人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)第一章空間向量與立體幾何單元測(cè)試基礎(chǔ)卷(含解析)

人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)第一章空間向量與立體幾何單元測(cè)試基礎(chǔ)卷(原卷版)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B．C． D．2．如圖所示，在一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為2、3、4的密封的長(zhǎng)方體裝置中放一個(gè)單位正方體禮盒，現(xiàn)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則正確的是（）A．的坐標(biāo)為 B．的坐標(biāo)為C．的長(zhǎng)為 D．的長(zhǎng)為3．空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．4．已知空間中三點(diǎn)，，，則（）A．與是共線向量B．的單位向量是C．與夾角的余弦值是D．平面的一個(gè)法向量是5．兩平行平面，分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)，且兩平面的一個(gè)法向量，則兩平面間的距離是A． B． C． D．6．下圖是棱長(zhǎng)為2的正方體木塊的直觀圖，其中分別是，，的中點(diǎn)，平面過(guò)點(diǎn)且平行于平面，則該木塊在平面內(nèi)的正投影面積是（）A． B． C． D．7．如圖，已知正方體棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)在棱上，且，在側(cè)面內(nèi)作邊長(zhǎng)為1的正方形，是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到平面距離等于線段的長(zhǎng)，則當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值是（）A．21 B．22 C．23 D．138．如圖，四個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體排成一個(gè)正四棱柱，是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則集合中的元素個(gè)數(shù)（）

A．1 B．2 C．4 D．8二、多選題9．給出下列命題，其中正確的有（）A．空間任意三個(gè)向量都可以作為一組基底B．已知向量，則、與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底C．，，，是空間四點(diǎn)，若，，不能構(gòu)成空間的一組基底，則，，，共面D．已知是空間向量的一組基底，若，則也是空間一組基底10．已知為直線l的方向向量，，分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列選項(xiàng)中，正確的是（）A．∥?α∥β B．⊥?α⊥βC．∥?l∥α D．⊥?l∥α11．在長(zhǎng)方體中，，，，以為原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．異面直線與所成角的余弦值為C．平面的一個(gè)法向量為D．二面角的余弦值為12．若長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4，是的中點(diǎn)，則（）A． B．平面平面C．三棱錐的體積為 D．三棱錐的外接球的表面積為三、填空題13．若直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則______．14．若同方向的單位向量是________________15．如圖，在正四面體中，分別為的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，且，若，則的值為_(kāi)______．16．如圖所示的正方體是一個(gè)三階魔方(由27個(gè)全等的棱長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成），正方形是上底面正中間一個(gè)正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)______．四、解答題17．如圖，已知是四棱柱，底面是正方形，，且，設(shè).（1）試用表示；（2）已知為對(duì)角線的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).18．如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，E為中點(diǎn)，O為中點(diǎn)，.（1）證明：//平面；（2）異面直線與所成角的余弦值.19．如圖，在多面體中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，四邊形是矩形，平面平面，，為線段的中點(diǎn)．（1）求到平面的距離及三棱錐的體積；（2）求證：平面．20．如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是正方形，側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正三角形，且平面底面，為的中點(diǎn)．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值．21．如圖，四棱錐中，平面、底面為菱形，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）設(shè)，菱形的面積為，求二面角的余弦值.22．如圖，在四棱錐中，，，，，平面平面.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)第一章空間向量與立體幾何單元測(cè)試基礎(chǔ)卷(解析版)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】關(guān)于軸對(duì)稱，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)、豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)．