高考數(shù)學(xué)新文化定義50道必做題含詳解

高考數(shù)學(xué)新文化定義50道必做題

一、單選題

i.攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角

攢尖、六角攢尖等，多見于亭閣式建筑如圖所示，某園林建筑為六角攢尖，它的主要部

分的輪廓可近似看作一個正六棱錐，設(shè)正六棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為26,則側(cè)

A.B.---------D.----------

3sin63cos。2sin02cos。

2.哥隆尺是一種特殊的尺子.圖1的哥隆尺可以一次性度量的長度為1,2,3,4,5,

6.圖2的哥隆尺不能一次性度量的長度為（）

A.11B.13C.15D.17

3.我國古代以天為主，以地為從，天和干相連叫天干，地和支相連叫地支，合起來叫

天干地支.天干有十個，就是甲、乙，丙、丁、戊、己、庚、辛、王、癸，地支有十二個，依次

是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.古人把它們按照甲子、乙丑、丙寅……的順

序而不重復(fù)地搭配起來，從甲子到癸亥共六十對，叫做一甲子.我國古人用這六十對干

支來表示年、月、日、時的序號，周而復(fù)始，不斷循環(huán)，這就是干支紀(jì)年法（即農(nóng)歷）,干支

紀(jì)年歷法，是屹立于世界民族之林的科學(xué)歷法之一.今年（2020年）是庚子年，小華的爸爸

今年10月10日是56周歲生日，小華爸爸出生那年的農(nóng)歷是（）

A.庚子B.甲辰C.癸卯D.丙申

4.“瓦當(dāng)”是中國古建筑裝飾檐頭的附件，是中國特有的文化藝術(shù)遺產(chǎn)，為探究下面“瓦

當(dāng)”圖案的面積，向半徑為10的圓內(nèi)投入1000粒芝麻，落入陰影部分的有400粒.則估

計“瓦當(dāng)”圖案的面積是（）

C.4D.4%

5.明朝早期，鄭和在七下西洋的過程中，將中國古代天體測量方面所取得的成就創(chuàng)造

性應(yīng)用于航海，形成了一套自成體系且行之有效的先進航海技術(shù)——“過洋牽星術(shù)”.簡單

地說，就是通過觀測不同季節(jié)、時辰的日月星辰在天空運行的位置和測量星辰在海面以

上的高度來判斷方位，其采用的主要工具為牽星板，由12塊正方形木板組成，最小的

一塊邊長約為2厘米（稱一指）.觀測時，將木板立起，一手拿著木板，手臂垂直，眼

睛到木板的距離大約為72厘米，使?fàn)啃前迮c海平面垂直，讓板的下邊緣與海平面重合，

上邊緣對著所觀測的星辰，與其相切，依高低不同替換、調(diào)整木板，木板上邊緣與被觀

測星辰重合時所用的是兒指板，觀測的星辰離海平面的高度就是幾指，然后就可以推算

出船在海中的地理緯度.如圖所示，若在一次觀測中，所用的牽星板為九指板，則sin2a=

（）

眼到牽星板的距離海平面

12歷88

A.—RD.-----C.—D.

35171715

6.我國古代以天為主，以地為從，天和干相連叫天干，地和支相連叫地支，合起來叫

天干地支.天干有十個，就是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二

個，依次是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.古人把它們按照甲子、

乙丑、丙寅……的順序而不重復(fù)地搭配起來，從甲子到癸亥共六十對，叫做一甲子.我

國古人用這六十對干支來表示年、月、日、時的序號，周而復(fù)始，不斷循環(huán)，這就是干

支紀(jì)年法（即農(nóng)歷）.干支紀(jì)年歷法，是屹立于世界民族之林的科學(xué)歷法之一.今年（2020

年）是庚子年，小華的爸爸今年6月6日是56周歲生日，小華爸爸出生那年的農(nóng)歷是

()

A.庚子B.甲辰C.癸卯D.丙申

7.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保，明代科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)

