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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度,再將圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的6倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖像,若為奇函數(shù),則的最小值為()A. B. C. D.2.如圖,四邊形為平行四邊形,為中點(diǎn),為的三等分點(diǎn)(靠近)若,則的值為()A. B. C. D.3.函數(shù)(且)的圖象可能為()A. B. C. D.4.用電腦每次可以從區(qū)間內(nèi)自動生成一個(gè)實(shí)數(shù),且每次生成每個(gè)實(shí)數(shù)都是等可能性的.若用該電腦連續(xù)生成3個(gè)實(shí)數(shù),則這3個(gè)實(shí)數(shù)都小于的概率為()A. B. C. D.5.己知函數(shù)若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有2對,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.如圖所示的莖葉圖為高三某班名學(xué)生的化學(xué)考試成績,算法框圖中輸入的,,,,為莖葉圖中的學(xué)生成績,則輸出的,分別是()A., B.,C., D.,7.若非零實(shí)數(shù)、滿足,則下列式子一定正確的是()A. B.C. D.8.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有蒲生一日,長三尺莞生一日,長一尺蒲生日自半,莞生日自倍.問幾何日而長倍?”意思是:“今有蒲草第天長高尺,蕪草第天長高尺以后,蒲草每天長高前一天的一半,蕪草每天長高前一天的倍.問第幾天莞草是蒲草的二倍?”你認(rèn)為莞草是蒲草的二倍長所需要的天數(shù)是()(結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù),相關(guān)數(shù)據(jù):,)A. B. C. D.9.對于正在培育的一顆種子,它可能1天后發(fā)芽,也可能2天后發(fā)芽,….下表是20顆不同種子發(fā)芽前所需培育的天數(shù)統(tǒng)計(jì)表,則這組種子發(fā)芽所需培育的天數(shù)的中位數(shù)是()發(fā)芽所需天數(shù)1234567種子數(shù)43352210A.2 B.3 C.3.5 D.410.集合,,則()A. B. C. D.11.某程序框圖如圖所示,若輸出的,則判斷框內(nèi)為()A. B. C. D.12.已知拋物線的焦點(diǎn)為,為拋物線上一點(diǎn),,當(dāng)周長最小時(shí),所在直線的斜率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,,則__________.14.如圖,在△ABC中,AB=4,D是AB的中點(diǎn),E在邊AC上,AE=2EC,CD與BE交于點(diǎn)O,若OB=OC,則△ABC面積的最大值為_______.15.已知角的終邊過點(diǎn),則______.16.如果復(fù)數(shù)滿足,那么______(為虛數(shù)單位).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若不等式有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)函數(shù)的最小值為,若正實(shí)數(shù),,滿足,證明:.18.(12分)在中,角所對的邊分別是,且.(1)求;(2)若,求.19.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)記函數(shù)的最大值為,若,證明:.20.(12分)如圖是圓的直徑,垂直于圓所在的平面,為圓周上不同于的任意一點(diǎn)(1)求證:平面平面;(2)設(shè)為的中點(diǎn),為上的動點(diǎn)(不與重合)求二面角的正切值的最小值21.(12分)某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn),并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時(shí)間的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表),得到了散點(diǎn)圖(如下圖).表中,.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型?(不必說明理由)(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;(3)若單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)成正比,那么,利用第(2)問求得的回歸方程知為多少時(shí),燒開一壺水最省煤氣?附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)值分別為,22.(10分)已知,,且.(1)求的最小值;(2)證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則表示出,根據(jù)是奇函數(shù),可得的取值,再求其最小值.【詳解】解:由題意知,將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度,得,再將圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的6倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖像,,因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),所以,解得,因?yàn)?,所以的最小值?故選:【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的變換以及三角函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.2.D【解析】
使用不同方法用表示出,結(jié)合平面向量的基本定理列出方程解出.【詳解】解:,又解得,所以故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的基本定理及其意義,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】因?yàn)?,故函?shù)是奇函數(shù),所以排除A,B;取,則,故選D.考點(diǎn):1.函數(shù)的基本性質(zhì);2.函數(shù)的圖象.4.C【解析】
由幾何概型的概率計(jì)算,知每次生成一個(gè)實(shí)數(shù)小于1的概率為,結(jié)合獨(dú)立事件發(fā)生的概率計(jì)算即可.【詳解】∵每次生成一個(gè)實(shí)數(shù)小于1的概率為.∴這3個(gè)實(shí)數(shù)都小于1的概率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,考查學(xué)生基本的計(jì)算能力,是一道容易題.5.B【解析】
考慮當(dāng)時(shí),有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,令,則有兩個(gè)不同的零點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在定理可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)榈膱D象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有2對,所以時(shí),有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.令,則在有兩個(gè)不同的零點(diǎn).又,當(dāng)時(shí),,故在上為增函數(shù),在上至多一個(gè)零點(diǎn),舍.當(dāng)時(shí),若,則,在上為增函數(shù);若,則,在上為減函數(shù);故,因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn),所以,解得.又當(dāng)時(shí),且,故在上存在一個(gè)零點(diǎn).又,其中.令,則,當(dāng)時(shí),,故為減函數(shù),所以即.因?yàn)椋栽谏弦泊嬖谝粋€(gè)零點(diǎn).綜上,當(dāng)時(shí),有兩個(gè)不同的零點(diǎn).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),一般地,較為復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn),必須先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,再結(jié)合零點(diǎn)存在定理說明零點(diǎn)的存在性,本題屬于難題.6.B【解析】
