新高考數(shù)學一輪復習精講精練5.3 平面向量的應用（基礎(chǔ)版）（解析版）

5.3平面向量的應用（精講）（基礎(chǔ)版）考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一證線段垂直【例1-1】（2022·山西運城）在平面四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該四邊形的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．13 D．26【答案】C【解析】∵SKIPIF1<0，∴AC⊥BD，所以四邊形ABCD面積為：SKIPIF1<0.故選：C.【例1-2】（2022·廣東）如圖，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為對角線SKIPIF1<0上任意一點（異于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【答案】見解析【解析】設(shè)正方形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·四川省峨眉）若平面四邊形ABCD滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該四邊形一定是（

）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】B【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以四邊形ABCD為平行四邊形，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以BD垂直AC，所以四邊形ABCD為菱形.故選：B2．（2022·福建·漳州三中）若O為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀為（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】B【解析】SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為非零向量，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直角三角形.故選：B3．（2022·上海）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為邊SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．【答案】證明見解析.【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.考點二夾角問題【例2】（2022·全國·模擬預測）已知H為SKIPIF1<0的垂心，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】依題意，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0．由H為△ABC的垂心，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．同理有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C．【一隅三反】1．（2022·四川南充·三模（理））在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，CN與BM交于點P，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】建立如圖直角坐標系，則SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，故選：D.2．（2022·河南·南陽中學）直角三角形ABC中，斜邊BC長為a，A是線段PE的中點，PE長為2a，當SKIPIF1<0最大時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖所示，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為A是線段PE的中點，PE長為2a，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0最大，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最大的值為SKIPIF1<0.故選：A.3．（2022·福建省同安第一中學）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0位于直線SKIPIF1<0上，當SKIPIF1<0取得最小值時，SKIPIF1<0的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】建立如圖所示平面直角坐標系：則SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0，因為動點SKIPIF1<0位于直線SKIPIF1<0上，直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C.考點三線段長度【例3-1】（2022·福建·福州三中）在平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【答案】B【解析】由題意得|SKIPIF1<0，由平行四邊形的兩條對角線的平方和等于四邊的平方和，得：SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0【例3-2】（2022·云南）已知SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則AC邊的中線的長為（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】C【解析】根據(jù)正弦定理由SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0,不符合三角形內(nèi)角和定理，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，負值舍去，即SKIPIF1<0，由余弦定理可知：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0邊的中點為SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0故選：C【一隅三反】1．（2022·云南師大附中）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∠A的平分線AD交邊BC于D，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則AD的長為（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如圖，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分線，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C．2．（2022·全國·高三專題練習）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】取SKIPIF1<0中點O，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0M為BC邊上靠近C的三等分點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：C.3．（2022·重慶南開中學）如圖所示在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊長為4的等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】取SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0三點共線，故SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故選：C.4．（2023·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0邊上的中線長為（

）A．49 B．7 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，根據(jù)余弦定理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0邊上的中線長為SKIPIF1<0.故選：SKIPIF1<0.考點四幾何中的最值【例4】（2022·海南·模擬預測）在直角梯形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若線段CD上存在唯一的點E滿足SKIPIF1<0，則線段CD的長的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】

