高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 14.1 幾何證明選講 理 蘇教版

14.1幾何證明選講解答題1．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，過點(diǎn)A的直線與其外接圓交于點(diǎn)P，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求AP·AD的值.解析：∵∠APC＋∠ABC＝180°，∠ACD＋∠ACB＝180°，又AB＝AC＝3，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠APC＝∠ACD.又∠CAP＝∠DAC，∴△APC∽△ACD.∴eq\f(AP,AC)＝eq\f(AC,AD)，AP·AD＝AC2＝9.2．自圓O外一點(diǎn)P引圓的一條切線PA，切點(diǎn)為A，M為PA的中點(diǎn)，過點(diǎn)M引圓O的割線交該圓于B、C兩點(diǎn)，且∠BMP＝100°，∠BPC＝40°，求∠MPB的大?。C明因?yàn)镸A為圓O的切線，所以MA2＝MB·MC.又M為PA的中點(diǎn)，所以MP2＝MB·MC.因?yàn)椤螧MP＝∠PMC，所△BMP∽△PMC.于是∠MPB＝∠MCP.在△MCP中，由∠MPB＋∠MCP＋∠BPC＋∠BMP＝180°，得∠MPB＝20°.3．如圖，⊙O的兩條弦AC，BD互相垂直，OE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，求證：OE＝eq\f(1,2)CD.證明作直徑AF，連接BF，CF，則∠ABF＝∠ACF＝90°.又OE⊥AB，O為AF的中點(diǎn)，則OE＝eq\f(1,2)BF.因?yàn)锳C⊥BD，所以∠DBC＋∠ACB＝90°.又因?yàn)锳F為直徑，所以∠BAF＋∠BFA＝90°.因?yàn)椤螦FB＝∠ACB，所以∠DBC＝∠BAF，即有CD＝BF.從而得OE＝eq\f(1,2)CD.4．如圖，已知P是⊙O外一點(diǎn)，PD為⊙O的切線，D為切點(diǎn)，割線PEF經(jīng)過圓心O，若PF＝12，PD＝4eq\r(3)，求∠EFD的度數(shù)．解析：由切割線定理得PD2＝PE·PF?PE＝eq\f(PD2,PF)＝eq\f(16×3,12)＝4?EF＝8，OD＝4.∵OD⊥PD，OD＝eq\f(1,2)PO，∴∠P＝30°.∵∠POD＝60°，∠EFD＝30°.5．如圖，過圓O外一點(diǎn)M作圓的切線，切點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作AP⊥OM于點(diǎn)P.(1)求證：OM·OP＝OA2；(2)N為線段AP上一點(diǎn)，直線NB垂直直線ON，且交圓O于點(diǎn)B，過點(diǎn)B的切線交直線ON于點(diǎn)K，求證：∠OKM＝90°.證明(1)因?yàn)镸A是圓O的切線，所以O(shè)A⊥AM.又AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理，得OA2＝OM·OP.(2)因?yàn)锽K是圓O的切線，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON·OK.又OB＝OA，所以O(shè)P·OM＝ON·OK，即eq\f(ON,OP)＝eq\f(OM,OK)，又∠NOP＝∠MOK，所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°.6．如圖，AB為圓O的切線，A為切點(diǎn)，過線段AB上一點(diǎn)C作圓O的割線CED(點(diǎn)E在點(diǎn)C、D之間)，若∠ABE＝∠BDE，求證：C為線段AB的中點(diǎn)．證明在△BCE和△DCB中，因?yàn)椤螧CE＝∠DCB，∠CBE＝∠CDB，所以△BCE∽△DCB.所以eq\f(BC,DC)＝eq\f(EC,BC)，即BC2＝EC·DC.因?yàn)橹本€AB、直線CED分別為⊙O的切線和割線，所以由切割線定理可知，CA2＝CE·CD.所以BC2＝CA2.所以BC＝CA，即C為線段AB的中點(diǎn)．7．如圖，已知圓上的弧Aeq\x\to(C)＝Beq\x\to(D)，過C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，證明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.證明(1)因?yàn)锳eq\x\to(C)＝Beq\x\to(D)，所以∠BCD＝∠ABC.又因?yàn)镋C與圓切于點(diǎn)C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因?yàn)椤螮CB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故eq\f(BC,BE)＝eq\f(CD,BC)，即BC2＝BE·CD.8．過圓O外一點(diǎn)A作圓O的兩條切線AT、AS，切點(diǎn)分別為T、S，過點(diǎn)A作圓O的割線APN，證明：eq\f(AT2,AN2)＝eq\f(PT·PS,NT·NS).證明AT是圓O的切線，∠ATP＝∠ANT，又∠TAP＝∠NAT，所以△ATP∽△ANT.所以eq\f(AT,AN)＝eq\f(PT,TN).同理eq\f(AS,AN)＝eq\f