政全書》中用圖1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個

盛水筒都做勻速圓周運動.將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車的半徑為2m,筒車

的軸心。到水面的距離為1m,筒車每分鐘按逆時針轉(zhuǎn)動2圈.規(guī)定：盛水筒M對應(yīng)的

點P從水中浮現(xiàn)（即4時的位置）時開始計算時間，設(shè)盛水筒M從4運動到點P時所

用時間為r（單位：s）,且此時點P距離水面的高度為〃（單位：m）.若以筒車的軸心0

為坐標(biāo)原點，過點。的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2）,則力與f

的函數(shù)關(guān)系式為（）

圖1

71萬、,兀

A.A=2sin--1---+1,tG[0,+oo)B.h=2sin+1,?G[0,+OO)

156j156J

C./i=2sinj+1,Ze[0,-l-oo)D./z=2sin^^+—1+1,te[0,+oo)

8.英國數(shù)學(xué)家泰勒(AThy/"，1685/731)以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級數(shù)聞名于世。由泰勒

公式，我們能得到e=l+L+-f~+,++-+——（其中e為自然對數(shù)的底數(shù),

1!2!3!n\（n+1）!

o

0<6?<l,n!=nx（n-l）x（/?-2）x?.x2xl）,其拉格朗日余項是凡=而萬.可以看

3

出，右邊的項用得越多，計算得到的e的近似值也就越精確。若7~—近似地表示e的

泰勒公式的拉格朗日余項力，此不超過焉時;正整數(shù)〃的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

9.我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即在ABC中，角

A,B,C所對的邊分別為a,b,c,貝ijABC的面積S=/J（a加2」一+力一L

2丫I2J

2

根據(jù)此公式，若acosB+S—2c）cosA=。，且〃+-a-4＞貝UABC的面積

為（）

A.瓜B.243C.也D.372

10.我國古代數(shù)學(xué)論著中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈二百

五十四，請問底層幾盞燈？意思是：一座7層塔共掛了254盞燈，且相鄰兩層中的下一

層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的底層共有燈（）

A.32盞B.64盞C.128盞D.196盞

11.古希臘的數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割

率，黃金分割率的值也可以用2sinl8”表示.若實數(shù)〃滿足4sin218"+/=4,則

1-sin18

8n2sin2180

12.劉徽（約公元225年-295年），魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人

之一.他在割圓術(shù)中提出的“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周

合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)的核心思想是將一個圓的

內(nèi)接正“邊形等分成〃個等腰三角形（如圖所示），當(dāng)〃變得很大時，這〃個等腰三角形

的面積之和近似等于圓的面積，運用割圓術(shù)的思想得到s山6的近似值為（）

n

B.

3060

71

C.—

90180

13.德國著名的天文學(xué)家開普勒說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個

是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦.”黃金三

角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認為是最美的三角形，它是

一個頂角為36°的等腰三角形（另一種是頂角為108的等腰三角形）.例如，五角星由五

個黃金三角形與一個正五邊形組成，如圖所示，在其中一個黃金ABC中,

生=避二L根據(jù)這些信息，可得sin126=（）

AC2

A

4+\[5

1-275D3+V5c1+4

4848

14.算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎(chǔ)上發(fā)明的，是中國古

代一項偉大的、重要的發(fā)明，在阿拉伯?dāng)?shù)字出現(xiàn)前是全世界廣為使用的計算工具.“珠算”

一詞最早見于東漢徐岳所撰的《數(shù)術(shù)記遺》，其中有云：“珠算控帶四時，經(jīng)緯三才北

周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上、下兩部分是停游珠用的，中間一部

分是作定位用的.下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個位、十位、百位、，

上面一粒珠（簡稱上珠）代表5,下面一粒珠（簡稱下珠）是I,即五粒下珠的大小等

于同組一粒上珠的大小.現(xiàn)在從個位和十位這兩組中隨機選擇往下?lián)芤涣Ｉ现椋蠐?

粒下珠，算盤表示的數(shù)為質(zhì)數(shù)（除了1和本身沒有其它的約數(shù)）的概率是（）

梁、彳上珠

檔一UAdW儲“I

ffl

卜下珠

框、

2]_

A.B.C.D.

