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PAGEPAGE14.1圓的方程4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程[提出問題]“南昌之星”摩天輪是目前世界上第二高的摩天輪,它位于江西省南昌市紅谷灘新區(qū)紅角洲贛江邊上的贛江市民公園,是南昌市標(biāo)志性建筑.該摩天輪總高度為160米,轉(zhuǎn)盤直徑為153米,比位于英國(guó)泰晤士河邊的135米高的“倫敦之眼”摩天輪還要高.問題1:游客在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)過程中離摩天輪中心的距離一樣嗎?提示:一樣.圓上的點(diǎn)到圓心距離都是相等的,都是圓的半徑.問題2:若以摩天輪中心所在位置為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,游客在任一點(diǎn)(x,y)的坐標(biāo)滿足什么關(guān)系?提示:eq\r(x2+y2)=eq\f(153,2).問題3:以(1,2)為圓心,3為半徑的圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)滿足什么關(guān)系?提示:eq\r(x-12+y-22)=3.[導(dǎo)入新知]圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓的定義:平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓,定點(diǎn)稱為圓心,定長(zhǎng)稱為圓的半徑.(2)確定圓的要素是圓心和半徑,如圖所示.(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:圓心為A(a,b),半徑長(zhǎng)為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.當(dāng)a=b=0時(shí),方程為x2+y2=r2,表示以原點(diǎn)為圓心、半徑為r的圓.[化解疑難]1.由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,可直接得到圓的圓心坐標(biāo)和半徑大?。环催^來說,給出了圓的圓心和半徑,即可直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,這一點(diǎn)體現(xiàn)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的直觀性,為其優(yōu)點(diǎn).2.幾種特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:條件圓的標(biāo)準(zhǔn)方程過原點(diǎn)(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0)圓心在x軸上(x-a)2+y2=r2(r≠0)圓心在y軸上x2+(y-b)2=r2(r≠0)圓心在x軸上且過原點(diǎn)(x-a)2+y2=a2(a≠0)圓心在y軸上且過原點(diǎn)x2+(y-b)2=b2(b≠0)與x軸相切(x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)與y軸相切(x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系[提出問題]愛好運(yùn)動(dòng)的小華,小強(qiáng),小兵三人相邀搞一場(chǎng)擲飛鏢比賽,他們把靶子釘在土墻上,規(guī)定誰的飛鏢離靶心O越近,誰獲勝,如圖A,B,C分別是他們擲一輪飛鏢的落點(diǎn).看圖回答下列問題:?jiǎn)栴}1:點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有幾種?提示:三種.點(diǎn)在圓外、圓上、圓內(nèi).問題2:如何判斷他們的勝負(fù)?提示:利用點(diǎn)與圓心的距離.[導(dǎo)入新知]點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心A(a,b),半徑為r.設(shè)所給點(diǎn)為M(x0,y0),則位置關(guān)系判斷方法幾何法代數(shù)法點(diǎn)在圓上│MA│=r?點(diǎn)M在圓A上點(diǎn)M(x0,y0)在圓上?(x0-a)2+(y0-b)2=r2點(diǎn)在圓內(nèi)│MA│<r?點(diǎn)M在圓A內(nèi)點(diǎn)M(x0,y0)在圓內(nèi)?(x0-a)2+(y0-b)2<r2點(diǎn)在圓外│MA│>r?點(diǎn)M在圓A外點(diǎn)M(x0,y0)在圓外?(x0-a)2+(y0-b)2>r2[化解疑難]1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種:點(diǎn)在圓內(nèi),點(diǎn)在圓上,點(diǎn)在圓外.2.判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系常用幾何法和代數(shù)法.求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程[例1]過點(diǎn)A(1,-1),B(-1,1)且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程是()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4[解析]法一:設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,由已知條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1-a2+-1-b2=r2,,-1-a2+1-b2=r2,,a+b-2=0,))解此方程組,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=1,,b=1,,r2=4.))故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=4.法二:設(shè)點(diǎn)C為圓心,∵點(diǎn)C在直線x+y-2=0上,∴可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,2-a).又∵該圓經(jīng)過A,B兩點(diǎn),∴|CA|=|CB|.∴eq\r(a-12+2-a+12)=eq\r(a+12+2-a-12),解得a=1.∴圓心坐標(biāo)為C(1,1),半徑長(zhǎng)r=|CA|=2.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=4.法三:由已知可得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),kAB=eq\f(1--1,-1-1)=-1,所以弦AB的垂直平分線的斜率為k=1,所以AB的垂直平分線的方程為y-0=1·(x-0),即y=x.則圓心是直線y=x與x+y-2=0的交點(diǎn),由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=x,,x+y-2=0,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=1,,y=1,))即圓心為(1,1),圓的半徑為eq\r(1-12+[1--1]2)=2,故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=4.[答案]C[類題通法]確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是設(shè)法確定圓心C(a,b)及半徑r,其求解的方法:一是待定系數(shù)法,如解法一,建立關(guān)于a,b,r的方程組,進(jìn)而求得圓的方程;二是借助圓的幾何性質(zhì)直接求得圓心坐標(biāo)和半徑,如解法二、三.一般地,在解決有關(guān)圓的問題時(shí),有時(shí)利用圓的幾何性質(zhì)作轉(zhuǎn)化較為簡(jiǎn)捷.[活學(xué)活用]1.求下列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)圓心是(4,-1),且過點(diǎn)(5,2);(2)圓心在y軸上,半徑長(zhǎng)為5,且過點(diǎn)(3,-4);(3)求過兩點(diǎn)C(-1,1)和D(1,3),圓心在x軸上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:(1)圓的半徑長(zhǎng)r=eq\r(5-42+2+12)=eq\r(10),故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+(y+1)2=10.(2)設(shè)圓心為C(0,b),則(3-0)2+(-4-b)2=52,解得b=0或b=-8,則圓心為(0,0)或(0,-8).又∵半徑r=5,∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=25或x2+(y+8)2=25.(3)直線CD的斜率kCD=eq\f(3-1,1+1)=1,線段CD中點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,2),故線段CD的垂直平分線的方程為y-2=-x,即y=-x+2,令y=0,得x=2,即圓心為(2,0).由兩點(diǎn)間的距離公式,得r=eq\r(2-12+0-32)=eq\r(10).所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=10.