廣西南寧市2024屆高三3月第一次適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題含答案解析

南寧市2024屆普通高中畢業(yè)班第一次適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，若，（i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.2.已知集合，若，則所有的取值構(gòu)成的集合為（）A. B. C. D.3.已知數(shù)列的首項(xiàng)（其中且），當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.無法確定4.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A.60 B.4 C. D.5.已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.6.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，與其左支交于點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)不在同一象限，直線與直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的交點(diǎn)在雙曲線上，若，則文曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.37.在邊長為4的菱形中，．將菱形沿對(duì)角線折疊成大小為的二面角．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，為三棱錐表面上的動(dòng)點(diǎn)，且總滿足，則點(diǎn)軌跡的長度為（）A B. C. D.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，則（）A. B.是偶函數(shù) C.是增函數(shù) D.是周期函數(shù)二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列說法中，正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為12B.若樣本數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為2C.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則D.在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，零假設(shè)為：分類變量和獨(dú)立．基于小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)時(shí)，我們就推斷不成立，即認(rèn)為和不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；當(dāng)時(shí)，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為和獨(dú)立10.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為110米，轉(zhuǎn)盤直徑為100米，摩天輪的圓周上均勻地安裝了36個(gè)座艙，游客甲從距離地面最近的位置進(jìn)艙，開啟后摩天輪按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，開始轉(zhuǎn)動(dòng)t分鐘后距離地面的高度為H米，當(dāng)時(shí)，游客甲隨艙第一次轉(zhuǎn)至距離地面最遠(yuǎn)處．如圖，以摩天輪的軸心O為原點(diǎn)，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則，下列說法中正確的是（）A.關(guān)于的函數(shù)是偶函數(shù)B.若在時(shí)刻，游客甲距離地面的高度相等，則的最小值為30C.摩天輪旋轉(zhuǎn)一周的過程中，游客甲距離地面的高度不低于85米的時(shí)長為10分鐘D.若甲、乙兩游客分別坐在兩個(gè)座艙里，且兩人相隔5個(gè)座艙（將座艙視為圓周上的點(diǎn)），則劣弧的弧長米11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過作兩條互相垂直的直線，與交于、Q兩點(diǎn)，與交于、N兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.的最小值為18C.直線過定點(diǎn) D.的面積的最小值為4三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱的表面積之比為________.13.已知，則______．14.已知函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.有兩個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球；2號(hào)盒子中有4個(gè)紅球，6個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.（1）先等可能地選擇一個(gè)盒子，再從此盒中摸出2個(gè)球．若摸出球的結(jié)果是一紅一白，求這2個(gè)球出自1號(hào)盒子的概率；（2）如果從兩個(gè)盒子中摸出3個(gè)球，其中從1號(hào)盒子摸1個(gè)球，從2號(hào)盒子摸兩個(gè)球，規(guī)定摸到紅球得2分，摸到白球得1分，用表示這3個(gè)球的得分之和，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.16.如圖，四棱柱的底面是棱長為2的菱形，對(duì)角線與交于點(diǎn)為銳角，且四棱錐的體積為2.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.17.已知函數(shù)．（1）若直線與函數(shù)和均相切，試討論直線的條數(shù)；（2）設(shè)，求證：．18.已知點(diǎn)和圓為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線與線段相交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）已知點(diǎn)，若曲線與軸的左、右交點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線相交于點(diǎn)，問：是否存在一點(diǎn)，使得取得最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．19.若無窮數(shù)列滿足，則稱數(shù)列數(shù)列，若數(shù)列同時(shí)滿足，則稱數(shù)列為數(shù)列．（1）若數(shù)列為數(shù)列，，證明：當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列充要條件是；（2）若數(shù)列為數(shù)列，，記，且對(duì)任意，都有，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

南寧市2024屆普通高中畢業(yè)班第一次適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，若，（i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可求解.【詳解】由可得，結(jié)合故，故選：D2.已知集合，若，則所有的取值構(gòu)成的集合為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)子集的概念求得參數(shù)的值可得．【詳解】時(shí)，滿足題意，時(shí)，得，所以或，或，所求集合為．故選：D．3.已知數(shù)列的首項(xiàng)（其中且），當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.無法確定【答案】B【解析】【分析】逐項(xiàng)計(jì)算得出數(shù)列的周期進(jìn)而可得.【詳解】，，，，故數(shù)列的周期為3.故.故選：B4.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A.60 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分配律，結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)特征即可求解.【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令，求得，令，求得，由于，故其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為故選：C5.