3236

15.蹴鞠（如圖所示），又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義,

鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴，蹋、踢皮球的活動，

類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第

一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，已知某鞠的表面上有四個點A、6、C、滿足

AB=CD=5,BD=AC=6,AD=BC=7,則該鞠的表面積為（）

A.55萬B.60乃C.637rD.68%

16.南北朝時期的偉大數(shù)學(xué)家祖曬在數(shù)學(xué)上有突出貢獻，他在實踐的基礎(chǔ)上提出祖曬原

理：“基勢既同，則積不容異”.其含義是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行

于這兩個平行平面的任意平面所截，如果截得兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何

體的體積相等.如圖，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體的體積分別為匕、V2,被平

行于這兩個平面的任意平面截得的兩個截面面積分別為，、邑，則命題“匕、匕相

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

17.如圖是隋唐天壇，古叫圜丘，它位于唐長安城明德門遺址東約950米，即今西安市

雁塔區(qū)陜西師范大學(xué)以南.天壇初建于隋而廢棄于唐末，比北京明清天壇早1000多年，

是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之處.某數(shù)學(xué)興趣小組為了測得天壇的直徑，在天壇

外圍測得AB=60米，BC=60米，CO=40米，ZABC=60°,ZBCD=120°,

據(jù)此可以估計天壇的最下面一層的直徑A。大約為（）.（結(jié)果精確到1米）

（參考數(shù)據(jù)：0=1.414,6^1.732，石~2.236，2.646）

C.49米D.53米

18.祖也（公元5-6世紀(jì)，祖沖之之子，是我國齊梁時代的數(shù)學(xué)家.他提出了一條原理:

“幕勢既同，則積不容異.”這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截

面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.該原理在西方直到十七世紀(jì)才由意大利數(shù)

學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)，比祖唾晚一千一百多年.橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體.如

圖將底面直徑皆為2b,高皆為。的橢半球體及已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一

平面P上.以平行于平面P的平面于距平面/任意高d處可橫截得到S圓及S環(huán)兩截面,

可以證明%=S環(huán)總成立.據(jù)此，短軸長為6cm,長軸為8cm的橢球體的體積是（）

cm3

A.24乃B.48萬C.1927rD.384萬

19.龍馬負圖、神龜載書圖像如圖甲所示，數(shù)千年來被認為是中華傳統(tǒng)文化的源頭；其

中洛書有云，神龜出于洛水，甲殼上的圖像如圖乙所示，其結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，

二四為肩，六八為足u,以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四角黑點為陰數(shù)；若從陽數(shù)和陰

數(shù)中分別隨機抽出2個和1個，則被抽到的3個數(shù)的數(shù)字之和超過16的概率為（）

圖甲圖乙

20.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著.書中有如下問題產(chǎn)今有委米依垣

內(nèi)角，下周四尺.高三尺.何積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米，米堆底部

的弧長為4尺.米堆的高為3尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知I斛米的體積

約為1.62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放斛的米約有（）

A.7斛B.3斛C.9斛D.12斛

21.我國古代著名數(shù)學(xué)家劉徽的杰作《九章算術(shù)注》是中國最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)之一，書

中記載了他計算圓周率所用的方法.先作一個半徑為1的單位圓，然后做其內(nèi)接正六邊

形，在此基礎(chǔ)上做出內(nèi)接正6x2"（〃=l,2,）邊形，這樣正多邊形的邊逐漸逼近圓周，

從而得到圓周率，這種方法稱為“劉徽割圓術(shù)”.現(xiàn)設(shè)單位圓。的內(nèi)接正〃邊形的一邊為

AC,點8為劣弧AC的中點，則是內(nèi)接正2〃邊形的一邊，現(xiàn)記AC=5.，

AB=S2n,則（）

A-SzL一—后MB.邑,=河RK

C.S2?=2^2+^S^D.52?=74-37^5;

22.古代中國的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界，畫出相等的兩個陰陽魚，陽魚的頭

部有陰眼，陰魚的頭部有個陽眼，表示萬物都在相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，陰中有陽，陽中

有陰，陰陽相合，相生相克，蘊含現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律.圖2（正八邊形

ABCDEFGH）是由圖1（八卦模型圖）抽象而得到，并建立如下平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)。4=1.則下述四個結(jié)論：①以直線OH為終邊的角的集合可以表示為

<aa^—+2k7v,k&Z[.②以點。為圓心、0A為半徑的圓的弦AB所對的弧長為

n③0400=#；④8/=卜夜,-血)中,

正確結(jié)論的個數(shù)是（)