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系[例2]如圖,已知兩點(diǎn)P1(4,9)和P2(6,3).(1)求以P1P2為直徑的圓的方程;(2)試判斷點(diǎn)M(6,9),N(3,3),Q(5,3)是在圓上,在圓內(nèi),還是在圓外.[解](1)設(shè)圓心C(a,b),半徑長(zhǎng)為r,則由C為P1P2的中點(diǎn),得a=eq\f(4+6,2)=5,b=eq\f(9+3,2)=6.又由兩點(diǎn)間的距離公式得r=|CP1|=eq\r(4-52+9-62)=eq\r(10),故所求圓的方程為(x-5)2+(y-6)2=10.(2)由(1)知,圓心C(5,6),則分別計(jì)算點(diǎn)到圓心的距離:|CM|=eq\r(6-52+9-62)=eq\r(10);|CN|=eq\r(3-52+3-62)=eq\r(13)>eq\r(10);|CQ|=eq\r(5-52+3-62)=3<eq\r(10).因此,點(diǎn)M在圓上,點(diǎn)N在圓外,點(diǎn)Q在圓內(nèi).[類題通法]1.判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法(1)只需計(jì)算該點(diǎn)與圓的圓心距離,與半徑作比較即可;(2)把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,判斷式子兩邊的符號(hào),并作出判斷.2.靈活運(yùn)用若已知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,也可利用以上兩種方法列出不等式或方程,求解參數(shù)范圍.[活學(xué)活用]2.點(diǎn)(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部,則a的取值范圍是()A.-1<a<1 B.0<a<1C.a(chǎn)>1或a>-1 D.a(chǎn)=±1解析:選A由于點(diǎn)(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部,所以(1-a)2+(1+a)2<4,a2<1,所以-1<a<1.eq\a\vs4\al(,,10.求解圓的方程中漏解)[典例]已知某圓圓心在x軸上,半徑長(zhǎng)為5,且截y軸所得線段長(zhǎng)為8,求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.[解]法一:如圖所示,由題設(shè)|AC|=r=5,|AB|=8,∴|AO|=4.在Rt△AOC中,|OC|=eq\r(|AC|2-|AO|2)=eq\r(52-42)=3.設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(a,0),則|OC|=|a|=3,∴a=±3.∴所求圓的方程為(x+3)2+y2=25,或(x-3)2+y2=25.法二:由題意設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+y2=25.∵圓截y軸線段長(zhǎng)為8,∴圓過點(diǎn)A(0,4).代入方程得a2+16=25,∴a=±3.∴所求圓的方程為(x+3)2+y2=25,或(x-3)2+y2=25.[易錯(cuò)防范]1.若解題分析只畫一種圖形,而忽略兩種情況,考慮問題不全面,漏掉圓心在x軸負(fù)半軸的情況而導(dǎo)致出錯(cuò).2.借助圖形解決數(shù)學(xué)問題,只能是定性分析,而不能定量研究,要定量研究問題,就要考慮到幾何圖形的各種情況.[成功破障]圓心在直線2x-y-7=0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0,-4),B(0,-2),則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.解析:結(jié)合題意可知,圓心在直線y=-3上,又圓心在直線2x-y-7=0上,故圓心坐標(biāo)是(2,-3),從而r2=(2-0)2+(-3+2)2=5,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-2)2+(y+3)2=5.答案:(x-2)2+(y+3)2=5[隨堂即時(shí)演練]1.圓(x-1)2+(y+eq\r(3))2=1的圓心坐標(biāo)是()A.(1,eq\r(3)) B.(-1,eq\r(3))C.(1,-eq\r(3)) D.(-1,-eq\r(3))答案:C2.點(diǎn)P(m,5)與圓x2+y2=24的位置關(guān)系是()A.在圓外 B.在圓內(nèi)C.在圓上 D.不確定解析:選A∵m2+25>24,∴點(diǎn)P在圓外.3.若點(diǎn)P(-1,eq\r(3))在圓x2+y2=m2上,則實(shí)數(shù)m=________.解析:∵P點(diǎn)在圓x2+y2=m2上,∴(-1)2+(eq\r(3))2=4=m2,∴m=±2.答案:±24.經(jīng)過原點(diǎn),圓心在x軸的負(fù)半軸上,半徑為2的圓的方程是________.解析:圓心是(-2,0),半徑是2,所以圓的方程是(x+2)2+y2=4.答案:(x+2)2+y2=45.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)為頂點(diǎn)的三角形的外接圓的方程.解:設(shè)所求圓的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.將點(diǎn)A(2,2),B(5,3),C(3,-1)代入上式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2-a2+2-b2=r2,,5-a2+3-b2=r2,,3-a2+-1-b2=r2,))解此方程組,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=4,,b=1,,r2=5.))所以,△ABC的外接圓方程是(x-4)2+(y-1)2=5.[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]一、選擇題1.已知點(diǎn)P(3,2)和圓的方程(x-2)2+(y-3)2=4,則它們的位置關(guān)系為()A.在圓心 B.在圓上C.在圓內(nèi) D.在圓外解析:選C∵(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴點(diǎn)P在圓內(nèi).2.圓(x+1)2+(y-2)2=4的圓心、半徑是()A.(1,-2),4 B.(1,-2),2C.(-1,2),4 D.(-1,2),2答案:D3.圓心在y軸上,半徑為1,且過點(diǎn)(1,2)的圓的方程為()A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1解析:選A法一(直接法):設(shè)圓心坐標(biāo)為(0,b),則由題意知eq\r(0-12+b-22)=1,解得b=2,故圓的方程為x2+(y-2)2=1.法二(數(shù)形結(jié)合法):根據(jù)點(diǎn)(1,2)到圓心的距離為1,易知圓心為(0,2),故圓的方程為x2+(y-2)2=1.法三(驗(yàn)證法):將點(diǎn)(1,2)代入四個(gè)選擇項(xiàng),排除B、D,又由于圓心在y軸上,排除C,選A.4.(2012·福建六校聯(lián)考)以兩點(diǎn)A(-3,-1)和B(5,5)為直徑端點(diǎn)的圓的方程是()A.(x-1)2+(y-2)2=10B.(x-1)2+(y-2)2=100C.(x-1)2+(y-2)2=5D.(x-1)2+(y-2)2=25解析:選D圓心坐標(biāo)為(1,2),半徑r=eq\r(5-12+5-22)=5,故所求圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=25.5.當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí),直線(a-1)x-y+a+1=0恒過定點(diǎn)C,則以C為圓心,eq\r(5)為半徑的圓的方程為()A.(x-1)2+(y+2)2=5 B.(x+1)2+(y+2)2=5C.(x+1)2+(y-2)2=5 D.(x-1)2+(y-2)2=5解析:選C直線方程變?yōu)?x+1)a-x-y+1=0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+1=0,-x-y+1=0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=-1,y=2)),∴C(-1,2),∴所求圓的方程為(x+1)2+(y-2)2=5.二、填空題6.圓心為直線x-y+2=0與直線2x+y-8=0的交點(diǎn),且過原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________________.解析:由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-y+2=0,,2x+y-8=0,))可得x=2,y=4,即圓心為(2,4),從而r=eq\r(2-02+4-02)=2eq\r(5),故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-4)2=20.答案:(x-2)2+(y-4)2=207.(2012·嘉興高一檢測(cè))點(diǎn)(5eq\r(a)+1,eq\r(a))在圓(x-1)2+y2=26的內(nèi)部,則a的取值范圍是________.解析:由于點(diǎn)在圓的內(nèi)部,所以(5eq\r(a)+1-1)2+(eq\r(a))2<26,即26a<26,又a≥0,解得0≤a答案:0≤a<18.若圓心在x軸上,半徑為eq\r(5)的圓C位于y軸左側(cè),且與直線x+2y=0相切,則圓C的方程是________.