安徽省皖北六校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期高一年級期末聯(lián)考數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：北師大版必修第一冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知集合，則（）A. B. C. D.以上都不正確【答案】C【解析】【分析】利用集合間的基本關(guān)系即可判斷.【詳解】由集合間的包含關(guān)系可知.故選：C2.某學(xué)校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學(xué)生視力是否存在顯著差異，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是（）A抽簽法 B.隨機數(shù)法C.分層隨機抽樣法 D.其他方法【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不同抽樣方法適用的條件進行判斷即可.【詳解】三年級、六年級、九年級三個年級之間學(xué)生視力存在差異，且對于統(tǒng)計結(jié)果有影響，按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進行調(diào)查時，合理的抽樣方法為：分層隨機抽樣法.故選：C.3.不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不含參的一元二次不等式的解法計算即可求解.【詳解】原不等式可化為，解集為.故選：C.4.用二分法求函數(shù)的零點時，初始區(qū)間可選為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計算出，結(jié)合零點存在性定理得到答案.【詳解】，則，即初始區(qū)間可選．故選：D．5.若，則“”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若，則，所以“”不能得出“”；若，則，所以“”不能得出“”.綜上可知，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.6.若正數(shù)滿足，則的最大值為（）A.6 B.9 C. D.【答案】C【解析】【分析】由基本不等式求解即可.【詳解】解：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故選：C．7.當(dāng)生物死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約經(jīng)過N年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14原有初始質(zhì)量為Q，該生物體內(nèi)碳14所剩質(zhì)量y與死亡年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合半衰期的定義，建立指數(shù)函數(shù)模型，從而得到函數(shù)關(guān)系式.【詳解】設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為，將剛死亡生物體內(nèi)碳14含量看成1個單位，根據(jù)經(jīng)過N年衰減為原來的一半，則，即，且生物體內(nèi)碳14原有初始質(zhì)量為Q所以生物體內(nèi)碳14所剩質(zhì)量y與死亡年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為即故選:D.8.已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，又，則的大小關(guān)系為（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】由題意得到在上是減函數(shù)，再根據(jù)判斷.【詳解】解：是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上是減函數(shù).而，，，即.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知命題，，則（）.A.是真命題 B.，C.是真命題 D.，【答案】AD【解析】【分析】由函數(shù)的性質(zhì)及全稱命題的否定定義逐一判斷.【詳解】命題，，則，所以B錯D正確又因為當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以命題假，是真命題，故A正確C錯故選:AD10.從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球，則互斥的兩個事件是（）A.“至少有一個黑球”與“都是黑球”B.“至少有一個黑球”與“都是紅球”C.“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”D.“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的概念及對立事件判斷即可.【詳解】對于A中，當(dāng)從口袋中取出兩個黑球時，事件“至少有一個黑球”與“都是黑球”同時發(fā)生，所以事件“至少有一個黑球”與“都是黑球”不是互斥事件，所以A不符合題意；對于B中，從口袋中取出兩個球，事件“至少有一個黑球”與“都是紅球”不能同時發(fā)生，但必有一個事件發(fā)生，所以事件“至少有一個黑球”與“都是紅球”是對立事件，符合題意；對于C中，當(dāng)從口袋中取出一紅一黑時，事件“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”同時發(fā)生，所以事件“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”不是互斥事件，所以C不符合題意；對于D中，事件“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”不能同時發(fā)生，當(dāng)取出兩個紅球時，事件都沒有發(fā)生，所以事件“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”是互斥事件不是對立事件，符合題意.故選：BD.11.為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨?知史愛國的熱情，某校舉辦了“學(xué)黨史?育文化”暨“喜迎黨的二十大”黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的（）A.的值為0.005；B.估計成績低于60分的有25人C.估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75D.估計這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為86【答案】ACD【解析】【分析】由所有組頻率之和為1求得a，再根據(jù)頻率直方圖中頻數(shù)、眾數(shù)及百分位數(shù)的求法可得結(jié)果.【詳解】對于A，由，得.故A正確；對于B，估計成績低于60分的有人.故B錯誤；對于C，由眾數(shù)的定義知，估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75.故C正確；對于D，設(shè)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為m，則，解得：，故D正確.