4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第四章數(shù)列

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第2課時等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用人教A版

數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及其應(yīng)用.2.能夠運(yùn)用學(xué)過的數(shù)列知識解決等差與等比數(shù)列的綜合問題.3.能夠運(yùn)用等比數(shù)列的知識解決有關(guān)實(shí)際問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過關(guān)知識點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,關(guān)于Sn的性質(zhì)?？嫉挠幸韵滤念?(1)當(dāng)Sn≠0時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍組成等比數(shù)列,該數(shù)列的公比是qn;(4)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm.思考辨析為什么“當(dāng)Sn≠0時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍組成等比數(shù)列,該數(shù)列的公比是qn”?提示

從前n項(xiàng)和的定義出發(fā)易知,Sn=a1+a2+a3+…+an,S2n-Sn=an+1+an+2+an+3+…+a2n=(a1+a2+a3+…+an)qn,S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n=(an+1+an+2+an+3+…+a2n)qn,…,以此類推,所以當(dāng)Sn≠0時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…組成公比是qn的等比數(shù)列.自主診斷1.[2024浙江高二期末]已知一個等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是偶數(shù),其奇數(shù)項(xiàng)之和為1011,偶數(shù)項(xiàng)之和為2022,則這個數(shù)列的公比為(

)

A.8 B.-2 C.4

D.2D2.已知等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為1,前6項(xiàng)和為9,則它的公比q等于(

)C解析

∵S3=1,S6=9,∴S6-S3=8=a4+a5+a6=S3q3=q3,即q3=8,∴q=2.重難探究·能力素養(yǎng)速提升重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一

等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

【例1】

(1)在等比數(shù)列{an}中,若S2=7,S6=91,則S4=

.

28解析

∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且易知公比q≠-1,∴S2,S4-S2,S6-S4也構(gòu)成等比數(shù)列,即7,S4-7,91-S4構(gòu)成等比數(shù)列,∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21.又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0,∴S4=28.(2)已知等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng),其和為-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,則公比q=

.

2規(guī)律方法

等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).特別地,如果公比q≠-1或雖q=-1但n為奇數(shù)時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n構(gòu)成等比數(shù)列.B(2)已知等比數(shù)列{an}共有32項(xiàng),其公比q=3,且奇數(shù)項(xiàng)之和比偶數(shù)項(xiàng)之和少60,則數(shù)列{an}的所有項(xiàng)之和是(

)A.30 B.60

C.90 D.120D解析

設(shè)等比數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶,則S奇=a1+a3+a5+…+a31,S偶=a2+a4+a6+…+a32=q(a1+a3+a5+…+a31)=3S奇.又S奇+60=S偶,則S奇+60=3S奇,解得S奇=30,S偶=90,故數(shù)列{an}的所有項(xiàng)之和是30+90=120.探究點(diǎn)二等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題的等差中項(xiàng),6是2S2和3S3的等比中項(xiàng).(1)求S2和S3;(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和;(3)求數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和.規(guī)律方法

數(shù)列綜合問題的關(guān)注點(diǎn)(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合的綜合問題是高考考查的重點(diǎn),特別是等差與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式,以及等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)問題是歷年命題的熱點(diǎn).(2)利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時應(yīng)注意公比q的取值,熟悉兩種數(shù)列的性質(zhì),知道它們的推導(dǎo)過程,利用好性質(zhì),可降低題目的難度,解題時有時還需利用條件聯(lián)立方程組求解.變式訓(xùn)練2已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,a2,a4,a6+2成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;解

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0),∵a2,a4,a6+2成等比數(shù)列,∴

=a2(a6+2),即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+5d+2),整理得2d2-d-a1=0,又a1=1,∴2d2-d-1=0,則an=a1+(n-1)d=n,∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n.探究點(diǎn)三數(shù)列在實(shí)際中的應(yīng)用【例3】

某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造,有兩種方案.甲方案:一次性貸款10萬元,第一年便可獲利1萬元,以后每年比前一年增加30%的利潤;乙方案:每年貸款1萬元,第一年可獲利1萬元,以后每年比前一年增加5千元.兩種方案的使用期都是10年,到期一次性歸還本息.若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復(fù)利計(jì)息,試比較兩種方案,哪種方案凈獲利更多?(1.0510≈1.629,1.310≈13.786,1.510≈57.665)解甲方案:十年獲利中,每年獲利數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,首項(xiàng)為1,公比為1+30%,前10項(xiàng)和為S10=1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9.32.50-13.21=19.29(萬元).比較兩方案可得甲方案凈獲利更多.規(guī)律方法

銀行存款中的單利是等差數(shù)列模型,利息按單利計(jì)算,本金為P元,每期利率為r,存期為n,則本利和公式為S=P(1+nr);復(fù)利是等比數(shù)列模型,按復(fù)利計(jì)算的一種儲蓄,本金為P元,每期利率為r,存期為n,則本利和公式為S=P(1+r)n.變式訓(xùn)練3[北師大版教材例題]一個熱氣球在第1min上升了25m的高度,在以后的每1min里,它上升的高度都是它在前1min上升高度的80%.這個熱氣球上升的高度能達(dá)到125m嗎?本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用.(2)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用.2.方法歸納:公式法、分類討論法.3.常見誤區(qū):(1)應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)時易忽略其成立的條件;(2)公比q不確定時易忽視對q的討論.重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)12341.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=54,前2n項(xiàng)和S2n=60,則前3n項(xiàng)和S3n=(

)C解析

易知公比q≠-1,由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì),可得Sn,S2n-Sn,S3n-S2n構(gòu)成等比數(shù)列,即54,60-54,S3n-60成等比數(shù)列,可得(60-54)2=54×(S3n-60),解得12342.[2024江蘇高二期末]已知一個等比數(shù)列首項(xiàng)為1,項(xiàng)數(shù)是偶數(shù),其奇數(shù)項(xiàng)之和為85,偶數(shù)項(xiàng)之和為170,則這個數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為(

)A.2 B.4

C.8

D.16C解析

設(shè)這個等比數(shù)列{an}共有n項(xiàng)(n∈N*,n為偶數(shù)),公比為q,則奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇=85,偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶=170,12343.有一種細(xì)菌和一種病毒,每個細(xì)菌在每秒鐘殺死一個病毒的同時將自身分裂為2個,現(xiàn)在有1個這種細(xì)菌和200個這種病毒,問細(xì)菌將病毒全部殺死至少需要(

)A.6秒