解析:如圖所示,設(shè)圓心C(a,0),則圓心C到直線x+2y=0的距離為eq\f(|a+2×0|,\r(12+22))=eq\r(5),解得a=-5,a=5(舍去),∴圓心是(-5,0).故圓的方程是(x+5)2+y2=5.答案:(x+5)2+y2=5三、解答題9.求經(jīng)過A(-1,4),B(3,2)兩點(diǎn)且圓心在y軸上的圓的方程.解:法一:設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,b).∵圓心在y軸上,∴a=0.設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-b)2=r2.∵該圓過A,B兩點(diǎn),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-12+4-b2=r2,,32+2-b2=r2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b=1,,r2=10.))∴所求圓的方程為x2+(y-1)2=10.法二:∵線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),kAB=eq\f(2-4,3--1)=-eq\f(1,2),∴弦AB的垂直平分線方程為y-3=2(x-1),即y=2x+1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=2x+1,,x=0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=0,,y=1.))∴點(diǎn)(0,1)為所求圓的圓心.由兩點(diǎn)間的距離公式,得圓的半徑r=eq\r(10),∴所求圓的方程為x2+(y-1)2=10.10.求過點(diǎn)A(1,2)和B(1,10)且與直線x-2y-1=0相切的圓的方程.解:圓心在線段AB的垂直平分線y=6上,設(shè)圓心為(a,6),半徑為r,則圓的方程為(x-a)2+(y-6)2=r2.將點(diǎn)(1,10)代入得(1-a)2+(10-6)2=r2,①而r=eq\f(|a-13|,\r(5)),代入①,得(a-1)2+16=eq\f(a-132,5),解得a=3,r=2eq\r(5),或a=-7,r=4eq\r(5).故所求圓為(x-3)2+(y-6)2=20,或(x+7)2+(y-6)2=80.4.1.2圓的一般方程[提出問題]已知圓心(2,3),半徑為2.問題1:寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.提示:(x-2)2+(y-3)2=4.問題2:上述方程能否化為二元二次方程的形式?提示:可以,x2+y2-4x-6y+9=0.問題3:方程x2+y2-4x-6y+13=0是否表示圓?提示:配方化為(x-2)2+(y-3)2=0,不表示圓.問題4:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定表示圓嗎?提示:不一定.[導(dǎo)入新知](1)圓的一般方程的概念:當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí),二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程(2)圓的一般方程對(duì)應(yīng)的圓心和半徑:圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圓的圓心為(-eq\f(D,2),-eq\f(E,2)),半徑長(zhǎng)為eq\f(1,2)eq\r(D2+E2-4F).[化解疑難]1.圓的一般方程體現(xiàn)了圓的方程形式上的特點(diǎn):(1)x2、y2的系數(shù)相等且不為0;(2)沒有xy項(xiàng).2.對(duì)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的說明:方程條件圖形x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2-4F不表示任何圖形D2+E2-4F表示一個(gè)點(diǎn)(-eq\f(D,2),-eq\f(E,2))D2+E2-4F>表示以(-eq\f(D,2),-eq\f(E,2))為圓心,以eq\f(1,2)eq\r(D2+E2-4F)為半徑的圓圓的一般方程的概念辨析[例1]若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圓求(1)實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)圓心坐標(biāo)和半徑.[解](1)據(jù)題意知D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5即4m2+4-4m解得m<eq\f(1,5),故m的取值范圍為(-∞,eq\f(1,5)).(2)將方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+m)2+(y-1)2=1-5故圓心坐標(biāo)為(-m,1),半徑r=eq\r(1-5m).[類題通法]形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圓時(shí)可有如下兩種方法:①由圓的一般方程的定義令D2+E2-4F>0,成立則表示圓,否則不表示圓,②將方程配方后,根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解,應(yīng)用這兩種方法時(shí),要注意所給方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0這種標(biāo)準(zhǔn)形式,若不是,則要化為這種形式再求解[活學(xué)活用]1.下列方程各表示什么圖形?若表示圓,求其圓心和半徑.(1)x2+y2+x+1=0;(2)x2+y2+2ax+a2=0(a≠0);(3)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0).解:(1)∵D=1,E=0,F(xiàn)=1,∴D2+E2-4F∴方程(1)不表示任何圖形.(2)∵D=2a,E=0,F(xiàn)=a2∴D2+E2-4F=4a2-4∴方程表示點(diǎn)(-a,0).(3)兩邊同除以2,得x2+y2+ax-ay=0,D=a,E=-a,F(xiàn)=0,∴D2+E2-4F=2a∴方程(3)表示圓,它的圓心為(-eq\f(a,2),eq\f(a,2)),半徑r=eq\f(1,2)eq\r(D2+E2-4F)=eq\f(\r(2),2)|a|.圓的一般方程的求法[例2]已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圓方程、外心坐標(biāo)和外接圓半徑.[解]法一:設(shè)△ABC的外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,∵A,B,C在圓上,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1+16+D+4E+F=0,,4+9-2D+3E+F=0,,16+25+4D-5E+F=0,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D=-2,,E=2,,F=-23,))∴△ABC的外接圓方程為x2+y2-2x+2y-23=0,即(x-1)2+(y+1)2=25.∴外心坐標(biāo)為(1,-1),外接圓半徑為5.法二:∵kAB=eq\f(4-3,1+2)=eq\f(1,3),kAC=eq\f(4+5,1-4)=-3,∴kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC.∴△ABC是以角A為直角的直角三角形,∴外心是線段BC的中點(diǎn),坐標(biāo)為(1,-1),r=eq\f(1,2)|BC|=5.∴外接圓方程為(x-1)2+(y+1)2=25.[類題通法]應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程時(shí):(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程的問題,一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,再用待定系數(shù)法求出a,b,r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系,一般采用圓的一般方程,再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D、E、F.[活學(xué)活用]2.求經(jīng)過點(diǎn)A(-2,-4)且與直線x+3y-26=0相切于點(diǎn)B(8,6)的圓的方程.解:設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(D,2),-\f(E,2))).∵圓與x+3y-26=0相切,∴eq\f(6+\f(E,2),8+\f(D,2))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3)))=-1,即E-3D-36=0.①∵(-2,-4),(8,6)在圓上,∴2D+4E-F-20=0,②8D+6E+F+100=0.③聯(lián)立①②③,解得D=-11,E=3,F(xiàn)=-30,故所求圓的方程為x2+y2-11x+3y-30=0.代入法求軌跡方程[例3]已知△ABC的邊AB長(zhǎng)為4,若BC邊上的中線為定長(zhǎng)3,求頂點(diǎn)C的軌跡方程.[解]以直線AB為x軸,AB的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系(如圖),則A(-2,0),B(2,0),設(shè)C(x,y),BC中點(diǎn)D(x0,y0).