【詳解】關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)、豎坐標(biāo)均互為相反數(shù)．所以點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查空間平面直角坐標(biāo)系，考查關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面對(duì)稱的問(wèn)題．屬于基礎(chǔ)題．2．如圖所示，在一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為2、3、4的密封的長(zhǎng)方體裝置中放一個(gè)單位正方體禮盒，現(xiàn)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則正確的是（）A．的坐標(biāo)為 B．的坐標(biāo)為C．的長(zhǎng)為 D．的長(zhǎng)為【答案】D【分析】根據(jù)坐標(biāo)系寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)分析即可.【詳解】由所建坐標(biāo)系可得：，，，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，考查空間中距離的求法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得中得為：，即.故選A.4．已知空間中三點(diǎn)，，，則（）A．與是共線向量B．的單位向量是C．與夾角的余弦值是D．平面的一個(gè)法向量是【答案】D【分析】根據(jù)向量的相關(guān)性質(zhì)判斷.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，，，所以，則與不是共線向量，所以A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，所以的單位向量為，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，向量，，所以，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)平面的法向量是，因?yàn)?，，所以，則，令，則平面的一個(gè)法向量為，所以D項(xiàng)正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查共線向量的判斷，單位向量的求法，夾角的求法，平面法向量的求法，屬于空間向量綜合題.5．兩平行平面，分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)，且兩平面的一個(gè)法向量，則兩平面間的距離是A． B． C． D．【答案】B【解析】?jī)善叫衅矫?，分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)，，且兩平面的一個(gè)法向量?jī)善矫骈g的距離，故選B.6．下圖是棱長(zhǎng)為2的正方體木塊的直觀圖，其中分別是，，的中點(diǎn)，平面過(guò)點(diǎn)且平行于平面，則該木塊在平面內(nèi)的正投影面積是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)題意平面可以平移至平面，即木塊在平面內(nèi)的正投影即可看成是在平面的正投影，根據(jù)投影的性質(zhì)可得投影為正六邊形，最后根據(jù)正六邊形面積公式可求出投影的面積．【詳解】解：根據(jù)題意可知平面過(guò)點(diǎn)且平行于平面PQF，則平面可以平移至平面，木塊在平面內(nèi)的正投影即可看成是在平面的正投影，根據(jù)投影的性質(zhì)可得投影為正六邊形如圖所示，因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為2，所以，則投影面內(nèi)正六邊形的邊長(zhǎng)為：根據(jù)正六邊形面積公式可得投影的面積為：故投影面積為：故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體和正投影得概念，考查面積公式是計(jì)算，考查空間想象力和推導(dǎo)能力，屬于難題．7．如圖，已知正方體棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)在棱上，且，在側(cè)面內(nèi)作邊長(zhǎng)為1的正方形，是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到平面距離等于線段的長(zhǎng)，則當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值是（）A．21 B．22 C．23 D．13【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)在內(nèi)可設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，作,連接,可得，作，根據(jù)空間中兩點(diǎn)間距離公式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的范圍.【詳解】根據(jù)題意,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

作交于M,連接，則作交于N，則即為點(diǎn)P到平面距離.設(shè),則∵點(diǎn)到平面距離等于線段的長(zhǎng)∴由兩點(diǎn)間距離公式可得，化簡(jiǎn)得,則解不等式可得綜上可得則在中所以（當(dāng)時(shí)取等）故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了空間直角坐標(biāo)系的綜合應(yīng)用，利用空間兩點(diǎn)間距離公式及二次函數(shù)求最值，屬于難題.8．如圖，四個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體排成一個(gè)正四棱柱，是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則集合中的元素個(gè)數(shù)（）

