廣東省汕頭市潮陽區(qū)高中2021-2022學年高三第一次模擬考試數學試卷含解析

2021-2022高考數學模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知實數，，函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．2．下列函數中，在區(qū)間上為減函數的是（）A． B． C． D．3．將函數的圖象沿軸向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，則“”是“是偶函數”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（）A．2 B．3 C． D．5．設a=log73，，c=30.7，則a，b，c的大小關系是（）A． B． C． D．6．一個四面體所有棱長都是4，四個頂點在同一個球上，則球的表面積為（）A． B． C． D．7．關于圓周率，數學發(fā)展史上出現過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā)，某同學通過下面的隨機模擬方法來估計的值：先用計算機產生個數對，其中，都是區(qū)間上的均勻隨機數，再統(tǒng)計，能與構成銳角三角形三邊長的數對的個數﹔最后根據統(tǒng)計數來估計的值.若，則的估計值為（）A． B． C． D．8．已知△ABC中，．點P為BC邊上的動點，則的最小值為（）A．2 B． C． D．9．已知集合,則（）A． B． C． D．10．若點是角的終邊上一點，則（）A． B． C． D．11．已知雙曲線的漸近線方程為，且其右焦點為，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．12．已知函數滿足：當時，，且對任意，都有，則（）A．0 B．1 C．-1 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．記Sk＝1k+2k+3k+……+nk，當k＝1，2，3，……時，觀察下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4n3n2，……S5＝An6n5n4+Bn2，…可以推測，A﹣B＝_____．14．三所學校舉行高三聯(lián)考，三所學校參加聯(lián)考的人數分別為160，240，400，為調查聯(lián)考數學學科的成績，現采用分層抽樣的方法在這三所學校中抽取樣本，若在學校抽取的數學成績的份數為30，則抽取的樣本容量為____________.15．已知函數有且只有一個零點，則實數的取值范圍為__________.16．已知雙曲線的左右焦點為，過作軸的垂線與相交于兩點，與軸相交于.若，則雙曲線的離心率為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列的各項都為正數，，且．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）設，其中表示不超過x的最大整數，如，，求數列的前2020項和．18．（12分）在直角坐標系中，直線l過點，且傾斜角為，以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．求直線l的參數方程和曲線C的直角坐標方程，并判斷曲線C是什么曲線；設直線l與曲線C相交與M，N兩點，當，求的值．19．（12分）在直角坐標系中，直線的參數方程為為參數)，直線的參數方程(為參數)，若直線的交點為，當變化時，點的軌跡是曲線（1）求曲線的普通方程；（2）以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，設射線的極坐標方程為，，點為射線與曲線的交點，求點的極徑.20．（12分）已知函數.（1）當時，解關于的不等式；（2）若對任意，都存在，使得不等式成立，求實數的取值范圍.21．（12分）設點，分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點，且的最小值為1．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，動直線與橢圓有且僅有一個公共點，點，是直線上的兩點，且，，求四邊形面積的最大值．22．（10分）在銳角中，分別是角的對邊，，，且．（1）求角的大??；（2）求函數的值域．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

根據題意，對于函數分2段分析：當，由指數函數的性質分析可得①，當，由導數與函數單調性的關系可得，在上恒成立，變形可得②，再結合函數的單調性，分析可得③，聯(lián)立三個式子，分析可得答案.【詳解】解：根據題意，函數在上單調遞增，

當，若為增函數，則①，

當，若為增函數，必有在上恒成立，

變形可得：，

又由，可得在上單調遞減，則，

若在上恒成立，則有②，

若函數在上單調遞增，左邊一段函數的最大值不能大于右邊一段函數的最小值，則需有，③

聯(lián)立①②③可得：.