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2+x,2)=x0,,\f(0+y,2)=y(tǒng)0.))①∵|AD|=3,∴(x0+2)2+yeq\o\al(2,0)=9.②將①代入②,整理得(x+6)2+y2=36.∵點(diǎn)C不能在x軸上,∴y≠0.綜上,點(diǎn)C的軌跡是以(-6,0)為圓心,6為半徑的圓,去掉(-12,0)和(0,0)兩點(diǎn).軌跡方程為(x+6)2+y2=36(y≠0).[類題通法]用代入法求軌跡方程的一般步驟[活學(xué)活用]3.(2013·嘉峪關(guān)高一檢測(cè))過點(diǎn)A(8,0)的直線與圓x2+y2=4交于點(diǎn)B,則AB中點(diǎn)P的軌跡方程為________________.解析:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)B為(x1,y1),由題意,結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x1=2x-8,y1=2y,故(2x-8)2+(2y)2=4,化簡(jiǎn)得(x-4)2+y2=1,即為所求.答案:(x-4)2+y2=1eq\a\vs4\al(,,10.與圓有關(guān)的軌跡軌跡方程問題)[典例](12分)已知圓O的方程為x2+y2=9,求經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)的圓的弦的中點(diǎn)P的軌跡.[解題流程]eq\x(欲求弦的中點(diǎn)P的軌跡,需先求出點(diǎn)P的軌跡方程.)畫出圖形,結(jié)合圓的弦的中點(diǎn)的性質(zhì),由AP⊥OP建立關(guān)系求解.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)x,y→由AP⊥OP→討論AP垂直于x軸情形→列kAP·kOP=-1的關(guān)系式→檢驗(yàn)→得出結(jié)論[規(guī)范解答]設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)題意可知AP⊥OP.(2分)當(dāng)AP垂直于x軸時(shí),P的坐標(biāo)為(1,0),此時(shí)x=1;(3分)當(dāng)x=0時(shí),y=0;(4分)當(dāng)x≠0,且x≠1時(shí),有kAP·kOP=-1,(5分)∵kAP=eq\f(y-2,x-1),kOP=eq\f(y,x),(6分)∴eq\f(y-2,x-1)·eq\f(y,x)=-1,即x2+y2-x-2y=0(x≠0,且x≠1).(8分)經(jīng)檢驗(yàn),點(diǎn)(1,0),(0,0)適合上式.(10分)綜上所述,點(diǎn)P的軌跡是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1))為圓心,以eq\f(\r(5),2)為半徑的圓.(12分)[名師批注]AP垂直于x軸時(shí)及x=0時(shí)容易漏掉.檢驗(yàn)步驟不可少[活學(xué)活用]一動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)A(-4,0)的距離是到點(diǎn)B(2,0)的距離的2倍,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡.解:設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),則|MA|=2|MB|,即eq\r(x+42+y2)=2eq\r(x-22+y2),整理得x2+y2-8x=0,即所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2-8x=0.[隨堂即時(shí)演練]1.(2011·四川高考)圓x2+y2-4x+6y=0的圓心坐標(biāo)是()A.(2,3) B.(-2,3)C.(-2,-3) D.(2,-3)解析:選D圓的方程化為(x-2)2+(y+3)2=13,圓心(2,-3),選D.2.已知方程x2+y2-2x+2k+3=0表示圓,則k的取值范圍是()A.(-∞,-1) B.(3,+∞)C.(-∞,-1)∪(3,+∞) D.(-eq\f(3,2),+∞)解析:選A方程可化為:(x-1)2+y2=-2k-2,只有-2k-2>0,即k<-1時(shí)才能表示圓.3.方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圓心為C(2,2),半徑為2的圓,則a=________,b=________,c=________.解析:∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-\f(2a,2)=2,,-\f(-b,2)=2,,\f(1,2)\r(4a2+b2-4c)=2,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=-2,,b=4,,c=4.))答案:-2,4,44.設(shè)A為圓(x-1)2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn),PA是圓的切線且|PA|=1,則P點(diǎn)的軌跡方程是________.解析:設(shè)P(x,y)是軌跡上任一點(diǎn),圓(x-1)2+y2=1的圓心為B(1,0),則|PA|2+1=|PB|2,∴(x-1)2+y2=2.答案:(x-1)2+y2=25.求過點(diǎn)(-1,1),且圓心與已知圓x2+y2-6x-8y+15=0的圓心相同的圓的方程.解:設(shè)所求的圓的方程為:x2+y2+Dx+Ey+F=0,又圓x2+y2-6x-8y+15=0的圓心為(3,4),依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2-D+E+F=0,,-\f(D,2)=3,,-\f(E,2)=4,))解此方程組,可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D=-6,,E=-8,,F=0.))∴所求圓的方程為x2+y2-6x-8y=0.[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]一、選擇題1.(2011·安徽高考)若直線3x+y+a=0過圓x2+y2+2x-4y=0的圓心,則a的值為()A.-1 B.1C.3 D.-3解析:選B∵圓x2+y2+2x-4y=0的圓心為(-1,2),∴3x+y+a過點(diǎn)(-1,2),即-3+2+a=0,∴a=1.2.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)(8,0)的距離等于點(diǎn)M到點(diǎn)(2,0)的距離的2倍,那么點(diǎn)M的軌跡方程是()A.x2+y2=32B.x2+y2=16C.(x-1)2+y2=16D.x2+(y-1)2=16解析:選B設(shè)M(x,y),則M滿足eq\r(x-82+y2)=2eq\r(x-22+y2),整理得x2+y2=16.3.方程x2+y2+2ax-b2=0表示的圖形是()A.一個(gè)圓B.只有當(dāng)a=0時(shí),才能表示一個(gè)圓C.一個(gè)點(diǎn)D.a(chǎn),b不全為0時(shí),才能表示一個(gè)圓解析:選D(2a)2+4b2=4(a2+b2)當(dāng)a=b=0時(shí),方程表示一個(gè)點(diǎn);當(dāng)ab≠0時(shí)方程表示一個(gè)圓.4.如果圓x2+y2+ax+by+c=0(a,b,c不全為零)與y軸相切于原點(diǎn),那么()A.a(chǎn)=0,b≠0,c≠0 B.b=c=0,a≠0C.a(chǎn)=c=0,b≠0 D.a(chǎn)=b=0,c≠0解析:選B符合條件的圓方程為(x+eq\f(a,2))2+y2=eq\f(a2,4),即x2+y2+ax=0.∴b=0,a≠0,c=0.5.已知兩定點(diǎn)A(-2,0),B(1,0),如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|,則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于()A.π B.4πC.8π D.9π解析:選B設(shè)動(dòng)點(diǎn)軌跡坐標(biāo)為(x,y),則由|PA|=2|PB|,知eq\r(x+22+y2)=2eq\r(x-12+y2),化簡(jiǎn)得(x-2)2+y2=4,得軌跡曲線為以(2,0)為圓心,以2為半徑的圓,該圓面積為4π.二、填空題6.若x2+y2+(λ-1)x+2λy+λ=0表示圓,則λ的取值范圍是____________________.解析:∵(λ-1)2+(2λ)2-4λ>0,即5λ2-6λ+1>0,∴λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(1,5)))∪(1,+∞).答案:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(1,5)))∪(1,+∞)7.已知圓C:x2+y2+2x+ay-3=0(a為實(shí)數(shù))上任意一點(diǎn)關(guān)于直線l:x-y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)都在圓C上,則a=________.解析:由題意可得圓C的圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,-\f(a,2)))在直線x-y+2=0上,將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,-\f(a,2)))代入直線方程得-1-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(a,2)))+2=0,解得a=-2.答案:-28.