初等數(shù)學(xué)-人民出版社-第四章講解市公開(kāi)課一等獎(jiǎng)省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

第四章

基本初等函數(shù)第1頁(yè)函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)和三角方程任意三角形解法第2頁(yè)初等函數(shù)初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)）經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次函數(shù)復(fù)合步驟所組成并可用一個(gè)式子表示函數(shù),稱為初等函數(shù).第3頁(yè)基本初等函數(shù)1、冪函數(shù)第4頁(yè)特征：第5頁(yè)2、指數(shù)函數(shù)特例：第6頁(yè)指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)(見(jiàn)下表)在R上是減函數(shù)(4)在R上是增函數(shù)(3)過(guò)點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1(2)值域(0，＋∞)(1)定義域：Ra>10<a<1性質(zhì)圖象第7頁(yè)第8頁(yè)3、對(duì)數(shù)函數(shù)第9頁(yè)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)

a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)過(guò)點(diǎn)(1，0)，即x＝1時(shí)，y＝0(4)在(0,+∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)第10頁(yè)1.對(duì)數(shù)恒等式叫做對(duì)數(shù)恒等式2.對(duì)數(shù)性質(zhì)

(1)負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)；(2)1對(duì)數(shù)是零，即loga1=0；(3)底對(duì)數(shù)等于1，即logaa=1第11頁(yè)4.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax互為反函數(shù)，所以y=logax圖象與y=ax圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.3.對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)

假如a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么第12頁(yè)5換底公式注意換底公式在對(duì)數(shù)運(yùn)算中作用：①公式順用和逆用；②由公式和運(yùn)算性質(zhì)推得結(jié)論作用.第13頁(yè)答案：0，－1/2，2第14頁(yè)例1.a,b,c>0,求證：第15頁(yè)21/5第16頁(yè)答案：1.(1/2，1)2..D1.若函數(shù)y＝(log(1/2)a)x在R上為減函數(shù)，則a∈______.2.如圖中曲線C1，C2，C3，C4分別是函數(shù)y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx圖象，則a，b，c，d與1大小關(guān)系是() (A)a＜b＜1＜c＜d

(B)a＜b＜1＜d＜c

(C)b＜a＜1＜c＜d

(D)b＜a＜1＜d＜c第17頁(yè)4.若loga2＜logb2＜0，則()(A)0＜a＜b＜1(B)0＜b＜a＜1(C)1＜b＜a(D)0＜b＜1＜a

B第18頁(yè)作業(yè)習(xí)題4.2(P99)1，2，3，4（更正），5第19頁(yè)4.3三角函數(shù)第20頁(yè)1.角概念推廣

全部與α角終邊相同角集合S={β|β＝α+k·360°，k∈Z}象限角。2.弧度制

任一個(gè)已知角α弧度數(shù)絕對(duì)值|α|＝l/r(l是弧長(zhǎng)，r是半徑)，1°＝π/180弧度，1rad=(180/π)°≈57.30°＝57°18′弧長(zhǎng)公式l=|α|r，扇形面積公式S＝1/2lr

基本概念第21頁(yè)3.任意角三角函數(shù)定義

設(shè)α是一任意角，角α終邊上任意一點(diǎn)P(x，y)，P與原點(diǎn)距離是r，則sinα=y/r，cosα=x/r，

tanα=y/x，cotα=x/y，secα=r/x，cscα=r/y.4.三角函數(shù)值符號(hào)sinα與cscα，一、二正，三、四負(fù)，cosα與secα，一、四正，二、三負(fù)，tanα與cotα,一、三正，二、四負(fù)