故選：D.【點睛】本題考查函數單調性的性質以及應用，注意分段函數單調性的性質.2．C【解析】

利用基本初等函數的單調性判斷各選項中函數在區(qū)間上的單調性，進而可得出結果.【詳解】對于A選項，函數在區(qū)間上為增函數；對于B選項，函數在區(qū)間上為增函數；對于C選項，函數在區(qū)間上為減函數；對于D選項，函數在區(qū)間上為增函數.故選：C.【點睛】本題考查函數在區(qū)間上單調性的判斷，熟悉一些常見的基本初等函數的單調性是判斷的關鍵，屬于基礎題.3．A【解析】

求出函數的解析式，由函數為偶函數得出的表達式，然后利用充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】將函數的圖象沿軸向左平移個單位長度，得到的圖象對應函數的解析式為，若函數為偶函數，則，解得，當時，.因此，“”是“是偶函數”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，同時也考查了利用圖象變換求三角函數解析式以及利用三角函數的奇偶性求參數，考查運算求解能力與推理能力，屬于中等題.4．B【解析】

運行程序，依次進行循環(huán),結合判斷框，可得輸出值.【詳解】起始階段有，，第一次循環(huán)后，，第二次循環(huán)后，，第三次循環(huán)后，，第四次循環(huán)后，，所有后面的循環(huán)具有周期性，周期為3，當時，再次循環(huán)輸出的,，此時，循環(huán)結束，輸出，故選：B【點睛】本題主要考查程序框圖的相關知識，經過幾次循環(huán)找出規(guī)律是關鍵，屬于基礎題型.5．D【解析】

，，得解．【詳解】，，，所以，故選D【點睛】比較不同數的大小，找中間量作比較是一種常見的方法．6．A【解析】

將正四面體補成正方體，通過正方體的對角線與球的半徑關系，求解即可．【詳解】解：如圖，將正四面體補形成一個正方體，正四面體的外接球與正方體的外接球相同，∵四面體所有棱長都是4，∴正方體的棱長為，設球的半徑為，則，解得，所以，故選：A．【點睛】本題主要考查多面體外接球問題，解決本題的關鍵在于，巧妙構造正方體，利用正方體的外接球的直徑為正方體的對角線，從而將問題巧妙轉化，屬于中檔題．7．B【解析】

先利用幾何概型的概率計算公式算出，能與構成銳角三角形三邊長的概率，然后再利用隨機模擬方法得到，能與構成銳角三角形三邊長的概率，二者概率相等即可估計出.【詳解】因為，都是區(qū)間上的均勻隨機數，所以有，，若，能與構成銳角三角形三邊長，則，由幾何概型的概率計算公式知，所以.故選：B.【點睛】本題考查幾何概型的概率計算公式及運用隨機數模擬法估計概率，考查學生的基本計算能力，是一個中檔題.8．D【解析】

以BC的中點為坐標原點，建立直角坐標系，可得，設，運用向量的坐標表示，求得點A的軌跡，進而得到關于a的二次函數，可得最小值．【詳解】以BC的中點為坐標原點，建立如圖的直角坐標系，可得，設，由，可得，即，則，當時，的最小值為．故選D．【點睛】本題考查向量數量積的坐標表示，考查轉化思想和二次函數的值域解法，考查運算能力，屬于中檔題．9．B【解析】

計算，再計算交集得到答案【詳解】,表示偶數，故.故選：.【點睛】本題考查了集合的交集，意在考查學生的計算能力.10．A【解析】

根據三角函數的定義，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解.【詳解】由題意，點是角的終邊上一點，根據三角函數的定義，可得，則，故選A.【點睛】本題主要考查了三角函數的定義和正弦的倍角公式的化簡、求值，其中解答中根據三角函數的定義和正弦的倍角公式，準確化簡、計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.11．B【解析】試題分析：由題意得，，所以，，所求雙曲線方程為．考點：雙曲線方程.12．C【解析】

由題意可知，代入函數表達式即可得解.【詳解】由可知函數是周期為4的函數，.故選：C.【點睛】本題考查了分段函數和函數周期的應用，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

觀察知各等式右邊各項的系數和為1，最高次項的系數為該項次數的倒數，據此計算得到答案.【詳解】根據所給的已知等式得到：各等式右邊各項的系數和為1，最高次項的系數為該項次數的倒數，∴A，A1，解得B，所以A﹣B．故答案為：．【點睛】本題考查了歸納推理，意在考查學生的推理能力.14．【解析】

某層抽取的人數等于該層的總人數乘以抽樣比.【詳解】設抽取的樣本容量為x，由已知，，解得.故答案為：【點睛】本題考查隨機抽樣中的分層抽樣，考查學生基本的運算能力，是一道容易題.15．【解析】