已知A,B是圓O:x2+y2=16上的兩點(diǎn),且│AB│=6,若以AB為直徑的圓M恰好經(jīng)過點(diǎn)C(1,-1),則圓心M的軌跡方程是____________________.解析:設(shè)圓心為M(x,y),由│AB│=6知,圓M的半徑r=3,則│MC│=3,即eq\r(x-12+y+12)=3,所以(x-1)2+(y+1)2=9.答案:(x-1)2+(y+1)2=9三、解答題9.已知圓C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圓心在直線x+y-1=0上,且圓心在第二象限,半徑長(zhǎng)為eq\r(2),求圓的一般方程.解:圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(D,2),-\f(E,2))),∵圓心在直線x+y-1=0上,∴-eq\f(D,2)-eq\f(E,2)-1=0,即D+E=-2.①又∵半徑長(zhǎng)r=eq\f(\r(D2+E2-12),2)=eq\r(2),∴D2+E2=20.②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D=2,,E=-4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D=-4,,E=2.))又∵圓心在第二象限,∴-eq\f(D,2)<0即D>0.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D=2,,E=-4.))故圓的一般方程為x2+y2+2x-4y+3=0.10.已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0(t∈R)表示的圖形是圓.(1)求t的取值范圍;(2)求其中面積最大的圓的方程;(3)若點(diǎn)P(3,4t2)恒在所給圓內(nèi),求t的取值范圍.解:(1)已知方程可化為(x-t-3)2+(y+1-4t2)2=-7t2+6t+1,∴r2=-7t2+6t+1>0,∴-eq\f(1,7)<t<1.即t的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,7),1))(2)r=eq\r(-7t2+6t+1)=eq\r(-7\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t-\f(3,7)))2+\f(16,7)).當(dāng)t=eq\f(3,7)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,7),1))時(shí),rmax=eq\f(4,7)eq\r(7),此時(shí)圓的面積最大,對(duì)應(yīng)的圓的方程是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(24,7)))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y+\f(13,49)))2=eq\f(16,7).(3)當(dāng)且僅當(dāng)32+(4t2)2-2(t+3)×3+2(1-4t2)·4t2+16t4+9<0時(shí),點(diǎn)P恒在圓內(nèi),化簡(jiǎn)得8t2-6t<0,即0<t<eq\f(3,4).故t的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(3,4)))4.2直線、圓的位置關(guān)系4.2.1直線與圓的位置關(guān)系第一課時(shí)直線與圓的位置關(guān)系(新授課)[提出問題]“大漠孤煙直,長(zhǎng)河落日?qǐng)A”是唐朝詩(shī)人王維的詩(shī)句,它描述了黃昏日落時(shí)分塞外特有的景象.如果我們把太陽看成一個(gè)圓,地平線看成一條直線,觀察下面三幅太陽落山的圖片.問題1:圖片中,地平線與太陽的位置關(guān)系怎樣?提示:(1)相離(2)相切(3)相交問題2:結(jié)合初中平面幾何中學(xué)過的直線與圓的位置關(guān)系,直線與圓有幾種位置關(guān)系?提示:3種,分別是相交、相切、相離.問題3:如何判斷直線與圓的位置關(guān)系?提示:可利用圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系.[導(dǎo)入新知]1.直線與圓有三種位置關(guān)系位置關(guān)系交點(diǎn)個(gè)數(shù)相交有兩個(gè)公共點(diǎn)相切只有一個(gè)公共點(diǎn)相離沒有公共點(diǎn)2.直線Ax+By+C=0與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系的判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)零個(gè)判定方法幾何法:設(shè)圓心到直線的距離d=eq\f(|Aa+Bb+C|,\r(A2+B2))d<rd=rd>r代數(shù)法:由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax+By+C=0,x-a2+y-b2=r2))消元得到一元二次方程的判別式ΔΔ>0Δ=0Δ<0[化解疑難]判斷直線與圓的位置關(guān)系,一般常用幾何法,因?yàn)榇鷶?shù)法計(jì)算繁瑣,書寫量大,易出錯(cuò),幾何法則較簡(jiǎn)潔,但是在判斷直線與其他二次曲線的位置關(guān)系時(shí),常用代數(shù)法.直線與圓位置關(guān)系的判斷[例1]若直線4x-3y+a=0與圓x2+y2=100有如下關(guān)系:①相交;②相切;③相離,試分別求實(shí)數(shù)a的取值范圍.[解]法一:(代數(shù)法)由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x-3y+a=0,,x2+y2=100,))消去y,得25x2+8ax+a2-900=0.Δ=(8a)2-4×25(a2-900)=-36a①當(dāng)直線和圓相交時(shí),Δ>0,即-36a2+90000>0,-50<a②當(dāng)直線和圓相切時(shí),Δ=0,即a=50或a=-50;③當(dāng)直線和圓相離時(shí),Δ<0,即a<-50或a>50.法二:(幾何法)圓x2+y2=100的圓心為(0,0),半徑r=10,則圓心到直線的距離d=eq\f(|a|,\r(32+42))=eq\f(|a|,5),①當(dāng)直線和圓相交時(shí),d<r,即eq\f(|a|,5)<10,-50<a<50;②當(dāng)直線和圓相切時(shí),d=r,即eq\f(|a|,5)=10,a=50或a=-50;③當(dāng)直線和圓相離時(shí),d>r,即eq\f(|a|,5)>10,a<-50或a>50.[類題通法]直線與圓位置關(guān)系判斷的三種方法(1)幾何法:由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷.(2)代數(shù)法:根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來判斷.(3)直線系法:若直線恒過定點(diǎn),可通過判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷,但有一定的局限性,必須是過定點(diǎn)的直線系.[活學(xué)活用]1.(2012·湛江檢測(cè))直線x-ky+1=0與圓x2+y2=1的位置關(guān)系是()A.相交 B.相離C.相交或相切 D.相切解析:選C直線x-ky+1=0恒過定點(diǎn)(-1,0),而(-1,0)在圓上,故直線與圓相切或相交.切線問題[例2]過點(diǎn)A(-1,4)作圓(x-2)2+(y-3)2=1的切線l,求切線l的方程.[解]∵(-1-2)2+(4-3)2=10>1,∴點(diǎn)A在圓外.法一:當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),l的方程是x=-1,不滿足題意.設(shè)直線l的斜率為k,則方程為y-4=k(x+1)即kx-y+4+k=0.圓心(2,3)到切線l的距離為eq\f(|2k-3+4+k|,\r(k2+1))=1,解得k=0或k=-eq\f(3,4),因此,所求直線l的方程y=4或3x+4y-13=0.法二:由于直線l與圓相切,所以方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y-4=kx+1,,x-22+y-32=1,))只有一解.消去y,得到關(guān)于x的一元二次方程(1+k2)x2+(2k2+2k-4)x+k2+2k+4=0,則Δ=(2k2+2k-4)2-4(1+k2)(k2+2k+4)=0,解得8k2+6k=0,即k=0或k=-eq\f(3,4),因此,所求直線l的方程為y=4或3x+4y-13=0.[類題通法]1.求過圓上一點(diǎn)(x0,y0)的圓的切線方程的求法:先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k,再由垂直關(guān)系得切線的斜率為-eq\f(1,k),由點(diǎn)斜式可得切線方程.如果斜率為零或不存在,則由圖形可直接得切線方程y=y(tǒng)0或x=x0.2.過圓外一點(diǎn)(x0,y0)的切線方程的求法設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),由圓心到直線的距離等于半徑建立方程,可求得k,也就得切線方程.當(dāng)用此法只求出一個(gè)方程時(shí),另一個(gè)方程應(yīng)為x=x0,因?yàn)樵谏厦娼夥ㄖ胁话ㄐ甭什淮嬖诘那闆r,而過圓外一點(diǎn)的切線有兩條.一般不用聯(lián)立方程組的方法求解.[活學(xué)活用]2.(2012·昆明高一檢測(cè))直線x+y+m=0與圓x2+y2=m相切,則m的值為()A.0或2 B.2C.eq\r(2) D.無解解析:選B由于直線與圓相切,故eq\r(m)=eq\f(|m|,\r(12+12)),解得m=0(舍去)或m=2.3.