ⅰ卷（選擇題共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，且，則集合可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：由知，故選考點：集合的交集．2.等差數(shù)列中，，，則數(shù)列公差為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】設(shè)數(shù)列的公差為，則由題意可得，，由此解得的值．【詳解】解：設(shè)數(shù)列的公差為，則由，，可得，，解得.故選：B．【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，由已知條件求基本量．3.已知是的一個內(nèi)角，，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由同角的三角函數(shù)的關(guān)系式求出，，結(jié)合已知，再利用兩角和的余弦公式可求的值.【詳解】是的一個內(nèi)角,則①又②由①②聯(lián)立解得：或(舍)故選：C.【點睛】本題考查同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及兩角和的余弦，解題關(guān)鍵是留意角的范圍對函數(shù)值符號的影響，本題屬于基礎(chǔ)題.4.下列函數(shù)在上為減函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)四個函數(shù)的單調(diào)性進行推斷即可.【詳解】對于A：函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，所以函數(shù)不滿意在是減函數(shù)，故A選項不符合題意；對于B：函數(shù)，在是單調(diào)遞增函數(shù)，在是單調(diào)遞減函數(shù)，故函數(shù)在上是減函數(shù)，故B選項符合題意.對于C：函數(shù)在是增函數(shù)，故C選項不符合題意；對于D：函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，故D選項不符合題意；故選：B.【點睛】本題考查了對數(shù)型函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、肯定值型函數(shù)的單調(diào)性的推斷，屬于基礎(chǔ)題.5.已知向量，，，若，則（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求解即可.【詳解】由，，得，若，則，所以.故選B.【點睛】利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.6.若，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可推斷A，由冪函數(shù)的單調(diào)性可推斷B，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可推斷C，由基本不等式可推斷D.【詳解】對于A，若，由函數(shù)單調(diào)遞減可得，故A錯誤；對于B，若，由函數(shù)在上單調(diào)遞減可得，故B錯誤；對于C，若，則，故C錯誤；對于D，若，則，，且，由基本不等式可得，故D正確.故選：D.【點睛】本題考查了不等式及不等關(guān)系，考查了對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.執(zhí)行如下圖的程序框圖，輸出的值是（）A.2 B.1C. D.-1【答案】C【解析】【分析】模擬程序的運行，依次寫出每次循環(huán)得到的k和S值，依據(jù)題意即可得到結(jié)果.【詳解】程序運行如下，k=1，S＝＝﹣1，k＝2，S＝＝；k＝3，S＝；k＝4，S＝＝﹣1…變量S的值以3為周期循環(huán)改變，當(dāng)k=2015時，，k=2024時，結(jié)束循環(huán)，輸出S的值為．故選：C．【點睛】本題考查程序框圖，是當(dāng)型結(jié)構(gòu)，即先推斷后執(zhí)行，滿意條件執(zhí)行循環(huán)，不滿意條件，跳出循環(huán)，算法結(jié)束，解答的關(guān)鍵是算準(zhǔn)周期，屬于中檔題．8.如圖，在一個棱長為2的正方體魚缸內(nèi)放入一個倒置的無底圓錐形容器，圓錐的上底圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點在魚缸的缸底上，現(xiàn)在向魚缸內(nèi)隨機地投入一粒魚食，則“魚食落在圓錐外面”的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】由題意,正方形的面積為22=4.圓錐的底面面積為π.所以“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率是1-.故選A.9.關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)關(guān)于對稱 B.函數(shù)向左平移個單位后是奇函數(shù)C.函數(shù)關(guān)于點中心對稱 D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】D【解析】【分析】先化簡函數(shù)，然后依據(jù)正余函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項分析，即可得出結(jié)果.詳解】，令，即，所以函數(shù)關(guān)于對稱，所以A錯誤；將函數(shù)向左平移個單位后得到：，為偶函數(shù)，所以B錯誤；令，即，函數(shù)關(guān)于點中心對稱，所以C錯誤；令，解得，當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以D正確.故選：D【點睛】本題主要考查正余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確化簡函數(shù)，屬于中檔題.10.已知函數(shù),若存在,當(dāng)時,,則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】詳解】依據(jù)圖像，當(dāng)時，有，將代入函數(shù)中，可解得或，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為，所以，因為，所以；當(dāng)時，，因為，所以，因為，所以；綜上所述，的取值范圍是.故選：B.