4

圖1

A.1B.2

23.我國明代著名樂律學(xué)家、明宗室王子朱載埴在《律學(xué)新說》中提出的十二平均律,

即是現(xiàn)代在鋼琴的鍵盤上，一個八度音程從一個c鍵到下一個q健的8個白鍵與5個黑

鍵（如圖）的音頻恰成一個公比為蚯的等比數(shù)列的原理，也即高音q的頻率正好是中音

。的2倍.已知標(biāo)準(zhǔn)音弓的頻率為440，z,那么頻率為220直出的音名是（）

24.數(shù)列1、1、2、3、5、8、13、21、34、稱為斐波那契數(shù)列，是意大利著

名數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年在他撰寫的《算盤全書》中提出的，該數(shù)列的特點是：從

第三項起，每一項都等于它前面兩項的和.在該數(shù)列的前2020項中，偶數(shù)的個數(shù)為（）

A.505B.673C.674D.1010

25.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家

處理問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證

明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點尸在半圓。上，點。在直徑48上，

且_LAB,設(shè)AC=a,BC=b,則該圖形可以完成的無字證明為（）

F

A.（a>b>0）B.a2+Z?2>2ab（^a>Z?>0）

c.言〈疝（a">0）D.審<F^（a>b>°）

26.3D打印屬于快速成形技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運用粉末狀

金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層堆疊累積的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)（即“積層造型

法”）.過去常在模具制造、工業(yè)設(shè)計等領(lǐng)域被用于制造模型，現(xiàn)正用于一些產(chǎn)品的直接

制造，特別是一些高價值應(yīng)用（比如懿關(guān)節(jié)、牙齒或一些飛機零部件等）.己知利用3D

打印技術(shù)制作如圖所示的模型.該模型為在圓錐底內(nèi)挖去一個正方體后的剩余部分（正

方體四個頂點在圓錐母線上，四個頂點在圓錐底面上），圓錐底面直徑為100cm，母

線與底面所成角的正切值為0.打印所用原料密度為1g/cn?,不考慮打印損耗，制

作該模型所需原料的質(zhì)量約為（）（取無=3.14,精確到0.1）

A.609.4gB.447.3gC.398.3gD.357.3g

27.我國天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的暑

長損益相同（皆是按照日影測定時刻的儀器，唇長即為所測量影子的長度）.二十四節(jié)

氣及號長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣唇長減少或增加的量相同，周而復(fù)始.則下列說

法不正確的是（）

注：“相差”是指差的絕對值

，立熨、

Mo小滴、

、芒種\

：90及至

冬至270

t大雪

A.立春和立冬的署長相同

B.立夏和立秋的辱長相同

C.與夏至的辱長相差最大的是冬至的辱長

D.與春分的唇長相差最大的是秋分的號長

28.羅德島太陽神巨像是古代世界七大奇跡之一.它是希臘太陽神赫利俄斯的青銅鑄像,

高約33米.如圖所示，太陽神赫利俄斯手中所持的幾何體（含火焰）近似是一個底面相同

的倒立的兩個圓錐，正方向投影過去，其平面幾何圖形形狀為一個角為60。，邊長為2

的菱形.現(xiàn)在其中一個圓錐中放置一個球體，使得球與母線、底面相切，則該球球的表

面積為（）

4

B.—71

3

29.斗拱是中國古典建筑最富裝飾性的構(gòu)件之一，并為中國所持有，圖一圖二是北京故

宮太和殿斗拱實物圖，圖三是斗拱構(gòu)件之一的“斗’'的幾何體，本圖中的斗是由棱臺與長

方體形凹槽（長方體去掉一個長相等，寬和高分別為原長方體一半的小長方體）組成.