圓x2+y2-4x=0在點(diǎn)P(1,eq\r(3))處的切線方程為()A.x+eq\r(3)y-2=0 B.x+eq\r(3)y-4=0C.x-eq\r(3)y+4=0 D.x-eq\r(3)y+2=0解析:選D點(diǎn)P在圓上,圓x2+y2-4x=0化為(x-2)2+y2=4,圓心M(2,0),半徑為2.kMP=eq\f(\r(3)-0,1-2)=-eq\r(3),切線l的斜率kl=eq\f(\r(3),3),因此切線l的方程為y-eq\r(3)=eq\f(\r(3),3)(x-1),整理得x-eq\r(3)y+2=0.弦長(zhǎng)問題[例3]已知圓的方程為x2+y2=8,圓內(nèi)有一點(diǎn)P(-1,2),AB為過點(diǎn)P且傾斜角為α的弦.(1)當(dāng)α=135°時(shí),求AB的長(zhǎng);(2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí),寫出直線AB的方程.[解](1)法一:(幾何法)如圖所示,過點(diǎn)O作OC⊥AB.由已知條件得直線的斜率為k=tan135°=-1,∴直線AB的方程為y-2=-(x+1),即x+y-1=0.∵圓心為(0,0),∴|OC|=eq\f(|-1|,\r(2))=eq\f(\r(2),2).∵r=2eq\r(2),∴|BC|=eq\r(8-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)=eq\f(\r(30),2),∴|AB|=2|BC|=eq\r(30).法二:(代數(shù)法)當(dāng)α=135°時(shí),直線AB的方程為y-2=-(x+1),即y=-x+1,代入x2+y2=8,得2x2-2x-7=0.∴x1+x2=1,x1x2=-eq\f(7,2),∴|AB|=eq\r(1+k2)|x1-x2|=eq\r(1+1[x1+x22-4x1x2])=eq\r(30).(2)如圖,當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí),OP⊥AB,∵kOP=-2,∴kAB=eq\f(1,2),∴直線AB的方程為y-2=eq\f(1,2)(x+1),即x-2y+5=0.[類題通法]求直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)的兩種方法(1)幾何法:如圖1,直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),設(shè)弦心距為d,圓的半徑為r,弦長(zhǎng)為|AB|,則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2+d2=r2,即|AB|=2eq\r(r2-d2).(2)代數(shù)法:如圖2所示,將直線方程與圓的方程聯(lián)立,設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=eq\r(x1-x22+y1-y22)=eq\r(1+k2)|x1-x2|=eq\r(1+\f(1,k2))|y1-y2|(直線l的斜率k存在).eq\a\vs4\al(,,11.過一點(diǎn)求圓的切線方程的解題誤區(qū))[典例]過點(diǎn)A(3,1)和圓(x-2)2+y2=1相切的直線方程是()A.y=1 B.x=3C.x=3或y=1 D.不確定[解析]由題意知,點(diǎn)A在圓外,故過點(diǎn)A的切線應(yīng)有兩條.當(dāng)所求直線斜率存在時(shí),設(shè)其為k,則直線方程為y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.由于直線與圓相切,所以d=eq\f(|2k-0+1-3k|,\r(1+k2))=1,解得k=0,所以切線方程為y=1.當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí),x=3也符合條件.綜上所述,所求切線方程為x=3或y=1.[答案]C[易錯(cuò)防范]1.解題時(shí)只考慮所求直線的斜率存在的情況,而忽視了斜率不存在的情況,而錯(cuò)誤地選A;若只考慮斜率不存在的情形,而忽視了斜率存在的情況,而錯(cuò)誤地選B.2.過一點(diǎn)求圓的切線時(shí),首先要判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,以此來確定切線的條數(shù),經(jīng)過圓外一點(diǎn)可以作圓的兩條切線,求解中若只求出一個(gè)斜率,則另一條必然斜率不存在.[成功破障]已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=4,則過點(diǎn)(3,5)并與圓C相切的切線方程為________.解析:由于點(diǎn)(3,5)到圓心的距離為eq\r(4+9)=eq\r(13)>2=r,得到點(diǎn)(3,5)在圓外.當(dāng)切線的斜率存在時(shí),設(shè)方程為y-5=k(x-3),由圓心到切線的距離d=eq\f(|-2k+3|,\r(k2+1))=2,化簡(jiǎn)得12k=5,可解得k=eq\f(5,12),∴切線方程為5x-12y+45=0.當(dāng)過(3,5)的直線斜率不存在時(shí),直線方程為x=3,與圓相切.綜上可知切線方程為5x-12y+45=0或x=3.答案:5x-12y+45=0或x=3[隨堂即時(shí)演練]1.直線x+2y-1=0與圓2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置關(guān)系是()A.相離 B.相切C.相交但直線不過圓心 D.相交且直線過圓心解析:選C圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(1,2))),半徑長(zhǎng)r=eq\f(\r(3),2),圓心到直線的距離d=eq\f(\r(5),5)<r,所以直線與圓是相交的但不過圓心,故選C.2.(2012·湛江高一檢測(cè))設(shè)直線l過點(diǎn)P(-2,0),且與圓x2+y2=1相切,則l的斜率是()A.±1 B.±eq\f(1,2)C.±eq\f(\r(3),3) D.±eq\r(3)解析:選C設(shè)l:y=k(x+2)即kx-y+2k=0.又l與圓相切,∴eq\f(|2k|,\r(1+k2))=1.∴k=±eq\f(\r(3),3).3.(2011·重慶高考)過原點(diǎn)的直線與圓x2+y2-2x-4y+4=0相交所得弦的長(zhǎng)為2,則該直線的方程為______.解析:設(shè)所求直線方程為y=kx,即kx-y=0.由于直線kx-y=0被圓截得的弦長(zhǎng)等于2,圓的半徑是1,因此圓心到直線的距離等于eq\r(12-\f(2,2)2)=0,即圓心位于直線kx-y=0上.于是有k-2=0,即k=2,因此所求直線方程是2x-y=0.答案:2x-y=04.過點(diǎn)P(-1,2)且與圓C:x2+y2=5相切的直線方程是________.解析:點(diǎn)P(-1,2)是圓x2+y2=5上的點(diǎn),圓心為C(0,0),則kPC=eq\f(2,-1)=-2,所以k=eq\f(1,2),y-2=eq\f(1,2)(x+1).故所求切線方程是x-2y+5=0.答案:x-2y+5=05.(2011·湖北高考改編)過點(diǎn)(-1,-2)的直線l被圓x2+y2-2x-2y+1=0截得的弦長(zhǎng)為eq\r(2),求直線l的方程.解:由題意,直線與圓要相交,斜率必須存在,設(shè)為k.設(shè)直線l的方程為y+2=k(x+1).又圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=1,圓心為(1,1),半徑為1,所以圓心到直線的距離d=eq\f(|2k-1-2|,\r(1+k2))=eq\r(12-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)=eq\f(\r(2),2).解得k=1或eq\f(17,7).所以直線l的方程為y+2=x+1或y+2=eq\f(17,7)(x+1),即x-y-1=0或17x-7y+3=0.[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]一、選擇題1.若直線ax+by=1與圓C:x2+y2=1相交,則點(diǎn)P(a,b)與圓C的位置關(guān)系是()A.P在圓內(nèi) B.P在圓外C.P在圓上 D.不確定解析:選B∵直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交,∴圓心到直線的距離d=eq\f(1,\r(a2+b2))<1,∴a2+b2>1.2.過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2-4y=0所截得的弦長(zhǎng)為()A.eq\r(3) B.2C.eq\r(6) D.2eq\r(3)解析:選D直線的方程為y=eq\r(3)x,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-2)2=4,圓心(0,2)到直線的距離d=eq\f(|\r(3)×0-2|,\r(\r(3)2+-12))=1,知所求弦長(zhǎng)為d=2eq\r(22-12)=2eq\r(3),故選D.3.若過點(diǎn)A(4,0)的直線l與曲線(x-2)2+y2=1有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍為()A.[-eq\r(3),eq\r(3)] B.(-eq\r(3),eq\r(3))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(\r(3),3),\f(\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(3),3),\f(\r(3),3)))解析:選C設(shè)直線為y=k(x-4),即kx-y-4k=0,圓心(2,0)到直線的距離d=eq\f(|2k-4k|,\r(1+k2))=eq\f(|2k|,\r(1+k2)),d應(yīng)滿足d≤r,即eq\f(|2k|,\r(1+k2))≤1,解得k∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(\r(3),3),\f(\r(3),3))).4.