A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【分析】本題首先可根據(jù)圖像得出，然后將轉(zhuǎn)化為，最后根據(jù)棱長(zhǎng)為以及即可得出結(jié)果.【詳解】由圖像可知，，則，因?yàn)槔忾L(zhǎng)為，，所以，，故集合中的元素個(gè)數(shù)為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用平面向量線性運(yùn)算將所求向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為已知模長(zhǎng)的向量和有垂直關(guān)系向量的數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查集合中元素的性質(zhì)，是中檔題.二、多選題9．給出下列命題，其中正確的有（）A．空間任意三個(gè)向量都可以作為一組基底B．已知向量，則、與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底C．，，，是空間四點(diǎn)，若，，不能構(gòu)成空間的一組基底，則，，，共面D．已知是空間向量的一組基底，若，則也是空間一組基底【答案】BCD【分析】選項(xiàng)A、B中，根據(jù)空間基底的概念，可判斷；選項(xiàng)C中，可得共面，又由過(guò)相同點(diǎn)B，可得四點(diǎn)共面，由此可判斷；選項(xiàng)D中：基向量與向量一定不共面，由此可判斷．【詳解】選項(xiàng)A中，根據(jù)空間基底的概念，可得任意三個(gè)不共面的向量都可以作為一個(gè)空間基底，所以A不正確；選項(xiàng)B中，根據(jù)空間基底的概念，可得B正確；選項(xiàng)C中，由不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，可得共面，又由過(guò)相同點(diǎn)B，可得四點(diǎn)共面，所以C正確；選項(xiàng)D中：由是空間的一個(gè)基底，則基向量與向量一定不共面，所以可以構(gòu)成空間另一個(gè)基底，所以D正確．故選：BCD.10．已知為直線l的方向向量，，分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列選項(xiàng)中，正確的是（）A．∥?α∥β B．⊥?α⊥βC．∥?l∥α D．⊥?l∥α【答案】AB【分析】根據(jù)線面直線的位置關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】解：為直線l的方向向量，，分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），則∥?α∥β，⊥?α⊥β，∥?l⊥α，⊥?l∥α或l?α.因此AB正確.故選：AB.11．在長(zhǎng)方體中，，，，以為原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．異面直線與所成角的余弦值為C．平面的一個(gè)法向量為D．二面角的余弦值為【答案】ACD【分析】由向量法對(duì)每一選項(xiàng)進(jìn)行逐一計(jì)算驗(yàn)證，可得答案.【詳解】由題意可得,選項(xiàng)A:所以，則A正確.選項(xiàng)B:,,所以所以異面直線與所成角的余弦值為，則B不正確.選項(xiàng)C：設(shè)平面的一個(gè)法向量為由,，則所以，取，得，則C正確.選項(xiàng)D：由上可得平面的一個(gè)法向量為又平面的法向量為則所以二面角的余弦值為，則D正確.故選：ACD12．若長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4，是的中點(diǎn)，則（）A． B．平面平面C．三棱錐的體積為 D．三棱錐的外接球的表面積為【答案】CD【分析】以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算值即可判斷A；分別求出平面，平面的法向量，判斷它們的法向量是否共線，即可判斷B；利用等體積法，求出三棱錐的體積即可判斷C；三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，故求出長(zhǎng)方體的外接球的表面積即可判斷D.【詳解】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，，因?yàn)?，所以與不垂直，故A錯(cuò)誤；，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，得，所以，不妨取，則，所以，同理可得設(shè)平面的一個(gè)法向量為，故不存在實(shí)數(shù)使得，故平面與平面不平行，故B錯(cuò)誤；在長(zhǎng)方體中，平面，故是三棱錐的高，所以，故C正確；三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，故外接球的半徑，所以三棱錐的外接球的表面積，故D正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】本題主要考查用向量法判斷線線垂直、面面平行，等體積法的應(yīng)用及幾何體外接球的表面積.三、填空題13．若直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則______．【答案】【分析】由已知可知，直線的方向向量與平面的法向量平行，根據(jù)空間向量平行的充要條件可得到一個(gè)關(guān)于和的方程組，解方程組即可得到答案.【詳解】解：，直線的方向向量為，平面的法向量為，直線的方向向量與平面的法向量平行.則存在實(shí)數(shù)使，即，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量語(yǔ)言表述線面垂直，直線的方向向量與平面的法向量平行是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.14．若同方向的單位向量是________________【答案】【解析】試題分析：，與同方向的單位向量是考點(diǎn)：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算；15．如圖，在正四面體中，分別為的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，且，若，則的值為_(kāi)______．【答案】【分析】利用基向量表示,結(jié)合空間向量基本定理可得.【詳解】所以，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的基本定理，把目標(biāo)向量向基底向量靠攏是求解的主要思路.16．