若棱臺兩底面面積分別是400c〃，，900cm2.高為9cm,長方體形凹槽的高為12cm,

斗的密度是0.50g/c加.那么這個斗的質(zhì)量是（）

A.3990gB.3010gC.6900gD.6300g

30.自宋朝以來，折扇一直深受文人雅土的喜愛，在扇面（折扇由扇骨和扇面組成）上題

字作畫是生活高雅的象征.現(xiàn)有一位折扇愛好者準(zhǔn)備在如圖所示的扇面上題字，由于突

然停電，不慎將一滴墨汁落入折扇所在區(qū)域,則墨汁恰好落入扇面部分的概率為（）

31.寫算，是一種格子乘法，也是筆算乘法的一種，用以區(qū)別籌算與珠算，它由明代數(shù)

學(xué)家吳敬在其撰寫的《九章算法比類大全》一書中提出，是從天元式的乘法演變而來.例

如計算89x65,將被乘數(shù)89計入上行，乘數(shù)65計入右行.然后以乘數(shù)65的每位數(shù)字

乘被乘數(shù)89的每位數(shù)字，將結(jié)果計入相應(yīng)的格子中，最后從右下方開始按斜行加起來，

滿十向上斜行進一，如圖，即得5785.類比此法畫出648x345的表格，若從表內(nèi)（表

周邊數(shù)據(jù)不算在內(nèi)）任取一數(shù)，則恰取到奇數(shù)的概率是（）

89

85

51132

A.—B.-C.—D.一

183183

32.玉琮是中國古代玉器中重要的禮器，神人紋玉琮王是新石器時代良渚文化的典型玉

器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遺址.玉琮王通高8.8a”，孔徑4.9cvn、外徑

17.6cm.琮體四面各琢刻一完整的獸面神人圖像.獸面的兩側(cè)各淺浮雕鳥紋.器形呈扁矮

的方柱體，內(nèi)圓外方，上下端為圓面的射，中心有一上下垂直相透的圓孔.試估計該神

人紋玉琮王的體積約為（單位：C/7?）（）

A.6250B.3050C.2850D.2350

33.“干支紀(jì)年法”是中國歷法上自古以來使用的紀(jì)年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、

庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥

叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字開始，“地支”以“子”字開始，兩者按干支順序相配，組

成了干支紀(jì)年法，其相配順序為：甲子、乙丑、丙寅、.癸酉，甲戌、乙亥、丙子、.癸

未，甲申、乙酉、丙戌、癸巳，共得到60個組合，周而復(fù)始，循環(huán)記錄.2010年是“干

支紀(jì)年法”中的庚寅年，那么2019年是“干支紀(jì)年法”中的（）

A.己亥年B.戊戌年C.庚子年D.辛丑年

34.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載問題：”今有垣厚八尺，兩鼠對穿，大鼠日

一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，問幾何日相逢？”，意思是“今有土墻厚

8尺，兩鼠從墻兩側(cè)同時打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后

每天打洞長度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞長度是前一天的一半，問兩鼠幾天打

通相逢？”兩鼠相逢需要的天數(shù)最小為（）

A.2B.3C.4D.5

二、填空題

35.中國古代計時器的發(fā)明時間不晚于戰(zhàn)國時代（公元前476年~前222年），其中沙

漏就是古代利用機械原理設(shè)計的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹

窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道流到下部容器，

如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐容器組成，圓錐的底面圓的直徑和高均為8cm,細沙全

2

部在上部時，其高度為圓錐高度的I（細管長度忽略不計）.若細沙全部漏入下部后，

恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此圓錐形沙堆的高為cm.

36.中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊.按如下方法剪裁（如圖1）,扇面形狀較為

美觀.從半徑為20cm的圓面中剪下扇形OAB,使扇形OAB的面積與圓面中剩余部分

的面積比值為避二1（避二1=0.618,稱為黃金分割比例），再從扇形OAB中剪下扇

22

環(huán)形A8OC制作扇面，使扇環(huán)形A8OC的面積與扇形OAB的面積比值為逅二1.則

2

一個按上述方法制作的扇形裝飾品（如圖2）的面積為cm2.

37.《九章算術(shù)》是古代中國的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，與古希臘歐幾里得的《兒

何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.《九章算術(shù)》卷五記載：“今有芻薨，下廣三丈，表

四丈，上袤二丈，無廣，高一丈.問積幾何？”譯文：今有如圖所示的屋脊?fàn)钚w

PQ-ABCD,下底面ABC。是矩形，假設(shè)屋脊沒有歪斜，即PQ的中點R在底面

ABC。上的投影為矩形A5CO的中心點。，PQ//AB,AB=4,AD=3,PQ=2,

OR=1（長度單位：丈）.則楔體PQ—ABC。的體積為（體積單位：立方

丈）.