由直線y=x+1上的點(diǎn)向圓C:x2+y2-6x+8=0引切線,則切線長(zhǎng)的最小值為()A.1 B.2eq\r(2)C.eq\r(7) D.3解析:選C圓C的方程可變?yōu)椋?x-3)2+y2=1,圓心C(3,0),半徑為1.直線y=x+1上點(diǎn)P(x0,y0)到圓心C的距離|PC|與切線長(zhǎng)d滿足d=eq\r(|PC|2-12)=eq\r(x0-32+y\o\al(2,0)-12)=eq\r(2x\o\al(2,0)-4x0+9)=eq\r(2x0-12+7)≥eq\r(7).5.已知圓的方程為x2+y2-6x-8y=0,設(shè)該圓過點(diǎn)P(3,5)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為()A.10eq\r(6) B.20eq\r(6)C.30eq\r(6) D.40eq\r(6)解析:選B如下圖所示,設(shè)圓的圓心為M,則M(3,4),半徑r=5.當(dāng)過點(diǎn)P的直線過圓心M時(shí),對(duì)應(yīng)的弦AC是最長(zhǎng)的,此時(shí),|AC|=2r=10;當(dāng)過點(diǎn)P的直線與MP垂直時(shí),對(duì)應(yīng)的弦BD最小,此時(shí)在Rt△MPD中,|MD|=r=5,|MP|=1,故|BD|=2eq\r(|MD|2-|MP|2)=4eq\r(6).此時(shí)四邊形ABCD的面積為:S=eq\f(1,2)|AC|·|BD|=20eq\r(6),故選B.二、填空題6.過點(diǎn)P(-1,6)且與圓(x+3)2+(y-2)2=4相切的直線方程是____________________.解析:當(dāng)所求直線的斜率存在時(shí),設(shè)所求直線的方程為y-6=k(x+1),則d=eq\f(|2-6-k-3+1|,\r(1+k2))=2,解得k=eq\f(3,4),此時(shí),直線方程為:4y-3x-27=0;當(dāng)所求直線的斜率不存在時(shí),所求直線的方程為x=-1,驗(yàn)證可知符合題意.答案:4y-3x-27=0或x=-17.已知圓C的圓心是直線x-y+1=0與x軸的交點(diǎn),且圓C與直線x+y+3=0相切,則圓C的方程為____________________.解析:令y=0得x=-1,所以直線x-y+1=0與x軸的交點(diǎn)為(-1,0).因?yàn)橹本€與圓相切,所以圓心到直線的距離等于半徑,即r=eq\f(|-1+0+3|,\r(2))=eq\r(2),所以圓C的方程為(x+1)2+y2=2.答案:(x+1)2+y2=28.已知圓C過點(diǎn)(1,0),且圓心在x軸的正半軸上.直線l:y=x-1被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(2),則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為____________.解析:由題意,設(shè)所求的直線方程為x+y+m=0,設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0),則由題意知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a-1|,\r(2))))2+2=(a-1)2,解得a=3,或a=-1,又因?yàn)閳A心在x軸的正半軸上,所以a=3,故圓心坐標(biāo)為(3,0),因?yàn)閳A心(3,0)在所求的直線上,所以有3+0+m=0,即m=-3,故所求的直線方程為x+y-3=0.答案:x+y-3=0三、解答題9.已知圓C和y軸相切,圓心C在直線x-3y=0上,且被直線y=x截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(7),求圓C的方程.解:設(shè)圓心坐標(biāo)為(3m,m∵圓C和y軸相切,得圓的半徑為3|m|,∴圓心到直線y=x的距離為eq\f(|2m|,\r(2))=eq\r(2)|m|.由半徑、弦心距、半弦長(zhǎng)的關(guān)系得9m2=7+2m2,∴m=±1,∴所求圓C的方程為(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.10.已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=2,過點(diǎn)P(2,-1)作圓C的切線,切點(diǎn)為A,B.(1)求直線PA,PB的方程;(2)過P點(diǎn)的圓C的切線長(zhǎng).解:(1)切線的斜率存在,設(shè)切線方程為y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.圓心到直線的距離等于eq\r(2),即eq\f(|-k-3|,\r(k2+1))=eq\r(2),∴k2-6k-7=0,解得k=7或k=-1,故所求的切線方程為y+1=7(x-2)或y+1=-(x-2),即7x-y-15=0或x+y-1=0.(2)在Rt△PAC中,PA2=PC2-AC2=(2-1)2+(-1-2)2-2=8,∴過P點(diǎn)的圓C的切線長(zhǎng)為2eq\r(2).第二課時(shí)直線與圓的位置關(guān)系(習(xí)題課)1.直線與圓的位置關(guān)系有哪幾種?2.如何用幾何法和代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系?3.如何求過某點(diǎn)的圓的切線方程?4.如何求圓的弦長(zhǎng)?與圓有關(guān)的切線問題[例1]自點(diǎn)P(-6,7)發(fā)出的光線l射到x軸上的點(diǎn)A處,被x軸反射,其反射光線所在直線與圓x2+y2-8x-6y+21=0相切于點(diǎn)Q.求光線l所在直線方程.[解]如圖,作圓x2+y2-8x-6y+21=0關(guān)于x軸的對(duì)稱圓x2+y2-8x+6y+21=0,由幾何光學(xué)原理,知直線l與圓x2+y2-8x+6y+21=0相切.由于l的斜率必存在,故可設(shè)直線l:y-7=k(x+6),即kx-y+6k+7=0.由圓x2+y2-8x+6y+21=0的圓心(4,-3)到直線l的距離等于半徑,知eq\f(|4k+3+6k+7|,\r(k2+1))=eq\f(10|k+1|,\r(k2+1))=2,解得k=-eq\f(3,4)或k=-eq\f(4,3),故光線l所在直線的方程為3x+4y-10=0或4x+3y+3=0.[類題通法]過已知圓外一點(diǎn)求切線的方程一般有三種方法:(1)設(shè)切線斜率,用判別式法;(2)設(shè)切線斜率,用圓心到直線的距離等于半徑長(zhǎng);(3)設(shè)切點(diǎn)(x0,y0),用切線公式法.[活學(xué)活用]1.已知圓C:(x-2)2+(y-1)2=1.求:(1)過A(3,4)的圓C的切線方程;(2)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的圓C的切線方程.解:(1)當(dāng)所求直線的斜率存在時(shí),設(shè)過A(3,4)的直線方程為y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0,由eq\f(|2k-1+4-3k|,\r(1+k2))=1,得k=eq\f(4,3).所以切線方程為y-4=eq\f(4,3)(x-3),即4x-3y=0.當(dāng)所求直線的斜率不存在時(shí),直線方程為x=3,也符合題意.故所求直線方程為4x-3y=0或x=3.(2)設(shè)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為eq\f(x,a)+eq\f(y,a)=1或y=kx,于是由圓心(2,1)到切線距離為1,得eq\f(|3-a|,\r(2))=1或eq\f(|2k-1|,\r(1+k2))=1.解得a=3±eq\r(2),k=0或k=eq\f(4,3).故所求切線方程為x+y=3±eq\r(2)或y=0或y=eq\f(4,3)x.與圓有關(guān)的參數(shù)問題[例2]已知直線l:y=-eq\f(\r(3),3)x+m與圓x2+y2=1在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求m的取值范圍.[解]∵l:y=-eq\f(\r(3),3)x+m,圓x2+y2=1,∴l(xiāng)可變形為:eq\r(3)x+3y-3m=0,圓的圓心為(0,0),半徑長(zhǎng)r=1.當(dāng)直線和該圓相切時(shí),應(yīng)滿足d=eq\f(|-3m|,\r(3+9))=1,解得m=±eq\f(2\r(3),3).在平面直角坐標(biāo)系中作出圖象,如圖所示,其中l(wèi)2:y=-eq\f(\r(3),3)x+eq\f(2\r(3),3),l3:y=-eq\f(\r(3),3)x-eq\f(2\r(3),3).過原點(diǎn)作直線l0:y=-eq\f(\r(3),3)x,m0:y=-x.∵直線l的斜率k=-eq\f(\r(3),3),直線AB的斜率k=-1,∴只有當(dāng)直線l在移動(dòng)到過A(0,1)后才開始與圓在第一象限內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn),此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線l1:y=-eq\f(\r(3),3)x+1,要使直線與圓在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同交點(diǎn),直線l只有在直線l1和直線l2之間運(yùn)動(dòng)才可,此時(shí)相應(yīng)的m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(2\r(3),3))).