第22頁(yè)5.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式①倒數(shù)關(guān)系：sinαcscα＝1，cosαsecα＝1，tanαcotα＝1②商數(shù)關(guān)系：tanα=sinα/cosα，cotα＝cosα/sinα③平方關(guān)系：sin2α+cos2α＝1，1+tan2α=sec2α，1+cot2α=csc2α第23頁(yè)化簡(jiǎn)第24頁(yè)練習(xí)答案：0，1，a2+b2,2第25頁(yè)2.已知角α終邊過(guò)點(diǎn)P(-5，-12)，則cosα=_______，tanα=_______.-5/1312/5第26頁(yè)第27頁(yè)6.誘導(dǎo)公式

α+k·360°(k∈Z)，-α，180°±α，360°-α三角函數(shù)值，等于α同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值符號(hào).

n·90°±α(n∈Z)誘導(dǎo)公式滿足十字訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”7.兩角和與差正弦、余弦、正切公式

第28頁(yè)8.二倍角正弦、余弦、正切公式

第29頁(yè)9.半角正弦、余弦、正切公式

第30頁(yè)第31頁(yè)萬(wàn)能公式第32頁(yè)第33頁(yè)第34頁(yè)解：原式=

第35頁(yè)和與差三角公式第36頁(yè)例4，化簡(jiǎn)例5，化簡(jiǎn)第37頁(yè)倍角公式第38頁(yè)例7證實(shí)：第39頁(yè)例8.證實(shí)：對(duì)任一實(shí)數(shù)x有以下不等式成立第40頁(yè)2.若α是銳角，，則cosα值等于()

(A)(B)(C)(D)1.已知x∈(-π/2，0)，cosx=4/5，則tan2x=()(A)7/24(B)-7/24(C)24/7(D)-24/7DA第41頁(yè)第42頁(yè)第43頁(yè)正弦函數(shù)三角函數(shù)圖形及性質(zhì)第44頁(yè)余弦函數(shù)第45頁(yè)正弦函數(shù)

y=sinx定義域是R，值域是[-1,1]，在x=2kπ-π/2(k∈Z)時(shí)取最小值-1，在x=2kπ+π/2(k∈Z)時(shí)，取最大值1.余弦函數(shù)

y=cosx定義域是R，值域是[-1，1]，在x=2kπ(k∈Z)時(shí)，取最大值1，在x=2kπ+π(k∈Z)時(shí)，取最小值-1第46頁(yè)正切函數(shù)第47頁(yè)余切函數(shù)第48頁(yè)正切函數(shù)y=tanx定義域是(kπ-π/2，kπ+π/2)(k∈Z)，值域是R，無(wú)最值.

asinx+bcosx型函數(shù)(其中φ由確定，φ角所在象限是由點(diǎn)P(a,b)所在象限確定)第49頁(yè)1.單調(diào)性

(1)y=sinx單調(diào)增區(qū)間是[2kπ-π/2，2kπ+π/2](k∈Z)，減區(qū)間是[2kπ+π/2，2kπ+3π/2](k∈Z)(2)y=cosx單調(diào)增區(qū)間是[2kπ+π，2kπ+2π](k∈Z)，減區(qū)間是[2kπ，2kπ+π](k∈Z)

(3)y=tanx單調(diào)增區(qū)間是(kπ-π/2，kπ+π/2)(k∈Z)2.奇偶性

y=sinx,y=cosx,y=tanx在各自定義域上分別是奇函數(shù)、偶函數(shù)、奇函數(shù).第50頁(yè)3.周期性

(1)定義對(duì)于函數(shù)y=f(x)，假如存在一個(gè)不為零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個(gè)值時(shí)，f(x+T)=f(x)都成立，則y=f(x)叫周期函數(shù)，T叫這個(gè)函數(shù)周期

(2)全部周期中最小正數(shù)叫最小正周期(3)y＝sinx,y=cosx最小正周期T=2π；y=tanx,y=cotx最小正周期T=π(4)y=Asin(ωx+φ)+k周期為T=2π/ω(ω＞0)y=Atan(ωx+φ)+k周期為T=π/ω(ω＞0)第51頁(yè)第52頁(yè)三角函數(shù)圖象變換

