專題抽象函數(shù)單調(diào)性講義-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)

專題：抽象函數(shù)單調(diào)性抽象函數(shù)是相對(duì)于具體函數(shù)而言，指沒(méi)有給出具體的函數(shù)解析式或圖象，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)．由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問(wèn)題成為函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一．因無(wú)具體解析式，理解研究起來(lái)往往很困難.但利用函數(shù)模型往往能幫我們理清題意，尋找解題思路，從而方便快捷的解決問(wèn)題.知識(shí)梳理先了解常見的以初等函數(shù)為模型的抽象函數(shù)，若我們能從具體的模型出發(fā)，根據(jù)解題目標(biāo)展開聯(lián)想，則?？刹聹y(cè)出抽象函數(shù)所蘊(yùn)含的重要性質(zhì)，并以此作為解題的突破口類型一：以線性函數(shù)為模型的抽象函數(shù)已知函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，并且滿足，．(1)求的值；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用賦值法即得；（2）利用賦值法得，然后結(jié)合條件轉(zhuǎn)化已知不等式為，最后根據(jù)單調(diào)性即得.（1）因?yàn)?，令，得，即；?）由題意知，，∴由，可得，又在R上單調(diào)遞增，∴，即，∴的取值范圍是．練習(xí)1.已知定義域?yàn)?，?duì)任意都有，當(dāng)時(shí)，．(1)求;(2)試判斷在上的單調(diào)性，并證明;(3)解不等式：．【答案】(1)2(2)單調(diào)遞減，證明見解析(3)【分析】(1)由，取特殊函數(shù)值即可求解;(2)由題構(gòu)造，結(jié)合題意可證明單調(diào)性;(3)根據(jù)單調(diào)性解抽象不等式即可.【詳解】（1）根據(jù),令，得，解得，再令，則有，解得.（2）判斷：在上單調(diào)遞減，證明如下：設(shè)，則，所以，即，因?yàn)樗?，所以，即都有，所以在上單調(diào)遞減.（3）由題可知，所以，所以由得，即，即，又因?yàn)?，所以，?2)知在上單調(diào)遞減，所以，即即，解得.小結(jié)：對(duì)于以線性函數(shù)為模型的抽象函數(shù)證明單調(diào)性時(shí)一般用到以下變形：，然后根據(jù)題目中的特殊函數(shù)值得出函數(shù)的單調(diào)性.類型二：以指數(shù)函數(shù)為模型的抽象函數(shù)設(shè)是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意，恒有，當(dāng)時(shí)，有.(1)求證：，且當(dāng)時(shí)，；(2)證明：在R上單調(diào)遞減.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）首先令，，得，根據(jù)即可得到，根據(jù)時(shí)，得到，從而得到，即可證明.（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義及證明單調(diào)性即可.(1)因?yàn)閷?duì)任意，恒有令，，得，當(dāng)時(shí)，有，所以，即；當(dāng)時(shí)，有，所以，又，所以.(2)設(shè)任意且，因?yàn)?，所以，又，因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞減.練習(xí)2.已知對(duì)一切，滿足，且當(dāng)時(shí)，.求證：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）在上為減函數(shù).【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）先令得，設(shè)，則，進(jìn)而根據(jù)即可得答案；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合，即可得證明.【詳解】解：（1）對(duì)一切有.且，令，得，現(xiàn)設(shè)，則，，而，（2）設(shè)且，則，即為減函數(shù).和并結(jié)合題意證明.小結(jié)：對(duì)于以指數(shù)函數(shù)為模型的抽象函數(shù)證明單調(diào)性時(shí)也會(huì)用到以下變形：類型三：以對(duì)數(shù)函數(shù)為模型的抽象函數(shù)，已知函數(shù)的定義域是，且滿足,當(dāng)時(shí),.(1)求的值;(2)判斷并證明的單調(diào)性.【分析】（1）由條件可令x＝y(tǒng)＝1，即可得到f（1）；（2），則,由x＞1時(shí)，f（x）＞0，則f＞0，則有即可判斷；【詳解】（1）令，則，解得.（2）在上的是增函數(shù)，設(shè)，且，則,∴∴，即,∴在上的是增函數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性及判斷，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．練習(xí)3.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，且對(duì)一切，滿足(1)求的值；(2)判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)；(2)在上是增函數(shù)，證明見解析.【分析】（1）利用賦值法即得；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義結(jié)合條件即得.【詳解】（1）令，則，所以；（2）在上是增函數(shù)，任取，則，因?yàn)?，所以，則，所以，即，所以在上是增函數(shù).小結(jié)：對(duì)于以對(duì)數(shù)函數(shù)為模型的抽象函數(shù)證明單調(diào)性時(shí)一般用到以下變形：，然后根據(jù)題目中的特殊函數(shù)值得出函數(shù)的單調(diào)性.類型四：以冪函數(shù)為模型的抽象函數(shù)，已知函數(shù)的值滿足（當(dāng)時(shí)），對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，且，，當(dāng)時(shí)，.（1）求的值，判斷的奇偶性并證明；（2）判斷在上的單調(diào)性，并給出證明；（3）若且，求的取值范圍.【答案】（1）1，為偶函數(shù)，證明見解析；（2）在上是增函數(shù)，證明見解析；（3）.【分析】（1）令，可求得，再令，求得，即得為偶函數(shù)；（2）利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（3）由函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可得，即，得解.【詳解】解：（1）令，；函數(shù)為偶函數(shù).證明如下：令，則，，，故為偶函數(shù)；（2）在上是增函數(shù).證明如下：設(shè)，，，則，，，，，故在上是增函數(shù).（3），又，，，，，，則，又函數(shù)在上是增函數(shù)，，即，綜上知，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了抽