河南濕封市五縣聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理含解析

PAGE18-河南省開封市五縣聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理（含解析）考生留意：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.滿分l50分，考試時間120分鐘.2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；第Ⅱ卷請用直徑0.5毫來黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.3.本卷命題范圍：必修5其次、三章，21其次章雙曲線結(jié)束.第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列命題是真命題的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】依據(jù)基本初等函數(shù)的值域來對各選項中的特稱或全稱命題的真假進行推斷.【詳解】對于選項A，，，A選項錯誤；對于B選項，，，所以，不存在，使得，B選項錯誤；對于C選項，，，所以，，，C選項正確；對于D選項，，，D選項錯誤.故選：C.【點睛】本題考查全稱命題和特稱命題真假的推斷，常用邏輯推證法或特例法來進行推斷，考查推理實力，屬于基礎(chǔ)題.2.雙曲線的焦點坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】推斷雙曲線的焦點位置，計算出雙曲線的半焦距，即可得出雙曲線的焦點坐標(biāo).【詳解】由題意知，雙曲線的焦點在軸上，半焦距為，因此，雙曲線的焦點坐標(biāo)為.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線焦點坐標(biāo)的求解，要推斷出雙曲線焦點的位置，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.3.在等比數(shù)列中，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等比中項的性質(zhì)可求出的值.【詳解】由等比中項的性質(zhì)得，因此，.故選：D.【點睛】本題考查等比中項的計算，在解題時還要留意所求項的符號，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】解不等式，利用集合的包含關(guān)系可對兩條件之間的關(guān)系進行推斷.【詳解】由得，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.【點睛】本題考查必要不充分條件的推斷，一般轉(zhuǎn)化為兩集合的包含關(guān)系，同時也可以邏輯關(guān)系來進行推斷，考查推理實力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知橢圓的上頂點為，左、右兩焦點分別為、，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意得出，可得出，從而可求出橢圓的離心率.【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，由于為等邊三角形，則，，由題意可得，因此，橢圓的離心率為.故選：A.【點睛】本題考查橢圓離心率的計算，同時也考查了橢圓定義的應(yīng)用，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.6.若雙曲線的實軸長、虛軸長、焦距成等差數(shù)列，則雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)雙曲線的焦距為，由題意得出關(guān)于、、的關(guān)系式，求出、的等量關(guān)系，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，依據(jù)實軸長、虛軸長、焦距成等差數(shù)列，得，則，即，即，，則，.因此，雙曲線的漸近線方程為.故選：D.【點睛】本題考查雙曲線漸近線方程的求解，解題的關(guān)鍵就是依據(jù)題中條件得出、的等量關(guān)系，考查運算求解實力，屬于中等題.7.已知，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將代數(shù)式綻開，然后利用基本不等式可求出該代數(shù)式的最小值.【詳解】，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.因此，的最小值為.故選：B.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式時要留意“一正、二定、三相等”條件的成立，考查計算實力，屬于中等題.8.已知橢圓兩焦點間的距離為，且過點，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用橢圓的定義求出，再結(jié)合半焦距求出的值，從而可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意知，橢圓的焦點坐標(biāo)為，由橢圓的定義得，，.因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.【點睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求解，在涉及橢圓的焦點時，可以充分利用橢圓的定義來求解，考查計算實力，屬于中等題.9.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的前項和公式以及等差中項的性質(zhì)可得出的值.【詳解】由等差數(shù)列的前項和公式得，解得.故選：C.【點睛】本題考查利用等差數(shù)列前項和公式以及等差中項性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算實力，屬于中等題.10.設(shè)命題若函數(shù)是減函數(shù)，則，命題若函數(shù)在上是單調(diào)遞增，則.那么下列命題為真命題的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先推斷出命題、的真假，然后利用復(fù)合命題的真假推斷出各選項中命題的真假.【詳解】若函數(shù)是減函數(shù)，則，解得，命題為真命題；若函數(shù)在上是單調(diào)遞增，其對稱軸為直線，則，解得，命題為假命題.因此，為假，為假，為假，為真.故選：D.【點睛】本題考查復(fù)合命題真假的推斷，同時也考查了指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵就是推斷出各簡潔命題的真假，考查推理實力，屬于中等題.11.設(shè)、分別為雙曲線的左、右頂點，、是雙曲線上關(guān)于軸對稱的不同兩點，設(shè)直線、的斜率分別為、，若，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)點，則點，由點在雙曲線上得出，然后利用斜率公式得出，由此可計算出雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)點.則，，，則，又，即，，由有，，因此，雙曲線的離心率為.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線離心率的計算，同時也考查雙曲線方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在將點橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)通過點的坐標(biāo)滿意雙曲線方程建立等式求解，考查運算求解實力，屬于中等題.12.已知橢圓，點為橢圓上位于第一象限一點，為坐標(biāo)原點，過橢圓左頂點作直線，交橢圓于另一點，若，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)點，，由題意得出，可得出，然后將點、的坐標(biāo)代入橢圓方程，得出、，即可求出直線的斜率.【詳解】由題知，設(shè)，.則，可得，，，點、都在橢圓上，，解得，，因此，直線的斜率為.故選：A.【點睛】本題考查直線斜率的求解，同時也考查了直線與橢圓的綜合問題，在涉及平行線截橢圓所得弦長的比例關(guān)系時，可轉(zhuǎn)化為共線向量比的問題求解，考查運算求解實力，屬于中等題.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.命題“”否定為.【答案】【解析】【詳解】因為特稱命題的否定是全稱命題，先變更量詞，再否定結(jié)論，所以命題“”的否定為，故答案為.14.