38.世界四大歷史博物館之首盧浮宮博物館始建于1204年，原是法國的王宮，是法國

文藝復(fù)興時期最珍貴的建筑物之一，以收藏豐富的古典繪畫和雕刻而聞名于世，盧浮宮

玻璃金字塔為正四棱錐，且該正四棱錐的高為21米，底面邊長為30米，是華人建筑大

師貝聿銘設(shè)計的.若玻璃金字塔五個頂點恰好在一個球面上，則該球的半徑為米.

39.《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個問

題，分為九類，每類九個問題《數(shù)書九章》中記錄了秦九解的許多創(chuàng)造性成就，其中在

卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊a,b,c求面積的公式，這與古希臘的海倫公

式完全等價，其求法是：“以小斜寨并大斜累減中斜寨，余半之，自乘于上，以小斜塞

乘大斜幕減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得積”若把以上這段文字寫成公式，

f|T2_/_2\2

即5=-c2a2------------S為三角形的面積，a,b,c為三角形的三邊長,

VL12門

現(xiàn)有ABC滿足sinA:sinB:sinC=3:2夜：&且=12,則A3c的外接

圓的半徑為.

40.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中把三角形的田稱為“圭田”，把直角梯形

的田稱為“邪田”，又稱底是“廣”，高是“正從"，"步''是丈量土地的單位.現(xiàn)有一邪田，廣

分別為十步和二十步，正從為十步，其內(nèi)有一塊廣為八步，正從為五步的圭田.若在邪

田內(nèi)隨機種植一株茶樹，則該株茶樹恰好種在圭田內(nèi)的概率為.

41.蜂巢是由工蜂分泌蜂蠟建成的從正面看，蜂巢口是由許多正六邊形的中空柱狀體連

接而成，中空柱狀體的底部是由三個全等的菱形面構(gòu)成，菱形的一個角度是109。28，，

這樣的設(shè)計含有深刻的數(shù)學(xué)原理、我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾專門研究蜂巢的結(jié)構(gòu)著有

《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題》.用數(shù)學(xué)的眼光去看蜂巢的結(jié)構(gòu)，如圖，在正六棱

柱A5CDEF-A'B'C'D'E'的三個頂點處分別用平面5bM,平面5。。，平面

OFN截掉三個相等的三棱錐45/，O-BCD,N-DEF,平面,平面

BDO,平面DFN交于點P,就形成了蜂巢的結(jié)構(gòu).

如圖，設(shè)平面尸8。。與正六邊形底面所成的二面角的大小為。，則cos6=.

（用含tan54044,的代數(shù)式表示）

42.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德是世界上公認的三位最偉大的數(shù)學(xué)家之一，其墓碑上刻著他

認為最滿意的一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn).如圖，一個“圓柱容球”的幾何圖形，即圓柱容器里放了一個

球，該球頂天立地，四周碰邊，在該圖中，球的體積是圓柱體積的：，并且球的表面積

也是圓柱表面積的g，若圓柱的表面積是6萬，現(xiàn)在向圓柱和球的縫隙里注水，則最多

可以注入的水的體積為.

43.明朝著名易學(xué)家來知德以其太極圖解釋一年、一日之象的圖式，一年氣象圖將二十

四節(jié)氣配以太極圖，說明一年之氣象，來氏認為“萬古之人事，一年之氣象也，春作夏

長秋收冬藏，一年不過如此上圖是來氏太極圖，其大圓半徑為4,大圓內(nèi)部的同心小

圓半徑為1,兩圓之間的圖案是對稱的，若在大圓內(nèi)隨機取一點，則該點落在黑色區(qū)域

的概率為.

44.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正

方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多

面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖

2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正

方體的棱長為1.則該半正多面體的棱長為

圖1圖2

45.“趙爽弦圖”是中國古代數(shù)學(xué)的文化瑰寶，由四個全等的直角三角形和一個小正方形

組成（如圖所示），簡潔對稱、和諧優(yōu)美.某數(shù)學(xué)文化研究會以弦圖為藍本設(shè)計會徽，其

圖案是用紅、黃2種顏色為弦圖的5個區(qū)域著色（至少使用一種顏色），則一共可以繪

制備選的會徽圖案數(shù)為.

