福建省漳州市2024-2025學(xué)年學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE18-福建省漳州市2024-2025學(xué)年學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）本試卷共5頁，22題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.留意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名.考生要仔細(xì)核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一樣.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束，考生必需將試題卷和答題卡一并交回.一.單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由交集的定義求解即可.【詳解】故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合間的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】原式中的角度變形后，利用誘導(dǎo)公式及特別角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：，故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值，嫻熟駕馭誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)鍵．3.下列各函數(shù)的值域與函數(shù)的值域相同的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別求出下列函數(shù)的值域，即可推斷.【詳解】函數(shù)的值域?yàn)椋瑒tA，B錯(cuò)誤；函數(shù)的值域?yàn)?，則C錯(cuò)誤；函數(shù)的值域?yàn)椋瑒tD正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了求詳細(xì)函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.4.已知函數(shù)則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】分別計(jì)算，即可得出答案.【詳解】，所以故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了已知自變量求分段函數(shù)的函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)圖象的大致形態(tài)是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】推斷函數(shù)函數(shù)為奇函數(shù)，解除BD選項(xiàng)，取特別值解除C，即可得出答案.【詳解】所以函數(shù)為奇函數(shù)，故解除BD.，解除C故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖像的識(shí)別，屬于基礎(chǔ)題.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出，，的也許范圍，比較即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)，對(duì)數(shù)，三角函數(shù)的大小關(guān)系，找到他們也許的范圍再比較是解決本題的關(guān)鍵，屬于簡潔題.7.已知以原點(diǎn)為圓心的單位圓上有一質(zhì)點(diǎn)，它從初始位置起先，按逆時(shí)針方向以角速度做圓周運(yùn)動(dòng).則點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為A. B.C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)間為t時(shí)，點(diǎn)P所在角的終邊對(duì)應(yīng)的角等于,所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為.8.已知函數(shù)為定義在的增函數(shù)，且滿意.若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將題設(shè)不等式轉(zhuǎn)化為，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式得出，通過換元法，構(gòu)造函數(shù)，求出最大值，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋栽诤愠闪⒐试诤愠闪?，即在恒成立令，則所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以故選：D【點(diǎn)睛】利用函數(shù)的單調(diào)性解抽象不等式以及不等式的恒成立問題，屬于中檔題.二.多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)，則使函數(shù)的定義域是，且為奇函數(shù)的值可以是（）A. B. C.1 D.3【答案】CD【解析】【分析】求出對(duì)應(yīng)值函數(shù)的定義域，利用奇偶性的定義推斷即可.【詳解】當(dāng)?shù)闹禐闀r(shí)，函數(shù)的定義域分別為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，令，，則函數(shù)為上的奇函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，則函數(shù)為上的奇函數(shù)故選：CD【點(diǎn)睛】本題主要考查了推斷函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.10.要得到的圖象，可以將函數(shù)的圖象上全部的點(diǎn)（）A.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍B.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍C.橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再把所得各點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度D.橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再把所得各點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度【答案】AD【解析】【分析】由正弦函數(shù)的伸縮變換以及平移變換一一推斷選項(xiàng)即可.【詳解】將函數(shù)的圖象上全部的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到的圖象，故A正確；將函數(shù)的圖象上全部的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到的圖象，故B錯(cuò)誤；將函數(shù)的圖象上全部的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到的圖象，再把所得各點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度，得到的圖象，故C錯(cuò)誤；將函數(shù)的圖象上全部的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到的圖象，再把所得各點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度，得到的圖象，故D正確；故選：AD【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的伸縮變換以及平移變換，屬于基礎(chǔ)題.11.對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.為偶函數(shù) B.的一個(gè)周期為C.的值域?yàn)?D.在單調(diào)遞增【答案】ABC【解析】【分析】利用奇偶性的定義以及周期的定義推斷A，B選項(xiàng)；利用換元法以及正弦函數(shù)的單調(diào)性推斷C選項(xiàng)；利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性推斷方法推斷D選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)偶函數(shù)，故A正確；，則函數(shù)的一個(gè)周期為，故B正確；令，則，由于函數(shù)上單調(diào)遞增，則，故C正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，由于，則函數(shù)在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；故選：ABC【點(diǎn)睛】本題主要考查了推斷函數(shù)的奇偶性，周期性，求函數(shù)值域，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.12.已知為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.記，下列結(jié)論正確的是（）A.為奇函數(shù)B.若的一個(gè)零點(diǎn)為，且，則C.在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)D.若大于1的零點(diǎn)從小到大依次為，則【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)奇偶性的定義推斷A選項(xiàng)；將等價(jià)變形為，結(jié)合的奇偶性推斷B選項(xiàng)，再將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，結(jié)合函數(shù)的奇偶性推斷C選項(xiàng)，結(jié)合圖象，得出的范圍，由不等式的性質(zhì)得出的范圍.