故選：ACD12.設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個不同的解，，，，且，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】如圖作出函數(shù)的圖象，則，，，，結(jié)合基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可求解.【詳解】如圖，作出函數(shù)的圖象，由題意，直線與的圖象有4個交點，由圖象可知，故B正確；且，，，所以，即，則，故C正確；，故A錯誤；當(dāng)時，，，又，所以，故D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的互化、對數(shù)的運算性質(zhì)計算直接得出結(jié)果.【詳解】原式.故答案為：14.已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，則______.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和奇偶性即可求解.【詳解】由于函數(shù)是冪函數(shù)，所以，解得或.當(dāng)時，，是奇函數(shù)；當(dāng)時，，是偶函數(shù)，符合題意，所以的值為1.故答案為：115.在某次國際圍棋比賽中，中國派出包含甲、乙在內(nèi)的5位棋手參加比賽，他們分成兩個小組，其中一個小組有3位，另外一個小組有2位，則甲和乙分在不同小組的概率為______.【答案】##【解析】【分析】寫出所有的樣本空間以及滿足題意得情況數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計算公式即可得到答案.【詳解】這5名棋手分別記為:甲,乙,,,,則樣本空間(甲乙，)，(甲乙，)，(甲乙，)，(甲，乙),(甲，乙),(甲，乙),(乙，甲),(乙，甲),(乙，甲),(，甲乙)共含有10個樣本點，設(shè)事件表示“甲和乙分在不同小組”,則,所以甲和乙分在不同小組的概率為.故答案為：.16.若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則______．【答案】4【解析】【分析】令并判斷奇偶性，由及奇偶對稱性求.【詳解】因為，令，則，又因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，因為奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，所以在上的最大值和最小值之和為0，即，所以．故答案為：4四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.某果園試種了兩個品種的桃樹各10棵，并在桃樹成熟掛果后統(tǒng)計了這20棵桃樹的產(chǎn)量如下表，記兩個品種各10棵產(chǎn)量的平均數(shù)分別為和，方差分別為和．（單位：）60504560708080808590（單位：）40606080805580807095（1）求，，，；（2）果園要大面積種植這兩種桃樹中的一種，依據(jù)以上計算結(jié)果分析選種哪個品種更合適?并說明理由．【答案】（1），，，（2）選擇品種，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差公式求解即可；（2）比較平均值和方差的大小可得答案.【小問1詳解】，，，．【小問2詳解】由可得兩個品種平均產(chǎn)量相等，又，，則品種產(chǎn)量較穩(wěn)定，故選擇品種.18.已知集合，．（1）若，求；（2）若是的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用集合交補運算求即可；（2）由題意，討論、求參數(shù)范圍.【小問1詳解】由，則或，若，則，所以．【小問2詳解】若是的必要條件，則．當(dāng)時，即時，，符合題意；當(dāng)時，即時，，要滿足，可得，解得；綜上，實數(shù)m的取值范圍為或．19.已知是二次函數(shù)，且，.（1）求的解析式；（2）求在區(qū)間上的最大值.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，由，求得，再由，列出方程組，求得，即可求得函數(shù)的解析式；（2）由（1）知，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.小問1詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，因為，可得，即，又由，且，又因為，即，所以，可得，解得，所以.【小問2詳解】解：由（1）知，可得函數(shù)的圖象開口向上，且對稱軸為，所以，當(dāng)時，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，可得，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；當(dāng)時，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，可得，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，綜上可得，當(dāng)時，的最大值為；當(dāng)時，的最大值為.20.已知函數(shù)．（1）若為奇函數(shù)，證明：；（2）討論的單調(diào)性．【答案】（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義滿足，整理可得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義設(shè)，，且，作差得到，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可得結(jié)論.【小問1詳解】證明：的定義域為，對，都有，又為奇函數(shù)，則必有，即，整理可得：，又恒成立所以，命題得證．【小問2詳解】設(shè)，，且，，易知，，又在上為增函數(shù)，，可得，當(dāng)時，，在R上為增函數(shù)；當(dāng)時，，為常數(shù)函數(shù)，無單調(diào)性；當(dāng)時，，在R上為減函數(shù)．21.與國家安全有關(guān)的問題越來越受到社會的關(guān)注和重視.為了普及國家安全教育，某校組織了一次國家安全知識競賽，已知甲、乙、丙三位同學(xué)答對某道題目的概率分別為，，，且三人答題互不影響.（1）求甲、乙兩位同學(xué)恰有一個人答對的概率；（2）若甲、乙、丙三個人中至少有一個人答對概率為，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)“甲答對”，“乙答對”，則題意所求的事件為，結(jié)合互斥事件的定義與事件的獨立性計算即可求解；（2）根據(jù)對立事件的定義分析題意，建立關(guān)于p的方程，解之即可求解.【小問1詳解】設(shè)“甲答對”，“乙答對”，則，，，，“甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人答對”的事件為，且與互斥由三人答題互不影響，知A，互相獨立，則A與，與，與均相互獨立，則，所以甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人答對的概率為.【小問2詳解】設(shè)“丙答對”，則，設(shè)“甲，乙，丙三個人中至少有一個人答對”，由（1）知，，