人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)3.2.1第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性【課件】

3.2.1

單調(diào)性與最大(小)值第1課時(shí)

函數(shù)的單調(diào)性課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.借助函數(shù)的圖象,會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性.2.理解函數(shù)的單調(diào)性的作用和實(shí)際意義.3.會(huì)用定義證明簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性.4.提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力.自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析隨

堂

練

習(xí)

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間的定義1.結(jié)合下列函數(shù)的圖象,分析其變化規(guī)律,回答下列問(wèn)題:(1)對(duì)于函數(shù)f(x)=2x,其定義域?yàn)镽.在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi),圖象從左到右是上升還是下降?函數(shù)值隨x的增大而增大還是減小?(2)對(duì)于函數(shù)f(x)=x2,其定義域?yàn)镽.在區(qū)間(-∞,0)內(nèi),圖象從左到右是上升還是下降?函數(shù)值隨x的增大而增大還是減小?在區(qū)間(0,+∞)內(nèi),圖象從左到右是上升還是下降?函數(shù)值隨x的增大而增大還是減小?提示:(1)上升,增大;(2)下降,減小;上升,增大.2.(1)(2)當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí),稱它是增函數(shù);當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí),稱它是減函數(shù).(3)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間I叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.答案:D【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)如果f(-1)<f(2),那么函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞增.(×)(2)如果f(x)為R上的減函數(shù),那么f(0)>f(1).(√)(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)內(nèi)都單調(diào)遞增,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)內(nèi)單調(diào)遞增.(×

)

合作探究·釋疑解惑探究一

證明函數(shù)的單調(diào)性反思感悟用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(單調(diào)遞減)的一般步驟(1)取值:?x1,x2∈I,且x1<x2.(2)作差變形:作差f(x1)-f(x2),并利用因式分解、配方、通分、分子分母有理化等方法對(duì)差式進(jìn)行變形.(3)定號(hào):確定f(x1)-f(x2)的正負(fù),當(dāng)符號(hào)不確定時(shí),需要進(jìn)行分類討論.(4)下結(jié)論:根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增(單調(diào)遞減)的定義得出結(jié)論.探究二

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)f(x)=-2x+1;(2)f(x)=x2+4x-1;(3)f(x)=|x+1|+|x-2|.解:(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,由函數(shù)圖象(圖略)可知,f(x)在R上單調(diào)遞減,因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,+∞),無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間.(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,其圖象是開口向上的拋物線,拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-2,由圖象(圖略)可知,該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-2].(3)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,該函數(shù)的大致圖象如圖所示:由圖象可知,該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-1].反思感悟

求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本方法(1)利用常用函數(shù)的單調(diào)性:①一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)k>0時(shí),在R上單調(diào)遞增;當(dāng)k<0時(shí),在R上單調(diào)遞減;(2)利用函數(shù)的圖象.對(duì)于分段函數(shù),可以先畫出函數(shù)的圖象,再結(jié)合圖象觀察分析得到其單調(diào)區(qū)間;對(duì)于含有絕對(duì)值的函數(shù),通?？梢赞D(zhuǎn)化為分段函數(shù)后再通過(guò)圖象得到其單調(diào)區(qū)間.【變式訓(xùn)練2】

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并指出該函數(shù)在其單調(diào)區(qū)間上單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減.解:(1)函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間為(-∞,0),(0,+∞),其在區(qū)間(-∞,0),(0,+∞)內(nèi)都單調(diào)遞增.(2)當(dāng)x≥1時(shí),f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x<1時(shí),f(x)單調(diào)遞減,故f(x)的單調(diào)區(qū)間為(-∞,1),[1,+∞),并且函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增.根據(jù)解析式可作出函數(shù)的圖象如圖所示,由圖象可知,函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為(-∞,-1],(-1,0),[0,1),[1,+∞).f(x)在區(qū)間(-∞,-1],[0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(-1,0),[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.探究三

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【例3】

(1)若函數(shù)f(x)=-x2-2(a+1)x+3在區(qū)間(-∞,3]上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

(2)已知函數(shù)y=f(x)是區(qū)間(-∞,+∞)上的增函數(shù),且f(2x-3)>f(5x-6),則實(shí)數(shù)x的取值范圍為

.