【詳解】由題意可知的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，故A正確；假設(shè)，即時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，則由于的一個(gè)零點(diǎn)為，則，故B正確；當(dāng)時(shí)，令，則大于的零點(diǎn)為的交點(diǎn)，由圖可知，函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)有2個(gè)，由于函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)有1個(gè)，并且所以函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)，故C錯(cuò)誤；由圖可知，大于1的零點(diǎn)所以故選：ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查了推斷函數(shù)的奇偶性以及推斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，屬于較難題.三、填空題：本大題共4題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)（且）的圖象恒過點(diǎn)__________【答案】【解析】分析：依據(jù)指數(shù)函數(shù)過可得結(jié)果.詳解：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得過，所以過，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的簡潔性質(zhì)，屬于簡潔題.14.已知扇形的圓心角為，面積為，則該扇形的弧長為_______；【答案】【解析】【分析】由扇形面積公式求出扇形半徑，依據(jù)扇形弧長公式即可求解.【詳解】設(shè)扇形的半徑為由扇形的面積公式得：，解得該扇形的弧長為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形面積公式以及弧長公式，屬于基礎(chǔ)題.15.函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)開_____；【答案】【解析】【分析】由的范圍，確定的范圍，利用換元法以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案.【詳解】，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題主要考查了正弦型函數(shù)的值域，屬于中檔題.16.已知函數(shù)，，則函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為_____，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象全部交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和為____.【答案】(1).(2).0【解析】【分析】推斷函數(shù)，為奇函數(shù)，即可得出函數(shù)，圖象的對(duì)稱中心都為原點(diǎn)；依據(jù)對(duì)稱性即可得出全部交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和.【詳解】，則函數(shù)為奇函數(shù)，即函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，則函數(shù)為奇函數(shù)，即函數(shù)的對(duì)稱中心為所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象全部交點(diǎn)都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即全部交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為0，縱坐標(biāo)之和也為0則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象全部交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和為0故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知為銳角，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）-7（2）【解析】【分析】（1）利用平方關(guān)系以及商數(shù)關(guān)系得出，再利用兩角和的正切公式求解即可；（2）利用誘導(dǎo)公式以及二倍角的正弦公式求解即可.【詳解】解：（1）因?yàn)闉殇J角，且.所以，所以，所以.（2）因?yàn)椋?，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和的正切公式，誘導(dǎo)公式，二倍角的正弦公式，屬于中檔題.18.已知集合，.（1）求；（2）集合，若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)化簡集合，再求并集即可；（2）由題設(shè)條件得出，分別探討集合和的狀況，即可得出答案.【詳解】解：（1）依題意，，所以.（2）因?yàn)?，所?①當(dāng)時(shí)，，滿意題意；②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，得，所以；綜上，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的并集運(yùn)算以及依據(jù)集合間的包含關(guān)系求參數(shù)范圍，屬于中檔題.19.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）最小正周期為.（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.【解析】【分析】利用倍角公式以及協(xié)助角公式化簡函數(shù)，依據(jù)周期公式得出第一問；依據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間求的單調(diào)區(qū)間，即可得出其次問.【詳解】解：因?yàn)椋?）所以函數(shù)的最小正周期為.（2）由，得，即，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，同理可得，的單調(diào)遞減區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求正弦型函數(shù)的最小正周期以及單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題.20.已知是定義在上的奇函數(shù).（1）求與的值；（2）推斷的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義加以證明；（3）若時(shí)，試比較與的大小.【答案】（1）..（2）在單調(diào)遞增.見解析（3）見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得出，，求解方程，即可得出與的值；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）分別探討的取值使得，，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得出與的大小.【詳解】解：（1）因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，得.又由，得到，解得.（2）由（1）可知，在上為增函數(shù).證明如下：任取且設(shè)，所以由于且，所以，且，又，，所以，所以，從而在單調(diào)遞增.（3）當(dāng)或時(shí)，，所以；當(dāng)或時(shí)，，又因?yàn)?，，且在上為增函?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，同理可得；綜上，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，推斷函數(shù)的單調(diào)性以及利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小，屬于中檔題.21.海水受日月的引力，在肯定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常狀況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表：時(shí)刻水深/米時(shí)刻水深/米時(shí)刻水深/米0：004.259：001.7518：004.253：006.7512：004.2521：001.756：004.2515：006.7524：00425（1）設(shè)港口在時(shí)刻的水深為米，現(xiàn)給出兩個(gè)函數(shù)模型：和.請(qǐng)你從兩個(gè)模型中選擇更為合適的函數(shù)模型來建立這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式（干脆選擇模型，無需說明理由）；并求出時(shí)，港口的水深.（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，平安條例規(guī)定至少要有1.5米的平安間隙（船底與洋底的距離），問該船何時(shí)能進(jìn)入港口，何時(shí)應(yīng)離開港口？一天內(nèi)貨船可以在港口呆多長時(shí)間？【答案】（1）選擇函數(shù)模型更適合.水深為3米（2）貨船可以在1時(shí)進(jìn)入港口，在5時(shí)出港；或者在13時(shí)進(jìn)港，17時(shí)出港.一天內(nèi)貨船可以在港口呆的時(shí)間為8小時(shí).【解析】【分析】（1）視察表格中水深的改變具有周期性，則選擇函數(shù)模型更適合，由表格數(shù)據(jù)得出的值，將代入解析式求解即可；（2）由題意時(shí)，船可以進(jìn)港，解不等式，得出的范圍，由的范圍即可確定進(jìn)港，出港，一天內(nèi)在港口呆的時(shí)間.【詳解】解：（1）選擇函數(shù)模型更適合因?yàn)楦劭谠?：00時(shí)刻的水深為4.25米，結(jié)合數(shù)據(jù)和圖象可知因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)闀r(shí)，，代入上式得，因?yàn)椋?，所?當(dāng)時(shí)，，所以在時(shí)，港口的水深為3米（2）因?yàn)樨洿氁钠桨菜钍敲?，所以時(shí)，船可以進(jìn)港，令，則，因?yàn)椋獾没?，所以貨船可以?時(shí)進(jìn)入港口，在5時(shí)出港；或者在13時(shí)進(jìn)港，17時(shí)出港.因?yàn)?，一天?nèi)貨船可以在港口呆的時(shí)間為8小時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用，屬于中檔題.22.已知函數(shù)，且.（1）求解析式；（2）已知的定義域?yàn)?（?。┣蟮亩x域；（ⅱ）若方程有唯一實(shí)根，求實(shí)數(shù)取值范圍.【答案】（1）（2）（?。?（ⅱ）【解析】【分析】（1）利用換元法以及，即可求解的解析式；（2）（