已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，得到點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，得出為直角三角形，且為等邊三角形，進(jìn)而求得向量在向量上的投影向量.【詳解】由，可得，所以，即點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，又因?yàn)榈耐饨訄A圓心為，所以為直角三角形，所以因?yàn)?，可得，所以為等邊三角形，故點(diǎn)作，可得，所以，因?yàn)橄蛄吭谙蛄客?，所以向量在向量上的投影向量?故選；A.6.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，與其左支交于點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)不在同一象限，直線與直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的交點(diǎn)在雙曲線上，若，則文曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱性可判斷四邊形為平行四邊形，即可利用相似求解.【詳解】設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，由于直線與直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的交點(diǎn)在雙曲線上，所以與關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,又是的中點(diǎn)，故四邊形為平行四邊形，故故，，故，故選：B7.在邊長為4的菱形中，．將菱形沿對(duì)角線折疊成大小為的二面角．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，為三棱錐表面上的動(dòng)點(diǎn)，且總滿足，則點(diǎn)軌跡的長度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二面角的平面角可結(jié)合余弦定理求解求，進(jìn)而利用線面垂直可判斷點(diǎn)軌跡為，求解周長即可．【詳解】連接、，交于點(diǎn)，連接，為菱形，，所以，，，所以為二面角的平面角，于是，又因，所以，取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接、、，所以、，所以、，，相交，所以平面，所以在三棱錐表面上，滿足的點(diǎn)軌跡為，因?yàn)椋?，，所以的周長為，所以點(diǎn)軌跡的長度為．故選：A．8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，則（）A. B.是偶函數(shù) C.是增函數(shù) D.是周期函數(shù)【答案】C【解析】【分析】對(duì)A，令求解即可；對(duì)B，令化簡可得即可；對(duì)C，設(shè)，結(jié)合題意判斷判斷即可；對(duì)D，根據(jù)是增函數(shù)判斷即可.【詳解】對(duì)A，令，則，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，令，得，由整理可得，將變換為，則，故，故，故是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，設(shè)，則，且，故，則.又，是奇函數(shù)，故是增函數(shù)，故C正確；對(duì)D，由是增函數(shù)可得不是周期函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列說法中，正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為12B.若樣本數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為2C.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則D.在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，零假設(shè)為：分類變量和獨(dú)立．基于小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)時(shí)，我們就推斷不成立，即認(rèn)為和不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；當(dāng)時(shí)，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為和獨(dú)立【答案】BC【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可；對(duì)B，根據(jù)方差的公式推導(dǎo)數(shù)據(jù)的方差與的方差關(guān)系求解即可；對(duì)C，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性推導(dǎo)即可；對(duì)D，由獨(dú)立性檢驗(yàn)的性質(zhì)判斷即可.詳解】對(duì)A，由于共10個(gè)數(shù)據(jù)，且，故第40百分位數(shù)為第4，5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，設(shè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，所以，故B正確；對(duì)C，則，即，由正態(tài)分布的性質(zhì)可得，故C正確；對(duì)D，在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，零假設(shè)為：分類變量和獨(dú)立．基于小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)時(shí)，我們就推斷不成立，即認(rèn)為和不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；當(dāng)時(shí)，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為和獨(dú)立.故D錯(cuò)誤.故選：BC10.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為110米，轉(zhuǎn)盤直徑為100米，摩天輪的圓周上均勻地安裝了36個(gè)座艙，游客甲從距離地面最近的位置進(jìn)艙，開啟后摩天輪按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，開始轉(zhuǎn)動(dòng)t分鐘后距離地面的高度為H米，當(dāng)時(shí)，游客甲隨艙第一次轉(zhuǎn)至距離地面最遠(yuǎn)處．如圖，以摩天輪的軸心O為原點(diǎn)，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則，下列說法中正確的是（）A.關(guān)于的函數(shù)是偶函數(shù)B.若在時(shí)刻，游客甲距離地面的高度相等，則的最小值為30C.摩天輪旋轉(zhuǎn)一周的過程中，游客甲距離地面的高度不低于85米的時(shí)長為10分鐘D.若甲、乙兩游客分別坐在兩個(gè)座艙里，且兩人相隔5個(gè)座艙（將座艙視為圓周上的點(diǎn)），則劣弧的弧長米【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)A，先根據(jù)題意確定各參數(shù)的值，再根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性判斷即可；對(duì)B，根據(jù)代入解析式可得，或，進(jìn)而可判斷；對(duì)C，求解即可；對(duì)D，由題意每個(gè)座艙與中心連線所成的扇形的圓心角為，進(jìn)而可得劣弧的弧長.【詳解】對(duì)A，由題意，，所以，當(dāng)時(shí)，可得，所以，故，所以是非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由題意，即，即，所以，或，，即或，，故B正確；對(duì)C，由題意，即，即，所以，，解得.所以摩天輪旋轉(zhuǎn)一周的過程中，游客甲距離地面的高度不低于85米的時(shí)長為10分鐘，故C正確；對(duì)D，因?yàn)槟μ燧喌膱A周上均勻地安裝著36個(gè)座艙，故每個(gè)座艙與中心連線所成的扇形的圓心角為，因?yàn)閮蓚€(gè)座艙相隔5個(gè)座艙，所以劣弧對(duì)應(yīng)的圓心角是，故（m）.故D正確.故選：BCD11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過作兩條互相垂直的直線，與交于、Q兩點(diǎn)，與交于、N兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.