如圖所示，以A為坐標原點，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別為x軸和y軸正方向建立直角坐標系.則SKIPIF1<0,設(shè)DE的長為x，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由題意知：SKIPIF1<0，且點E存在于CD上且唯一，知CD的長的取值范圍是SKIPIF1<0，故選：B.【一隅三反】1．（2022·安徽安慶）設(shè)點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中線SKIPIF1<0上一個動點，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，則中線SKIPIF1<0的長是___________.【答案】3【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊中點，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0是中線SKIPIF1<0的中點時，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0即SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<02．（2022·江蘇·無錫市教育科學研究院）點SKIPIF1<0是邊長為2的正三角形SKIPIF1<0的三條邊上任意一點，則SKIPIF1<0的最小值為___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】不妨假設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上且SKIPIF1<0，如下圖示，所以，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<03．（2022·上海市晉元高級中學）“燕山雪花大如席”，北京冬奧會開幕式將傳統(tǒng)詩歌文化和現(xiàn)代奧林匹克運動聯(lián)系在一起，天衣無縫，讓人們再次領(lǐng)略了中國悠久的歷史積淀和優(yōu)秀傳統(tǒng)文化恒久不息的魅力.順次連接圖中各頂點可近似得到正六邊ABCDEF.若正六邊形的邊長為1，點P是其內(nèi)部一點（包含邊界），則SKIPIF1<0的取值范圍為___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0當SKIPIF1<0點與SKIPIF1<0點重合時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影最大，此時SKIPIF1<0,SKIPIF1<0取得最大值為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0點與SKIPIF1<0點重合時，此時SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,取得的最小值為SKIPIF1<0SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．4．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學）如圖，在等腰SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若線段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是________．【答案】SKIPIF1<0【解析】在等腰SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的點，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．考點五三角形的四心【例5】（2022·甘肅·蘭州一中）（多選）點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（）A．若SKIPIF1<0，則點O為SKIPIF1<0的重心B．若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂心C．若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心D．若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)心【答案】AC【解析】對于A，設(shè)邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線，即點SKIPIF1<0在中線SKIPIF1<0上，同理點SKIPIF1<0在中線SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心.故A正確對于B，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，故B錯誤對于C，設(shè)邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點分別為點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中垂線，同理SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中垂線，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外心，故C正確對于D，由已知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0，也即點SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0的高上；同理，點SKIPIF1<0也在邊SKIPIF1<0的高上，所以則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心，故D錯誤.故選：AC【一隅三反】1．（2022·全國·）瑞士數(shù)學家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理：“三角形的外心?垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心的距離是垂心和重心距離之半，”這就是著名的歐拉線定理.設(shè)SKIPIF1<0中，點O?H?G分別是外心?垂心和重心，下列四個選項中結(jié)論正確的是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】如圖：根據(jù)歐拉線定理可知，點O?H?G共線，且SKIPIF1<0.對于A，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故A正確；對于B，G是重心，則延長AG與BC的交點SKIPIF1<0為BC中點，且AG＝2GD，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故B正確；對于C，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故C正確；對于D，SKIPIF1<0顯然不正確.故選：ABC.2．（2022·廣東·廣州市第二中學）（多選）著名數(shù)學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知△ABC的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC中點，且AB=4，AC=2，則下列各式正確的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】由G是三角形ABC的重心可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故A項錯誤；過三角形ABC的外心O分別作AB、AC的垂線，垂足為D、E，如圖（1），易知D、E分別是AB、AC的中點，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故B項正確；因為G是三角形ABC的重心，所以有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由歐拉線定理可得SKIPIF1<0，故C項正確；如圖（2），由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，D項正確，故選：BCD.3．（2022·全國·課時練習）(多選題)已知O是四邊形SKIPIF1<0內(nèi)一點，若SKIPIF1<0，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．四邊形SKIPIF1<0為正方形，點O是正方形SKIPIF1<0的中心B．四邊形SKIPIF1<0為一般四邊形，點O是四邊形SKIPIF1<0的對角線交點C．四邊形SKIPIF1<0為一般四邊形，點O是四邊形SKIPIF1<0的外接圓的圓心D．四邊形SKIPIF1<0為一般四邊形，點O是四邊形SKIPIF1<0對邊中點連線的交點【答案】ABC【解析】對于A，若四邊形SKIPIF1<0為正方形，點O是正方形SKIPIF1<0的中心，則必有SKIPIF1<0，但反過來，由SKIPIF1<0推不出四邊形SKIPIF1<0為正方形，故A錯誤；對于BCD，如圖所示，O是四邊形SKIPIF1<0內(nèi)一點，且SKIPIF1<0設(shè)AB，CD的中點分別為E，F(xiàn)，由向量加法的平行四邊形法則知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即O是EF的中點；同理，設(shè)AD，BC的中點分別為M，N，由向量加法的平行四邊形法則知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即O是MN的中點；所以O(shè)是EF，MN的交點，故BC錯誤，D正確；故選：ABC4．（2022·山東省平邑縣第一中學）（多選）在SKIPIF1<0所在平面內(nèi)有三點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．滿足SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外心B．滿足SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心C．滿足SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心D．滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為等邊三角形【答案】ABCD【解析】對于SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的三個頂點的距離相等，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，故SKIPIF1<0正確；對于B，如圖所示，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，故B正確；對于C，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；同理可得：SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心，故C正確；對于D，由SKIPIF1<0得：角SKIPIF1<0的平分線垂直于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等邊三角形，故D正確．故選：ABCD．考點六三角的面積【例6-1】（2022·全國·高三）點P菱形ABCD內(nèi)部一點，若SKIPIF1<0，則菱形ABCD的面積與SKIPIF1<0的面積的比為（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】如圖，設(shè)SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積與SKIPIF1<0的面積的比值是6.故選：B.【例6-2】（2022·全國·高三專題練習）已知點SKIPIF1<0為正SKIPIF1<0所在平面上一點，且滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面積與SKIPIF1<0的面積比值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．2 D．3【答案】B【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是對應邊的中點，由平行四邊形法則知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，在正三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且三角形SKIPIF1<0與三角形SKIPIF1<0的底邊相等，面積之比為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．故選：B【一隅三反】1．（2022·上海交大附中）設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積與SKIPIF1<0的面積的比值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以O(shè)為SKIPIF1<0的重心，設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A2．（2022·全國·高三）P是SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題設(shè)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0共線且SKIPIF1<0，如下圖示：所以SKIPIF1<0.故選：A3．（2022·四川涼山）已知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內(nèi)任意一點，若滿足SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的一個“優(yōu)美點”．則下列結(jié)論中正確的有（