46.算籌是在珠算發(fā)明以前我國獨創(chuàng)并且有效的計算工具，為我國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出

了很大貢獻.在算籌記數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數(shù)字，如下表：

數(shù)字形式123456789

縱式11IIIIIHillTITurT

橫式一==

=皇1X=1

表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零

則置空，如圖所示.如果把5根算籌以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胂旅娴谋砀裰?，那么可以表?/p>

的三位數(shù)的個數(shù)為

±ir=nr6728

iirm6708

47.德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲發(fā)現(xiàn)了如圖所示的單位分數(shù)三角形(單位分數(shù)是指分子為1,

分母為正整數(shù)的分數(shù))，稱為萊布尼茲三角形.根據(jù)前5行的規(guī)律，則第6行的左起第

3個數(shù)為

1

i

T2

i1i

T6T

i11

1212T

ii1

面3020

48.《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉牖.如圖，四面體P-ABC

為鱉麻，PAJL平面ABC,NA8C為直角，且PA=AB=BC=2,則P—ABC的

體積為.

49.一般的，復(fù)數(shù)都可以表示為z=r(cos6+isin。)的形式，這也叫做復(fù)數(shù)的三角表

示，17世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家棣莫弗結(jié)合復(fù)數(shù)的三角表示發(fā)現(xiàn)并證明了這樣一個關(guān)系：如

果4=4(cosq+isinq),z2=7;(cos6,+zsin6,),那么

ZR=44[cos(a+6?2)+isin(a+%)],這也稱為棣莫弗定理.結(jié)合以上定理計算：

冗.冗..71

--FZScos——Hsin——,(結(jié)果表示為。+山，

244

的形式)

50.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，這

條直線稱為“歐拉線”.已知ABC的頂點A(2,0),5(0,4),其“歐拉線”的直線方程為

x-y+2=0,貝ijABC的頂點C的坐標(biāo)

參考答案

1.A

【分析】

首先畫出正六棱錐的底面和側(cè)面，利用幾何圖形中邊長的關(guān)系，求側(cè)棱與底面內(nèi)切圓半徑的

比.

【詳解】

如圖，正六邊形時正六棱錐的底面，等腰三角形是正六棱在的側(cè)面，設(shè)側(cè)棱SA=SB=b,

底面邊長A8=“，底面內(nèi)切圓半徑OC=r,ZASB=20,

則0AB是等邊三角形，r=?sin60=—a,側(cè)面S4B中，a=20sin。，

2

6

/.r=gbsin0，

3sin。

故選：A

2.C

【分析】

結(jié)合圖象以及選項，確定正確選項.

【詳解】

對于A選項，圖2中，用“1與12”可以測量11；

對于B選項，圖2中，用“4與17”可以測量13；

對于D選項，圖2中，用“0與17”可以測量17.

圖2的哥隆尺不能一次性度量的長度為15.

故選：C

3.B

【分析】

先求得小華爸爸出生年份為1964年，由1960年是庚子年計算出小華爸爸出生那年的農(nóng)歷.

答案第1頁，總28頁

【詳解】

小華的爸爸今年10月10日是56周歲生日，小華爸爸出生于1964（2020-56=1964）年

按六十年一個甲子，今年（2020年）是庚子年，60年前（I960年）是庚子年，由干支紀(jì)年法知，

1961,1962,1963,1964年分別是辛丑，壬寅，癸卯,甲辰年.

故選：B

4.B

【分析】

利用幾何概型概率公式計算估計.

【詳解】

4002

據(jù)題意，芝麻落入陰影部分的概率為「=；；===，

10005

S2

設(shè)“瓦當(dāng)”圖案的面積為S,則-----7=-,S=40萬.

萬xIO?5

故選：B.

5.C

【分析】

由?所在直角三角形中兩直角邊長已知，根據(jù)直角三角形中三角函數(shù)定義計算出

sina,cose,再由正弦的二倍角公式計算.

【詳解】

由題意a所對直角邊長為18,相鄰直角邊長為72,則斜邊長為18J萬，

14

sina=—,cosa=—

V17V17

?cc?cl48

二sin2a=2sinacosa=2x—==x—==——.

V17V1717

故選：C.