如圖所示的正方體是一個(gè)三階魔方(由27個(gè)全等的棱長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成），正方形是上底面正中間一個(gè)正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)______．【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出目標(biāo)的表達(dá)式，從而可得最小值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè),,.,.,當(dāng)且時(shí)，取到最小值，所以線段長(zhǎng)度的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的應(yīng)用，利用空間向量求解距離的最值問(wèn)題時(shí)，一般是把目標(biāo)式表示出來(lái)，結(jié)合目標(biāo)式的特征，選擇合適的方法求解最值.四、解答題17．如圖，已知是四棱柱，底面是正方形，，且，設(shè).（1）試用表示；（2）已知為對(duì)角線的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由可表示出來(lái)；（2）由可計(jì)算出.【詳解】（1）；（2）由題意知，，，，.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，考查利用向量計(jì)算長(zhǎng)度，屬于基礎(chǔ)題.18．如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，E為中點(diǎn)，O為中點(diǎn)，.（1）證明：//平面；（2）異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）【分析】（1）連接，得到O為中點(diǎn)，然后利用中位線定理，可得，根據(jù)線面平行的判定定理，可得結(jié)果.（2）通過(guò)建系，可得，然后利用向量的夾角公式，可得結(jié)果.【詳解】（1）證明：連接，則O為中點(diǎn)，又E為中點(diǎn)，∴//.∵平面，平面，∴//平面（2）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，∴，∴即異面直線與所成角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理以及建系通過(guò)利用向量的方法解決線線角，將幾何問(wèn)題用代數(shù)方法來(lái)解決，化繁為簡(jiǎn)，屬基礎(chǔ)題.19．如圖，在多面體中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，四邊形是矩形，平面平面，，為線段的中點(diǎn)．（1）求到平面的距離及三棱錐的體積；（2）求證：平面．【答案】（1）到平面的距離為，；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過(guò)且與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點(diǎn)到平面的距離，計(jì)算出的面積，利用錐體的體積公式可計(jì)算出三棱錐的體積；（2）利用向量法證明出，，可得出，，再利用線面垂直的判定定理可證得平面.【詳解】（1）設(shè)，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過(guò)且與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．易知軸在平面內(nèi)，且軸，則、、、，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，得，到平面的距離，又，因此，三棱錐的體積；（2）證明：由（1）易知，則，，，，，，，平面.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量法計(jì)算點(diǎn)到平面的距離、三棱錐體積的計(jì)算，同時(shí)也考查了利用空間向量法證明線面垂直，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.20．如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是正方形，側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正三角形，且平面底面，為的中點(diǎn)．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）；（2）.【分析】取的中點(diǎn)，連接，證明出平面，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在的直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系.（1）寫(xiě)出、的坐標(biāo)，利用空間向量法可求得異面直線與所成角的余弦值；（2）求得平面的一個(gè)法向量，并寫(xiě)出，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值．【詳解】取的中點(diǎn)，連接，為正三角形，為的中點(diǎn)，則．又平面平面，平面平面，平面，平面．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在的直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、.（1）設(shè)異面直線與所成的角為，為的中點(diǎn)，，，，，，，，因此，異面直線與所成角的余弦值為；（2）設(shè)直線與平面所成的角為，易知平面的一個(gè)法向量為，.因此，直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量法計(jì)算異面直線所成角的余弦值以及線面角的正弦值，考查計(jì)算能力，屬于中等題.21．如圖，四棱錐中，平面、底面為菱形，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）設(shè)，菱形的面積為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，則，利用線面平行的判定定理，即可得證；（2）根據(jù)題意，求得菱形的邊長(zhǎng)，取中點(diǎn)，可證，如圖建系，求得點(diǎn)坐標(biāo)及坐標(biāo)，即可求得平面的法向量，根據(jù)平面PAD，可求得面的法向量，利用空間向量