①振幅變換：y=sinx→y=Asinx

將y=sinx圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)A倍(橫坐標(biāo)不變)；

②相位變換：y=Asinx→y=Asin(x+φ)

將y=Asinx圖象上全部點(diǎn)向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|個(gè)單位；

③周期變換：y=Asin(x+φ)→y=Asin(ωx+φ)將y=Asin(x+φ)圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)1/ω倍(縱坐標(biāo)不變).第53頁(yè)圖象對(duì)稱性

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)圖象含有軸對(duì)稱和中心對(duì)稱.詳細(xì)以下：

(1)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象關(guān)于直線x=xk(其中ωxk+φ=kπ+π/2，k∈Z)成軸對(duì)稱圖形.

(2)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象關(guān)于點(diǎn)(xj,0)(其中ωxj+φ=kπ,k∈Z)成中心對(duì)稱圖形.第54頁(yè)函數(shù)y=|tanx|·cosx(0≤x＜3π/2，且x≠π/2)圖象是()C第55頁(yè)則A

B＝0都是增函數(shù)，則x為第象限。三第56頁(yè)是奇函數(shù)，則D5.f(x)是以5為周期奇函數(shù)，－4第57頁(yè)第58頁(yè)個(gè)單位，將橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)1/2，則所得表示式為第59頁(yè)1.給出四個(gè)函數(shù):(A)y=cos(2x+π/6)

(B)y=sin(2x+π/6)(C)y=sin(x/2+π/6)(D)y=tan(x+π/6)則同時(shí)含有以下兩個(gè)性質(zhì)函數(shù)是()①最小正周期是π②圖象關(guān)于點(diǎn)(π/6，0)對(duì)稱.

A第60頁(yè)2.已知f(x)=sin(x+π/2)，g(x)=cos(x-π/2)，則以下結(jié)論中正確是()(A)函數(shù)y=f(x)·g(x)周期為2π(B)函數(shù)y=f(x)·g(x)最大值為1(C)將f(x)圖象向左平移π/2單位后得g(x)圖象(D)將f(x)圖象向右平移π/2單位后得g(x)圖象D第61頁(yè)1.判斷三角函數(shù)奇偶性，若不先關(guān)注定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，經(jīng)常會(huì)得犯錯(cuò)誤結(jié)論誤解分析2.對(duì)于形如y=2sin(π/3-2x)單調(diào)區(qū)間，常因?yàn)闆](méi)有注意到x系數(shù)為負(fù)，從而得出相反結(jié)論3.對(duì)于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)周期，假如說(shuō)是2π/ω，則沒(méi)有考慮ω正負(fù)第62頁(yè)4.由y=sinx作y=sin(2x+π/3)圖象，假如先把橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)1/2倍，得y=sin2x后再平移，應(yīng)向左平移π/6，切勿左移π/3.第63頁(yè)作業(yè)：習(xí)題4.31,2,3,4,5第64頁(yè)反三角函數(shù)4.4反三角函數(shù)與三角方程第65頁(yè)第66頁(yè)第67頁(yè)第68頁(yè)第69頁(yè)第70頁(yè)第71頁(yè)3練習(xí)第72頁(yè)作業(yè)：習(xí)題4.41，2，3，4第73頁(yè)三角方程

第74頁(yè)第75頁(yè)第76頁(yè)常見(jiàn)方程類型：1.化為同一類型函數(shù)第77頁(yè)2.第78頁(yè)3.齊次方程對(duì)只含正弦和余弦齊次三角函數(shù)，可在方程兩邊都除以余弦，化為只含正切函數(shù)三角方程求解。第79頁(yè)第80頁(yè)練習(xí)第81頁(yè)第82頁(yè)4.5任意三角形解法(其中R為△ABC外接圓半徑).第83頁(yè)三角形中一些結(jié)論：(不要求記憶)(1)tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1

(4)sin2A+si