）①若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心；②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂心；④若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊中點，則SKIPIF1<0．A．SKIPIF1<0個 B．SKIPIF1<0個 C．SKIPIF1<0個 D．SKIPIF1<0個【答案】D【解析】對于①，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；設(shè)SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心，①正確；對于②，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離SKIPIF1<0與SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離SKIPIF1<0之比為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，②正確；對于③，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂心，③正確；對于④，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊中點，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，④正確.故選：D.5.3平面向量的應用（精練）（基礎(chǔ)版）題組一題組一證線段垂直1．（2022·全國·高一課前預習）在平行四邊形ABCD中，M、N分別在BC、CD上，且滿足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，則△AMN的形狀是(

)A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】C【解析】∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是直角三角形.故選：C.2．（2022·新疆）在△ABC中，若SKIPIF1<0，則△ABC的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則△ABC為直角三角形.故選：B.3．（2021·浙江）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀為（

）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的是等腰三角形．故選：B．4．（2022·黑龍江）如圖，正方形ABCD的邊長為a，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，求證：DE⊥AF.【答案】證明見解析【解析】∵SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<02－SKIPIF1<0SKIPIF1<02SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝0，∴SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，即DE⊥AF.5．（2022·湖南）如圖所示，在等腰直角三角形ACB中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D為BC的中點，E是AB上的一點，且SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【答案】證明見解析【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.6．（2022·浙江）如圖所示，若D是△ABC內(nèi)的一點，且AB2-AC2=DB2-DC2，求證：AD⊥BC.【答案】證明見解析【解析】設(shè)SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<02﹣SKIPIF1<02=(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)2-(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)2=SKIPIF1<02+2e·SKIPIF1<0-2SKIPIF1<0·SKIPIF1<0-SKIPIF1<02，由條件知：SKIPIF1<02=SKIPIF1<02﹣SKIPIF1<02+SKIPIF1<02，所以SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=SKIPIF1<0·SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0·(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)=0，即SKIPIF1<0，所以AD⊥BC.7．（2022·浙江）如圖，在平行四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，BD，AC相交于點O，M為BO中點．設(shè)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；（3）證明：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）證明見解析【解析】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0題組二題組二夾角問題1．（2022·云南）SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖所示，以SKIPIF1<0點為原點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸構(gòu)建直角坐標系，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線，所以SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A.2．（2022·江西）已知菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在的直線分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸建立平面直角坐標系如圖所示，則點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選：D.3．（2022·江蘇）（多選）已知向量SKIPIF1<0，記向量SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0時SKIPIF1<0為銳角 B．SKIPIF1<0時SKIPIF1<0為鈍角C．SKIPIF1<0時SKIPIF1<0為直角 D．SKIPIF1<0時SKIPIF1<0為平角【答案】ACD【解析】A.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為銳角，故正確；B.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為鈍角或平角，故錯誤；C.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為直角，故正確；D.SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為平角，故正確.故選：ACD4．（2023·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是銳角，則實數(shù)入的取值范圍是：______．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角為銳角時，SKIPIF1<0；解得SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0