【點睛】本題考查了分段函數(shù)與函數(shù)與方程的綜合性問題，屬于中檔題型，當(dāng)正確畫出函數(shù)的圖像后，重點抓住本題的一個關(guān)鍵的條件，這樣就可以將求的范圍轉(zhuǎn)化為求的范圍.第Ⅱ卷（非選擇題共100分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.11.已知過點和的直線與直線平行，則的值為______.【答案】-8【解析】【分析】直線AB與直線平行，即斜率相等，由斜率公式即可得到m的值.【詳解】∵直線2x+y-1＝0的斜率等于﹣2，∴過點和的直線的斜率也是﹣2，由斜率公式得，解得m＝﹣8，故答案為：-8．【點睛】本題考查兩條直線平行的條件，考查斜率公式，屬于基礎(chǔ)題.12.若滿意約束條件則的最大值為.【答案】【解析】畫出可行域及直線，平移直線，當(dāng)其經(jīng)過點時，直線的縱截距最大，所以最大為.考點：簡潔線性規(guī)劃.13.若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，且長度分別為1，2，3，則其外接球的表面積為________.【答案】【解析】【分析】將三棱錐補成長方體，轉(zhuǎn)化為求長方體外接球的問題，利用長方體的對角線為外接球的直徑，即可求解.【詳解】三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，以三棱錐的側(cè)棱為邊補成長方體，如下圖所示：則長方體相鄰的三邊長為，且長方體的外接球即為所求，對角線長為，外接球的半徑為，所以所求的外接球的表面積為.故答案為：.【點睛】本題考查球與錐的接切問題，將問題轉(zhuǎn)化為熟識幾何體的外接球，可提高解題效率，削減計算量，屬于中檔題.14.200名職工年齡分布如圖所示，從中隨機抽取40名職工作樣本，采納系統(tǒng)抽樣方法，按1~200編號，分為40組，分別為1~5，6~10，…，196~200，若第5組抽取號碼為22，則第8組抽取號碼為________．若采納分層抽樣，40歲以下年齡段應(yīng)抽取________人．【答案】(1).37(2).20【解析】【分析】由系統(tǒng)抽樣，編號是等距出現(xiàn)的規(guī)律可得，分層抽樣是按比例抽取人數(shù)．【詳解】第8組編號是22+5+5+5＝37，分層抽樣，40歲以下抽取的人數(shù)為50%×40＝20（人）．故答案為：37；20．【點睛】本題考查系統(tǒng)抽樣和分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題．15.若圓：上總存在兩個點到原點的距離為2，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為圓與圓心為原點，半徑為2的圓有兩個交點的問題，利用圓心距的關(guān)系，化簡得到.【詳解】由題意知：將問題轉(zhuǎn)化為圓與圓心為原點，半徑為2的圓有兩個交點，兩圓圓心距，

，

即：,或故實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，將問題轉(zhuǎn)化為兩圓相交，運用“隱性”圓，將困難的解析幾何問題轉(zhuǎn)化為幾何中的基本圖形，使得問題的求解簡潔易行，解法令人賞心悅目，屬于中檔題.16.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有蒲（水生植物名）生一日，長三尺；莞（植物名，俗稱水蔥、席子草）生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？”意思是：今有蒲生長1日，長為3尺；莞生長1日，長為1尺．蒲的生長逐日減半，莞的生長逐日增加1倍．若蒲、莞長度相等，則所需的時間約為_____日．（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】2.6．【解析】解：設(shè)蒲（水生植物名）的長度組成等比數(shù)列，其，公比為，其前項和為．莞（植物名）的長度組成等比數(shù)列，其，公比為，其前項和為．則，令，化為：，解得或（舍去）．即：.所需的時間約為日.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，內(nèi)角對應(yīng)的三邊長分別為，且滿意．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知得，由余弦定理可得；（Ⅱ）由正弦定理，化簡，由，得，故．試題解析：（Ⅰ）∵，∴，∵，∴∴（Ⅱ）解法1：由正弦定理得，∴．∴∵，∴，，所以．解法2：∵，∴，∵，，即，∵，∴考點：解三角形．18.已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且、、成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項；（2）求數(shù)列的前項和；（3）令，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）本題可通過等比中項的相關(guān)性質(zhì)得出，然后通過計算得出公差，即可得出結(jié)果；（2）本題可依據(jù)（1）得出，然后依據(jù)等比數(shù)列前項和公式即可得出結(jié)果；（3）可通過裂項相消法求和得出結(jié)果.