試題分析:由程序框圖可知,框圖統(tǒng)計(jì)的是成績不小于80和成績不小于60且小于80的人數(shù),由莖葉圖可知,成績不小于80的有12個(gè),成績不小于60且小于80的有26個(gè),故,.考點(diǎn):程序框圖、莖葉圖.7.C【解析】
令,則,,將指數(shù)式化成對數(shù)式得、后,然后取絕對值作差比較可得.【詳解】令,則,,,,,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用作差法比較大小,同時(shí)也考查了指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化,考查推理能力,屬于中等題.8.C【解析】
由題意可利用等比數(shù)列的求和公式得莞草與蒲草n天后長度,進(jìn)而可得:,解出即可得出.【詳解】由題意可得莞草與蒲草第n天的長度分別為據(jù)題意得:,解得2n=12,∴n21.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.9.C【解析】
根據(jù)表中數(shù)據(jù),即可容易求得中位數(shù).【詳解】由圖表可知,種子發(fā)芽天數(shù)的中位數(shù)為,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)的計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.10.A【解析】
計(jì)算,再計(jì)算交集得到答案.【詳解】,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算,屬于簡單題.11.C【解析】程序在運(yùn)行過程中各變量值變化如下表:KS是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557是第五圈6120否故退出循環(huán)的條件應(yīng)為k>5?本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛:使用循環(huán)結(jié)構(gòu)尋數(shù)時(shí),要明確數(shù)字的結(jié)構(gòu)特征,決定循環(huán)的終止條件與數(shù)的結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系及循環(huán)次數(shù).尤其是統(tǒng)計(jì)數(shù)時(shí),注意要統(tǒng)計(jì)的數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)與循環(huán)次數(shù)的區(qū)別.12.A【解析】
本道題繪圖發(fā)現(xiàn)三角形周長最小時(shí)A,P位于同一水平線上,計(jì)算點(diǎn)P的坐標(biāo),計(jì)算斜率,即可.【詳解】結(jié)合題意,繪制圖像要計(jì)算三角形PAF周長最小值,即計(jì)算PA+PF最小值,結(jié)合拋物線性質(zhì)可知,PF=PN,所以,故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到M點(diǎn)處,三角形周長最小,故此時(shí)M的坐標(biāo)為,所以斜率為,故選A.【點(diǎn)睛】本道題考查了拋物線的基本性質(zhì),難度中等.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.0.22.【解析】
正態(tài)曲線關(guān)于x=μ對稱,根據(jù)對稱性以及概率和為1求解即可?!驹斀狻俊军c(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義,是一個(gè)基礎(chǔ)題.14.【解析】
先根據(jù)點(diǎn)共線得到,從而得到O的軌跡為阿氏圓,結(jié)合三角形和三角形的面積關(guān)系可求.【詳解】設(shè)B,O,E共線,則,解得,從而O為CD中點(diǎn),故.在△BOD中,BD=2,,易知O的軌跡為阿氏圓,其半徑,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的面積問題,把所求面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).15.【解析】
由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義,兩角和差正弦公式,求得的值.【詳解】解:∵角的終邊過點(diǎn),∴,,∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義,兩角和差正弦公式,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡,然后利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.【詳解】∵,∴,∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的模的求法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)見解析【解析】
(1)分離得到,求的最小值即可求得的取值范圍;(2)先求出,得到,利用乘變化即可證明不等式.【詳解】解:(1)設(shè),∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.故.∵有解,∴.即的取值范圍為.(2),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.∴,即.∵.當(dāng)且僅當(dāng),,時(shí)等號成立.∴,即成立.【點(diǎn)睛】此題考查不等式的證明,注意定值乘變化的靈活應(yīng)用,屬于較易題目.18.(1)(2)【解析】
(1)根據(jù)正弦定理到,得到答案.(2)計(jì)算,再利用余弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】(1)由,可得,因?yàn)?,所以,所?(2),又因?yàn)椋?因?yàn)?,所以,?【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.19.(1);(2)證明見解析【解析】
(1)將函數(shù)整理為分段函數(shù)形式可得,進(jìn)而分類討論求解不等式即可;(2)先利用絕對值不等式的性質(zhì)得到的最大值為3,再利用均值定理證明即可.【詳解】(1)①當(dāng)時(shí),恒成立,;②當(dāng)時(shí),,即,;③當(dāng)時(shí),顯然不成立,不合題意;綜上所述,不等式的解集為.(2)由(1)知,于是由基本不等式可得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號)(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號)(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號)上述三式相加可得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號),,故得證.【點(diǎn)睛】本題考查解絕對值不等式和利用均值定理證明不等式,考查絕對值不等式的最值的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是掌握分類討論解決帶絕對值不等式的方法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.20.(1)見解析(2)【解析】
(1)推導(dǎo)出,,從而平面,由面面垂直的判定定理即可得證.(2)過作,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間坐標(biāo)系,設(shè),利用空間向量法表示出二面角的余弦值,當(dāng)余弦值取得最大時(shí),正切值求得最小值;【詳解】(1)因?yàn)?,面,,平面,平面,平面,又平面,平面平面;?)過作,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間坐標(biāo)系,則,設(shè),則平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的一個(gè)法向量為則,即,令,如圖二面角的平面角為銳角,設(shè)二面角為,則,時(shí)取得最大值,最大值為,則最小值為【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明,利用空間向量法解決立體幾何問題,屬于中檔題.21.(1)選取更合適;(2);(3)時(shí),煤氣用量最小.【解析】
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn),可得更適合;(2)先建立關(guān)于的回歸方程,再得出關(guān)于的回歸方程;(3)寫出函數(shù)關(guān)系,利用基本不等式得出最小值及其成立的條件.【詳解】(1)選取更適
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