33泰勒公式省公開課一等獎全國示范課微課金獎課件

二、幾個初等函數(shù)麥克勞林公式第三節(jié)一、泰勒公式建立三、泰勒公式應用—應用用多項式近似表示函數(shù)理論分析近似計算泰勒(Taylor)公式1第1頁簡單,多項式函數(shù)特點(1)易計算函數(shù)值;(2)導數(shù)與積分仍為多項式;(3)多項式由它系數(shù)完全確定,又由它在一點函數(shù)值及導數(shù)值確定.而其系數(shù)?用怎樣多項式去迫近給定函數(shù)誤差又怎樣呢?一、泰勒公式建立熟悉函數(shù)來近似代替復雜函數(shù).—應用用多項式近似表示函數(shù)理論分析近似計算2第2頁nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010-++-+-+=L3第3頁（以下列圖）以直代曲4第4頁以直代曲5第5頁需要處理問題怎樣提升精度?怎樣預計誤差?問題(1)

系數(shù)怎么定?(2)

誤差(怎樣預計)表示式是什么?不足1.準確度不高；2.誤差不能定量預計.希望一次多項式用適當高次多項式nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010-++-+-+=L)(xf?6第6頁分析:2.若有相同切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點相交7第7頁得假設同理代入中得nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010-++-+-+=L8第8頁二、泰勒(Taylor)中值定理9第9頁證實:10第10頁11第11頁12第12頁拉格朗日型余項帶有拉格朗日型余項.次近似多項式n13第13頁皮亞諾型余項當對余項要求不高時,帶有皮亞諾型余項可用皮亞諾型余項1858-1932)皮亞諾(Peano,G.(意),),(時若bax?Mxfn<+|)(|)1(14第14頁注1.泰勒公式就是拉格朗日中值公式.2.在泰勒公式中,這時泰勒公式,即按x冪(在零點)展開泰勒公式稱為:n階泰勒公式麥克勞林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式15第15頁麥克勞林(Maclaurin)公式近似公式帶有拉格朗日型余項帶有皮亞諾型余項16第16頁解代入上公式,得于是有近似表示公式二、幾個初等函數(shù)麥克勞林公式例麥克勞林公式.麥克勞林(Maclaurin)公式17第17頁預計誤差其誤差其誤差18第18頁解例因為所以19第19頁泰勒多項式迫近xysin=20第20頁21第21頁22第22頁23第23頁24第24頁25第25頁26第26頁27第27頁28第28頁29第29頁30第30頁31第31頁32第32頁33第33頁34第34頁35第35頁36第36頁37第37頁38第38頁39第39頁40第40頁慣用函數(shù)麥克勞林公式記!41第41頁42第42頁例

解用間接展開方法較簡便.兩端同乘x,得

帶拉格朗日型余項公式展開問題注普通不能用這種方法.43第43頁解因為分母是4階無窮小,所以只要將函數(shù)展開到4階無窮小項就足以定出所給極限了.慣用函數(shù)泰勒展開求例

型未定式44第44頁例3.

證實證:公式見書本142頁45第45頁小結多項式局部迫近.了解泰勒(Taylor)公式在近似計算中應用.泰勒(Taylor)公式數(shù)學思想熟記慣用函數(shù)麥克勞林公式;練習P1431;4;5;7;10(1),(2)46第46頁思索題利用泰勒公式求極限47第47頁思索題解答48第48頁兩邊同乘n!=整數(shù)+假設e

為有理數(shù)(p,q

為正整數(shù)),則當

時,等式左邊為整數(shù);矛盾!補充：證實

e

為無理數(shù)

.

證:時,當故e

為無理數(shù).等式右邊不可能為整數(shù).49第49頁泰勒

(BrookTaylor

1685–1731)英國數(shù)學家,他早期是牛頓學派最優(yōu)異代表人物之一,主要著作有:《正和反增量方法》(1715)《線性透視論》(1719)他在1712年就得到了當代形式泰勒公式.他是有限差分理論奠基人.50第50頁麥克勞