【詳解】（1）由題意可知公差，因為，，，成等比數(shù)列，所以，解得或（舍去），故的通項.（2）由（1）可知，由等比數(shù)列前項和公式可得：.（3）因為，所以，.【點睛】本題考查數(shù)列的通項以及數(shù)列前項和的求法，考查等比數(shù)列前項和公式，考查裂項相消法求和，考查計算實力，是中檔題.19.某同學(xué)在生物探討性學(xué)習(xí)中，對春季晝夜溫差大小與黃豆種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進行探討，于是他在4月份的30天中隨機選擇了5天進行探討，且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期44444溫差101113128發(fā)芽數(shù)顆2325302616（1）從這5天中任選2天，若選取的是4月1日與4月30日的兩組數(shù)據(jù)，請依據(jù)這5天中的另三天的數(shù)據(jù)，求出（2）若由線性回來方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回來方程是牢靠的，試問（1）中所得的線性回來方程是否牢靠？附：回來直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.【答案】（1）；（2）線性回來方程是牢靠的.【解析】【分析】（1）依據(jù)最小二乘法公式，分別將數(shù)據(jù)代入計算，即可得答案；（2）選取的是4月1日與4月30【詳解】解：（1）由數(shù)據(jù)得，，，；又，；，；所以關(guān)于的線性回來方程為：.（2）當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，所得到的線性回來方程是牢靠的.【點睛】本題考查最小二乘法求回來直線方程及利用回來方程進行推斷擬合效果，考查數(shù)據(jù)處理實力，求解時留意回來直線必過樣本點中心的應(yīng)用.20.一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示，其中M，N分別是AF、BC的中點（1）求證：MN∥平面CDEF；（2）求多面體A-CDEF的體積．【答案】（1）詳見解析；（2）．【解析】【分析】由三視圖可知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且底面是一個直角三角形，由三視圖中所標(biāo)數(shù)據(jù)易計算出三棱柱中各棱長的值．（1）取BF的中點G，連接MG、NG，利用中位線的性質(zhì)結(jié)合線面平行的充要條件，易證明結(jié)論（2）多面體A-CDEF的體積是一個四棱錐，由三視圖易求出棱錐的底面面積和高，進而得到棱錐的體積．【詳解】（1）證明：由三視圖知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且AB=BC=BF=4，DE=CF=，，連結(jié)BE，M在BE上，連結(jié)CEEM=BM，CN=BN，所以∥，所以平面（2）取DE的中點H．∵AD=AE，∴AH⊥DE，在直三棱柱ADE-BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，平面ADE∩平面CDEF=DE．∴AH⊥平面CDEF．∴多面體A-CDEF是以AH為高，以矩形CDEF為底面的棱錐，在△ADE中，AH=．S矩形CDEF=DE?EF=，∴棱錐A-CDEF的體積為．【點睛】本題考點：1．簡潔空間圖形的三視圖；2．棱柱、棱錐、棱臺的體積；3．直線與平面平行的判定，屬于基礎(chǔ)題型.21.已知是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，.(1)寫出函數(shù)的解析式；(2)若方程恰3有個不同的解，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的定義求解析式，即設(shè)，則有＞0，利用可求得，然后寫出完整的函數(shù)式；（2）作出函數(shù)圖象，確定的極值和單調(diào)性，由圖象與直線有三個交點可得的范圍．【詳解】解：(1)當(dāng)時，，是奇函數(shù)，.(2)當(dāng)時，，最小值為；當(dāng)，，最大值.據(jù)此可作出函數(shù)的圖象，如圖所示，依據(jù)圖象得，若方程恰有個不同的解，則的取值范圍是.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性，考查函數(shù)零點與方程根的關(guān)系．在求函數(shù)零點個數(shù)（或方程解的個數(shù)）時，可把問題轉(zhuǎn)化為一個的函數(shù)圖象和一條直線的交點個數(shù)問題，這里函數(shù)通常是確定的函數(shù)，直線是動直線，由動直線的運動可得參數(shù)取值范圍．22.已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程．(2)從圓C外一點P(x1，y1)向該圓引一條