6.B

【分析】

由年紀(jì)知道他爸爸是1964年出生，由2020年是庚子年，1960年也是庚子年，按照干支紀(jì)

年法來推斷1964年即可.

【詳解】

答案第2頁，總28頁

小華的爸爸今年6月6日是56周歲生日，小華爸爸出生于1964(2020—56=1964)年.按

六十年一個甲子，今年(2020年)是庚子年，60年前(I960年)是庚子年，由干支紀(jì)年法

知，1961,1962,1963,1964年分別是辛丑，壬寅，癸卯，甲辰年.故選B.

7.A

【分析】

471

首先先求以。P為終邊的角為77，—二，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求點尸的縱坐標(biāo)，以及根據(jù)

156

圖形表示//9)?

【詳解】

TTTF

NXOR=B，所以。穌對應(yīng)的角是一g,

66

由OP在t(s)內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為三尹r=,

6()15

TCTC

可知以O(shè)x為始邊，以O(shè)P為終邊的角為:/-丁，

156

則點P的縱坐標(biāo)為2sin[j^f-%J,

冗冗、

+1.

(13O7

故選：A

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵讀懂題意，并能抽象出函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是求以O(shè)P在《S)內(nèi)轉(zhuǎn)過的

2X2TTTC7T7T

角為1^，=三心再求以。尸為終邊的角為「1一二.

6015156

8.B

【分析】

31

由-一-W^337求得正整數(shù)n的最小值.

(〃+1)!1000

【詳解】

31,、

依題意得------<-----,B|J(n+l)!>3000,

…足號1000r)

（5+1）1=6x5x4x3x2x1=720,

答案第3頁，總28頁

(6+l)!=7x6x5x4x3x2xl=5040>3000,

所以〃的最小值是6.

故選：B

9.C

【分析】

首先根據(jù)正弦定理化簡己知，求得cosA=!，再根據(jù)余弦定理求歷，最后代入面積公式求

2

解.

【詳解】

由正弦定理邊角互化可知acos8+S-2c)cosA=()化簡為

sinAcos8+(sin8-2sinC)cosA=0,

sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA

即sin(A+3)=sinC=2sinCcosA

sinC^O,cos/l=-

2

8sA=立占I41

=-<?—=-,解得：bc=4,

2hc22bc2

/,?22、2

根據(jù)面積公式可知s=-J(bc)I2-b"+c-a

-716-4=73-

2)2

故選：C

【點睛】

關(guān)鍵點點睛，本題考查數(shù)學(xué)文化，理解面積公式,對于面積公式可變形為

b2+c2-a2>\

2)

10.C

【分析】

根據(jù)等比數(shù)列前〃項和公式，計算首項.

【詳解】

答案第4頁，總28頁

設(shè)最底層的燈數(shù)為4,公比4=萬，

4=128.

故選：C

11.A

【分析】

利用二倍角公式可求三角函數(shù)的值.

【詳解】

根據(jù)題中的條件可得

1—sinl8°1—sinl8°l-sinl801-sin18°

8/?*12sin218°8sin218°(4-4sin218°)8sin218°x4cos218°8sin236°

1一sinl8°1-sinl80

\

72o—4

1-cos72°

o8x---------/

2

故選：A.

12.A

【分析】

首先判斷等腰三角形的個數(shù)，根據(jù)割圓術(shù)的思想，等腰三角形的面積和近似為圓的面積，列

出面積公式，求sin6的近似值.

【詳解】

圓的周角為360，,=60,所以當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?時，共割了60個等腰三角形，

6

1jr

設(shè)圓的半徑為r,則由題意可知60x—/"2xsin6?7rr2,解得：sin6?一，

230

7t

所以sin6的近似值是證.

故選：A

13.C

【分析】

計算出cos72=避二1,然后利用二倍角公式以及誘導(dǎo)公式可計算得出Sin126=cos36

4

答案第5頁，總28頁

的值，即可得出合適的選項.

【詳解】

因為A3C是頂角為36。的等腰三角形，所以，ZACB=72，

則F2BCA/5-1,sinl26=sin（90+36）=cos36,

cos72=cosZACB=----=------''

AC4

而cos72=2cos236—1，所以，

?/l+cos7213+召，6+2,石+1

c