∴m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(2\r(3),3))).[類題通法]要注意結(jié)合圖象,得出正確的答案,不能想當(dāng)然.要注意直線之間傾斜程度的比較,像在此例題中,我們要注意比較直線l的斜率k=-eq\f(\r(3),3)與直線AB的斜率k=-1,如果注意到它們的關(guān)系了,就不易出錯(cuò).[活學(xué)活用]2.已知直線l:y=-eq\f(\r(3),3)x+m與圓x2+y2=1在第一象限內(nèi)有交點(diǎn),求m的取值范圍.解:∵l:y=-eq\f(\r(3),3)x+m,圓x2+y2=1,∴l(xiāng)可變形為:eq\r(3)x+3y-3m=0,圓的圓心為(0,0),半徑長(zhǎng)r=1.當(dāng)直線和該圓相切時(shí),應(yīng)滿足d=eq\f(|-3m|,\r(3+9))=1,解得m=±eq\f(2\r(3),3),在平面直角坐標(biāo)系中作出圖象,如下圖所示,其中l(wèi)2:y=-eq\f(\r(3),3)x+eq\f(2\r(3),3),l3:y=-eq\f(\r(3),3)x-eq\f(2\r(3),3).∵直線l與圓在第一象限內(nèi)有交點(diǎn),∴直線l應(yīng)該在過點(diǎn)B(1,0)的直線與切線l2之間才可以,而當(dāng)B(1,0)在直線l上時(shí),m=eq\f(\r(3),3),∴m的范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3),\f(2\r(3),3))).直線與圓的綜合問題[例3]已知圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0相交于P,Q兩點(diǎn),O為原點(diǎn),且OP⊥OQ,求實(shí)數(shù)m的值.[解]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+2y-3=0,x2+y2+x-6y+m=0))消去y,得5x2+10x+4m-27=0,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ=100-204m-27>0①,x1+x2=-2,x1x2=4m-27/5))又OP⊥OQ,∴KOP·KOQ=-1即x1x2+y1y2=0.∴x1·x2+eq\f(1,2)(3-x1)·eq\f(1,2)(3-x2)=0,整理得5x1x2-3(x1+x2)+9=0,∴5×eq\f(4m-27,5)-3×(-2)+9=0.解得m=3滿足①∴實(shí)數(shù)m的值為3.[類題通法]此題設(shè)出P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo),但在求解過程中又不能刻意地求出來,只將它作為一個(gè)轉(zhuǎn)化過程中的橋梁,這種“設(shè)而不求”的解題方法在解析幾何中很常見,要注意認(rèn)真體會(huì)并掌握.[活學(xué)活用]3.自原點(diǎn)O作圓(x-1)2+y2=1的不重合兩弦OA,OB,若|OA|·|OB|=k(定值),證明不論A,B兩點(diǎn)位置怎樣,直線AB恒切于一個(gè)定圓,并求出定圓的方程.解:設(shè)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則|OA|·|OB|=eq\r(x\o\al(2,1)+y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)+y\o\al(2,2))=eq\r(x\o\al(2,1)+[1-x1-12])·eq\r(x\o\al(2,2)+[1-x2-12])=eq\r(4x1x2)=k.∴x1x2=eq\f(k2,4).設(shè)直線AB的方程為y=mx+b,代入已知圓的方程并整理,得(1+m2)x2+2(mb-1)x+b2=0,由韋達(dá)定理,得x1x2=eq\f(b2,1+m2).∴eq\f(b2,1+m2)=eq\f(k2,4).∵原點(diǎn)O到直線mx-y+b=0的距離為eq\f(|b|,\r(1+m2)),∴所求定圓的半徑r滿足r2=eq\f(b2,1+m2)=eq\f(k2,4)(定值).∴直線AB恒切于定圓x2+y2=eq\f(k2,4).eq\a\vs4\al(,,4.利用數(shù)形結(jié)合思想探究與圓有關(guān)的最值問題)[典例]設(shè)點(diǎn)P(x,y)在圓x2+(y-1)2=1上,求eq\r(x-22+y2)的最值.[解]eq\r(x-22+y2)的幾何意義是圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)(2,0)的距離.因?yàn)閳A心(0,1)與定點(diǎn)的距離是eq\r(2-02+0-12)=eq\r(5),圓的半徑是1,所以,eq\r(x-22+y2)的最小值是eq\r(5)-1,最大值是eq\r(5)+1.[多維探究]1.化為求斜率問題求eq\f(y+2,x+1)的最小值.解:法一:令eq\f(y+2,x+1)=t,則方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y+2=tx+1,,x2+y-12=1,))一定有解.消去y,整理得(1+t2)x2+2(t2-3t)x+(t2-6t+8)=0有解.所以,Δ=4(t2-3t)2-4(1+t2)(t2-6t+8)≥0,即6t-8≥0,解得t≥eq\f(4,3).故eq\f(y+2,x+1)的最小值是eq\f(4,3).法二:令eq\f(y+2,x+1)=k,則k表示圓上任一點(diǎn)與(-1,-2)點(diǎn)連線的斜率,∴kx-y+k-2=0,由eq\f(|0-1+k-2|,\r(k2+1))≤1,得k≥eq\f(4,3).∴eq\f(y+2,x+1)的最小值為eq\f(4,3).2.化為求圓心到直線距離問題求直線x-y-2=0上的點(diǎn)到圓的距離的最值.解:圓心為(0,1),到直線x-y-2=0的距離為eq\f(|-1-2|,\r(2))=eq\f(3\r(2),2),因此直線上的點(diǎn)和圓上的點(diǎn)的最大距離為eq\f(3\r(2),2)+1,最小距離為eq\f(3\r(2),2)-1.3.化為求圓心到直線距離問題若圓上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線3x-4y+C=0的距離為eq\f(1,2),求C取值范圍.解:由題意,圓心(0,1)到直線的距離小于eq\f(1,2)即可,則eq\f(|-4+C|,\r(32+42))<eq\f(1,2),解得eq\f(3,2)<C<eq\f(13,2).所以C的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),\f(13,2)))[方法感悟]解與圓有關(guān)的最值問題,要明確其幾何意義:(1)k=eq\f(y-b,x-a)表示圓上的點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)(a,b)連線的斜率,直線方程可與圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程,利用Δ≥0求k的最值;也可用圓心到直線的距離d≤r,求k的最值.(2)直線與圓相離時(shí),直線上的點(diǎn)到圓的距離的最大值為d+r,最小值為d-r.[隨堂即時(shí)演練]1.直線x+eq\r(3)y=0繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30?所得直線與圓x2+y2-4x+1=0的位置關(guān)系是()A.直線與圓相切 B.直線與圓相交但不過圓心C.直線與圓相離 D.直線過圓心解析:選A直線按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30?后,所得直線方程為eq\r(3)x+y=0,由圓的方程可知圓心坐標(biāo)為(2,0),半徑長(zhǎng)為eq\r(3).圓心到直線eq\r(3)x+y=0的距離d=eq\r(3)=r,所以直線與圓相切.2.若直線eq\f(x,a)+eq\f(y,b)=1與圓x2+y2=1有公共點(diǎn),則()A.a(chǎn)2+b2≤1 B.a(chǎn)2+b2≥1C.eq\f(1,a2)+eq\f(1,b2)≤1 D.eq\f(1,a2)+eq\f(1,b2)≥1解析:選D圓的圓心(0,0)到直線bx+ay-ab=0的距離小于或等于圓的半徑1,即eq\f(|b×0+a×0-ab|,\r(a2+b2))≤1,即eq\f(a2+b2,a2b2)≥1,則eq\f(1,a2)+eq\f(1,b2)≥1.3.如果實(shí)數(shù)x,y滿足等式(x-2)2+y2=3,那么eq\f(y,x)的最大值是________.解析:設(shè)eq\f(y,x)=k,則y=kx,(x-2)2+k2x2=3,整理得(1+k2)x2-4x+1=0.∵Δ=16-4(1+k2)≥0,∴-eq\r(3)≤k≤eq\r(3).答案:eq\r(3)4.過點(diǎn)A(2,4)向圓x2+y2=4所引的切線方程為________.解析:顯然x=2為所求切線之一.另設(shè)切線方程為y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0.而eq\f(|4-2k|,\r(k2+1))=2,得k=eq\f(3,4),所以切線方程為3x-4y+10=0,故所求切線為x=2,或3x-4y+10=0.答案:x=2或3x-4y+10=05.已知以點(diǎn)P為圓心的圓過點(diǎn)A(-1,0)和B(3,4),線段AB的垂直平分線交圓P于點(diǎn)C、D,且|CD|=4eq\r(1
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