解析:(1)函數(shù)f(x)=-x2-2(a+1)x+3圖象的對(duì)稱軸是直線=-(a+1)=-a-1,依題意有-a-1≥3,解得a≤-4.(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)是區(qū)間(-∞,+∞)上的增函數(shù),f(2x-3)>f(5x-6),所以2x-3>5x-6,解得x<1.答案:(1)(-∞,-4]

(2)(-∞,1)將本例中的(1)條件改為:函數(shù)f(x)=-x2-2(a+1)x+3在區(qū)間(-∞,3]上不是單調(diào)函數(shù),則a的取值范圍又如何?解:由(1)知其圖象的對(duì)稱軸為直線x=-a-1,則-a-1<3,解得a>-4.反思感悟1.研究二次函數(shù)的單調(diào)性,首先應(yīng)明確二次函數(shù)圖象的開口方向(二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù))與二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程;已知二次函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時(shí),通常根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的大小關(guān)系建立不等式求解.

2.解抽象函數(shù)不等式問(wèn)題的方法

利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式主要依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì),首先將符號(hào)“f”脫掉,列出關(guān)于未知量的不等式(組),然后求解,要注意函數(shù)的定義域.【變式訓(xùn)練3】

(1)若函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[0,+∞)上的減函數(shù),且f(2)=-1,則滿足f(2x-4)>-1的實(shí)數(shù)x的取值范圍是(

)A.(3,+∞) B.(-∞,3)C.[2,3) D.[0,3)(2)已知函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2a2-1在區(qū)間[-2,2]上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-∞,-1]

B.[-1,3]C.[3,+∞)

D.(-∞,-1]∪[3,+∞)解析:(1)由題意知,f(2x-4)>-1=f(2).因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減,(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2a2-1的圖象開口向上,對(duì)稱軸方程為x=1-a,且f(x)=x2+2(a-1)x+2a2-1在區(qū)間[-2,2]上是單調(diào)函數(shù),所以1-a≥2或1-a≤-2,解得a≤-1或a≥3.故選D.答案:(1)C

(2)D易

錯(cuò)

辨

析混淆“單調(diào)區(qū)間”與“在區(qū)間上單調(diào)”致錯(cuò)【典例】

若函數(shù)y=|x-2a|在區(qū)間(-∞,6]上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.錯(cuò)解:函數(shù)y=|x-2a|的圖象如圖所示.

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(-∞,6]上單調(diào)遞減,所以有2a=6,即a=3.以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯(cuò)解是由于對(duì)“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是(-∞,6]”和“函數(shù)在區(qū)間(-∞,6]上單調(diào)遞減”理解不清,將二者等同起來(lái)而導(dǎo)致的,事實(shí)上,二者的含義是不同的.正解:函數(shù)y=|x-2a|的圖象如圖所示(見(jiàn)錯(cuò)解),因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(-∞,6]上單調(diào)遞減,所以有2a≥6,即a≥3.防范措施單調(diào)區(qū)間是一個(gè)整體的概念,例如函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是I,指的是函數(shù)遞減的最大范圍是區(qū)間I,而函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)遞減,則區(qū)間I是相應(yīng)單調(diào)遞減區(qū)間的子區(qū)間,在解決此類問(wèn)題時(shí),一定要將兩種不同的說(shuō)法區(qū)分開來(lái).答案:m≥1隨

堂

練

習(xí)1.(多選題)下列說(shuō)法正確的是(

)A.若存在x1,x2∈R,當(dāng)x1<x2時(shí),有f(x1)<f(x2),則f(x)在R上單調(diào)遞增B.函數(shù)

在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減C.若函數(shù)f(x)=x2-mx的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,1],則m=2D.若g(x)在R上單調(diào)遞增,則g(-1)<g(1)解析:根據(jù)單調(diào)性的定義知,A不正確,BD正確;因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-mx的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,1],所以函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=1,即

,故m=2,故C正確.答案:BCD2.已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-2,2]上的圖象如圖所示,則此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A.[-2,0]

B.[0,1]C.[-2,1]

D.[-1,1]答案:C3.已知函數(shù)f(x)=2