的最小值為18C.直線過定點(diǎn) D.的面積的最小值為4【答案】AD【解析】【分析】設(shè)直線和的方程，與拋物線方程聯(lián)立，再利用焦半徑公式求解弦長，結(jié)合基本不等式判斷AB，利用兩點(diǎn)求出直線方程，求解直線恒過定點(diǎn)判斷C，將面積分割，結(jié)合韋達(dá)定理，再利用基本不等式求解最值判斷D.【詳解】對(duì)于A，由題意得，設(shè)直線方程為，則方程為，，，，，聯(lián)立直線方程與拋物線方程得.則，，同理，，又，所以，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，由A知，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由A知，，所以直線GH：，令得，所以直線GH恒過定點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C知直線GH恒過定點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故D正確；故選：AD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：1.直線與圓錐曲線相交問題時(shí)，有時(shí)需要考查斜率不存在和存在兩種情況，斜率存在的情況經(jīng)常和曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決幾何問題；2.一般涉及三角形面積問題時(shí)，采用面積分割法，結(jié)合韋達(dá)定理，利用基本不等式法求解范圍或最值.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱的表面積之比為________.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式，求出圓柱的表面積，再由球的表面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.∴，，∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查圓柱和球的表面積，屬于基礎(chǔ)題.13.已知，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系結(jié)合兩角差的正弦值可得，進(jìn)而可得.【詳解】由題意，，且，故.故.故，.故答案為：14.已知函數(shù)最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)a的符號(hào)分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性研究函數(shù)最值即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，若，則時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，滿足題意；若，則當(dāng)無限趨近于負(fù)無窮大時(shí)，無限趨向于負(fù)無窮大，沒有最小值，不符合題意；綜上，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.有兩個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球；2號(hào)盒子中有4個(gè)紅球，6個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.（1）先等可能地選擇一個(gè)盒子，再從此盒中摸出2個(gè)球．若摸出球的結(jié)果是一紅一白，求這2個(gè)球出自1號(hào)盒子的概率；（2）如果從兩個(gè)盒子中摸出3個(gè)球，其中從1號(hào)盒子摸1個(gè)球，從2號(hào)盒子摸兩個(gè)球，規(guī)定摸到紅球得2分，摸到白球得1分，用表示這3個(gè)球的得分之和，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望是【解析】【分析】（1）應(yīng)用條件概率公式及貝葉斯概率公式求解即可；（2）由題設(shè)的可能值為3，4，5，6，并計(jì)算出對(duì)應(yīng)概率即得分布列，進(jìn)而求數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】記“摸出球的結(jié)果是一紅一白”為事件A，“選擇1號(hào)盒子”為事件，“選擇2號(hào)盒子”為事件，則，，，由貝葉斯公式，若摸球的結(jié)果是一紅一白，出自1號(hào)盒子的概率為.【小問2詳解】由題意，的可能值為3，4，5，6.，，，.所以的分布列為3456所以.16.如圖，四棱柱的底面是棱長為2的菱形，對(duì)角線與交于點(diǎn)為銳角，且四棱錐的體積為2.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先利用體積分割及等體積法求得四棱柱的高為，過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，利用三角形全等證明點(diǎn)與重合，即可證明線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解線面角的正弦值.【小問1詳解】設(shè)四棱柱的高為，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以，所以，所以，且，所以，即四棱柱的高?因?yàn)闉檎切?，所以，因?yàn)?，所以，于是，過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，所以，所以，從而，故，所以點(diǎn)在對(duì)角線上.因?yàn)椋?，故點(diǎn)為對(duì)角線與交點(diǎn)，即點(diǎn)與重合，所以平面.【小問2詳解】因?yàn)榈酌媸抢忾L為2的菱形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，，即兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，由得，由得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，所以，令，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知函數(shù)．（1）若直線與函數(shù)和均相切，試討論直線的條數(shù)；（2）設(shè)，求證：．【答案】（1）2條（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分別求解和的切線方程，進(jìn)而可得，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷根的個(gè)數(shù)即可求解，（2）通過換元以及指對(duì)互化，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求證.【小問1詳解】設(shè)直線與函數(shù)和分別相切于，由可得，直線方程為以及，故，進(jìn)而，令，記，當(dāng)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，又，故存在唯一的，故當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，，又，因此存在兩個(gè)零點(diǎn)，故直線的條數(shù)為2條.【小問2詳解】令則，由，由于故，令，則，故，故記，記，所以在單調(diào)遞減，故，故，在單調(diào)遞減，故，所以即，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).18.已知點(diǎn)和圓為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線與線段相交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）已知點(diǎn)，若曲線與軸的左、右交點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線相交于點(diǎn)，問：是否存在一點(diǎn)，使得取得最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）存在點(diǎn)使得取得最小值,且最小值為，【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程可得韋達(dá)定理，進(jìn)而可得，求解的直線方程，聯(lián)立可得點(diǎn)在定直線上，進(jìn)而根據(jù)對(duì)稱性即可求解.【小問1詳解】由題意可得,所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，故，故軌跡方程為【小問2詳解】存在點(diǎn)使得取得最小值,且最小值為，由題意可知直線的斜率不為0，故設(shè)直線方