當時，轉化條件得有唯一實數根，令，通過求導得到的單調性后數形結合即可得解.【詳解】當時，，故不是函數的零點；當時，即，令，，，當時，；當時，，的單調減區(qū)間為，增區(qū)間為，又，可作出的草圖，如圖：則要使有唯一實數根，則.故答案為：.【點睛】本題考查了導數的應用，考查了轉化化歸思想和數形結合思想，屬于難題.16．【解析】

由已知可得，結合雙曲線的定義可知，結合，從而可求出離心率.【詳解】解：,，又，則.，，，即解得，即.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線的定義，考查了雙曲線的性質.本題的關鍵是根據幾何關系，分析出.關于圓錐曲線的問題，一般如果能結合幾何性質，可大大減少計算量.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）；（Ⅱ）4953【解析】

（Ⅰ）遞推公式變形為，由數列是正項數列，得到，根據數列是等比數列求通項公式；（Ⅱ），根據新定義和對數的運算分類討論數列的通項公式，并求前2020項和．【詳解】（Ⅰ）∵，∴，∴又∵數列的各項都為正數，∴，即．∴數列是以2為首項，2為公比的等比數列，∴．（Ⅱ）∵，∴，．∴數列的前2020項的和為．【點睛】本題考查根據數列的遞推公式求通項公式和數列的前項和，意在考查轉化與化歸的思想，計算能力，屬于中檔題型.18．(Ⅰ)曲線是焦點在軸上的橢圓；(Ⅱ)．【解析】試題分析：（1）由題易知，直線的參數方程為，（為參數），；曲線的直角坐標方程為，橢圓；（2）將直線代入橢圓得到，所以，解得．試題解析：(Ⅰ)直線的參數方程為.曲線的直角坐標方程為，即，所以曲線是焦點在軸上的橢圓.(Ⅱ)將的參數方程代入曲線的直角坐標方程為得，，得，，19．（1）；（2）【解析】

（1）將兩直線化為普通方程，消去參數，即可求出曲線的普通方程；（2）設Q點的直角坐標系坐標為,求出，代入曲線C可求解.【詳解】（1）直線的普通方程為,直線的普通方程為聯(lián)立直線,方程消去參數k,得曲線C的普通方程為整理得.（2）設Q點的直角坐標系坐標為,由可得代入曲線C的方程可得，解得（舍），所以點的極徑為.【點睛】本題主要考查了直線的參數方程化為普通方程，普通方程化為極坐標方程，極徑的求法，屬于中檔題.20．（1）；（2）.【解析】

（1）分類討論去絕對值號，然后解不等式即可.（2）因為對任意，都存在，使得不等式成立，等價于，根據絕對值不等式易求，根據二次函數易求，然后解不等式即可.【詳解】解：（1）當時，，則當時，由得，，解得；當時，恒成立；當時，由得，，解得.所以的解集為（2）對任意，都存在，得成立，等價于.因為，所以，且|，①當時，①式等號成立，即.又因為，②當時，②式等號成立，即.所以，即即的取值范圍為：.【點睛】知識：考查含兩個絕對值號的不等式的解法；恒成立問題和存在性問題求參變數的范圍問題；能力：分析問題和解決問題的能力以及運算求解能力；中檔題.21．（1）；（2）2.【解析】

（1）利用的最小值為1，可得，，即可求橢圓的方程；（2）將直線的方程代入橢圓的方程中，得到關于的一元二次方程，由直線與橢圓僅有一個公共點知，即可得到，的關系式，利用點到直線的距離公式即可得到，．當時，設直線的傾斜角為，則，即可得到四邊形面積的表達式，利用基本不等式的性質，結合當時，四邊形是矩形，即可得出的最大值．【詳解】（1）設，則，，，，由題意得，，橢圓的方程為；

（2）將直線的方程代入橢圓的方程中，得．

由直線與橢圓僅有一個公共點知，，化簡得：．

設，，當時，設直線的傾斜角為，則，，，，∴當時，，，．當時，四邊形是矩形，．

所以四邊形面積的最大值為2．【點睛】本題主要考查橢圓的方程與性質、直線方程、直線與橢圓的位置關系、向量知識、二次函數的單調性、基本不等式的性質等基礎知識，考查運算