已知實數(shù)、滿意約束條件，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】作出不等式組所表示的可行域，平移直線，視察該直線在軸上的截距最小時對應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，解得，得點，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過可行域的頂點時，該直線在軸上的截距取最小值，此時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值.故答案為：.【點睛】本題考查簡潔的線性規(guī)劃問題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，一般要作出可行域，利用數(shù)形結(jié)合思想來求解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.15.在數(shù)列中，，，若對于隨意的，恒成立，則實數(shù)的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】利用待定系數(shù)法得出，然后由參變量分別法得出，并利用單調(diào)性的定義分析數(shù)列，求出該數(shù)列的最大項的值，從而可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由有，故數(shù)列為首項為，公比為的等比數(shù)列，可得.不等式可化為，令，當(dāng)時；當(dāng)時，.故當(dāng)時，，故，，因此，實數(shù)最小值是.故答案為：.【點睛】本題考查利用待定系數(shù)法求數(shù)列通項，同時也考查了數(shù)列不等式的解法，在解題時一般利用參變量分別法轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值來求解，考查分析問題和解決問題的實力，屬于中等題.16.已知點、為橢圓的左、右頂點，點為軸上一點，過作軸的垂線交橢圓于、兩點，過作的垂線交于點，則_______．【答案】【解析】【分析】設(shè)點，則，，寫出直線和方程，聯(lián)立這兩條直線的方程，求出點的坐標(biāo)，即可得出的值.【詳解】如下圖所示，設(shè)，則，，由題設(shè)知且，直線的斜率，直線斜率.直線的方程為，直線的方程為.聯(lián)立，解得.又點在橢圓上，得，.又，，.故答案為：.【點睛】本題考查橢圓中三角形的面積比的計算，解題的關(guān)鍵就是要求出點的坐標(biāo)，同時也要留意點的坐標(biāo)滿意橢圓方程，結(jié)合等式進行計算，考查運算求解實力，屬于中等題.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設(shè)命題，命題，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】【分析】解出命題、中的不等式，由題意得出，由此可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，解出即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解不等式，即，解得.解不等式，解得.所以，，，由于是的必要不充分條件，則，，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查利用必要不充分條件關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，一般轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中等題.18.在平面直角坐標(biāo)中，，，點是平面上一點，使周長為.（1）求點的軌跡方程；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意得出，由橢圓的定義可知點的軌跡是以點、為焦點的橢圓（去掉左右端點），設(shè)點的軌跡方程為，求出、的值，可得出點的軌跡方程；（2）利用，并利用基本不等式可求出的最大值.【詳解】（1）由題知，，，由橢圓的定義可知，動點的軌跡是以點、為焦點的橢圓（去掉左右端點），設(shè)動點的軌跡方程為，則，，，得，因此，動點的軌跡方程為；（2）由（1）可知，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，因此，的最大值為.【點睛】本題考查利用橢圓的定義求軌跡方程，同時也考查了利用橢圓的定義和基本不等式求最值，考查運算求解實力，屬于中等題.19.已知等差數(shù)列的前項和為，有，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，記數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依據(jù)題意列出關(guān)于和的方程組，解出這兩個量，再利用等差數(shù)列的通項公式可求出數(shù)列的通項公式；（2）由（1）得知，然后利用裂項法求出數(shù)列的前項和，即可證明出.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，有，解得，有，因此，數(shù)列的通項公式為；（2）由（1）知，有，由，有，故有，由上知.【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式的求解，同時也考查了裂項求和法的應(yīng)用，在求解等差數(shù)列的通項公式時，一般要建立首項和公差的方程組，利用方程思想求解，考查計算實力，屬于中等題.20.雙曲線的左、右焦點分別為、，點，在雙曲線上.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線過點且與雙曲線交于、兩點，且的中點的橫坐標(biāo)為，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）將點、的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，求出、的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)點、，并設(shè)直線的方程為，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理求出的值，即可得出直線的方程.【詳解】（1）由題意有，解得，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)點、.并設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，消去整理得，，得，滿意直線與雙曲線相交，因此，直線的方程為.【點睛】本題考查雙曲線方程的求解，同時也考查了中點弦問題，可以利用點差法，也可以將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理求解，考查運算求解實力，屬于中等題.21.已知數(shù)列的前項和為，，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求；（3）對隨意將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)記為，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義結(jié)合遞推公式，可證明出數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求出數(shù)列的通項公式為，然后利用錯位相減法求出數(shù)列的前項和；（3）令，得出，可得出，然后利用分組求和法求出數(shù)列的前項和.【詳解】（1）由，且，故數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列；（2）由（1）知，有，由，有，作差有，得有，因此，；（3）對隨意，若，得，得，故，有.【點睛】本題考查利用定義證明等差數(shù)列，同時與考查了錯位相減法與分組求和法，要熟識這些數(shù)列求和法對數(shù)列通項的要求，考查計算實力，屬于中等題.22.已知橢圓的右焦點為，是橢圓上一點，軸，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于、兩點，線段的中點為，為坐標(biāo)原點，且，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，可得出點在橢圓上，將這個點的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得出，結(jié)合可求出的值，從而可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分直線的斜率不存在與存在兩種狀況探討，在軸時，可得出，從而求出的面積；在直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合，得出，計算出與的高，可得出面積的表達式，然后可利用二次函數(shù)的基