Gronwall不等式的推廣及其應用1

第頁Gronwall不等式的推廣及其應用摘要：本文主要研究了Gronwall不等式的性質,將Gronwall積分不等式中的非負常數(shù)推廣為非負變量函數(shù);利用Gronwall積分不等式建立了函數(shù)矩陣中的一個Gronwall型積分不等式,并由此證明了一階微分方程及一類函數(shù)矩陣微分方程解的唯一性.關鍵詞：Gronwall不等式;一階微分方程;函數(shù)矩陣微分方程.ThePromotionandApplicationofGronwallInequalityAbstract：Inthispaper，westudythepropertyofGronwallinequality,andgetanewinequalityaboutGronwallinequalityinsteadwith.Furthmore,wegetanotherGronwallinequalityinfunctionalmatrix.Finally,wegettheuniquenessofsolutioninsomeFirstorderdifferentialequationandFunctionmatrixdifferentialequation.Keyword:Gronwallinequality;Firstorderdifferentialequation;Functionmatrixdifferentialequation目錄前言………………………1Gronwall不等式證明……………………1Gronwall不等式的推廣…………………23.1非負變量下的Gronwall不等式……………………23.2函數(shù)矩陣范數(shù)的Gronwall不等式…………………3Gronwall不等式的應用…………………44.1一階微分方程Lipschitz存在唯一性定理中的唯一性問題………………54.2函數(shù)矩陣微分方程解的唯一性……………………6Gronwall不等式的推廣及其應用1.前言在數(shù)學中,Gronwall不等式說明了對于滿足一定的微分方程或積分方程的函數(shù),有相應的關于此微分方程或積分方程的不等式.Gronwall不等式常常被用來估計常微分方程解的取值范圍.比如,它可以用來證明初值問題的解的唯一性.Gronwall不等式的微分形式首先由Gronwall在1919年證明.而積分形式則是由RichardBellman在1943年證明.Gronwall是一位瑞典的數(shù)學家,后來移居美國.由于本文只介紹Gronwall不等式的積分形式,故其微分形式再不做介紹.本文用兩種不同的方法證明了Gronwall不等式,并給出兩個相關的結論.最后給出Gronwall不等式在常微分方程中的應用.2．Gronwall不等式的證明定理2.1(Gronwall不等式)設為非負常數(shù),和為在上的連續(xù)非負函數(shù),且滿足不等式+,則有證明方法一:設,則.用乘不等式的兩邊得即再用乘上式兩邊,得兩邊從到積分,,并由,得所以.方法二:當時,由條件不等式得,兩邊從到積分,得.由上式和條件不等式知當時,這時條件不等式變?yōu)?結論變?yōu)?事實上,對,成立,從而由可知,而由得任意性可知.綜合、可知推論若,和為在上的連續(xù)非負函數(shù),且滿足不等式,則有3．Gronwall不等式的推廣3.1非負變量下的Gronwall不等式在上述討論中,“非負常數(shù)”這個條件可以放寬,下將改為非負函數(shù),可得如下結果：定理3.1設為上的連續(xù)非負函數(shù),滿足且小于無窮.則：.證明：由題意可知：,(1)令,給(1)兩邊乘以可得所以有從而上述命題得證.3.2函數(shù)矩陣范數(shù)的Gronwall積分不等式設,定義3.2.1矩陣上稱為連續(xù)的,如果都是在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).定義3.2.2矩陣上稱為可微的,如果都是在區(qū)間上是可微的.定義3.2.3矩陣上稱為可積的,如果都是在區(qū)間上可積的.定義3.2.4對于和n維向量,我們定義范數(shù):設由上面不難可以得到函數(shù)矩陣范數(shù)的Gronwall型不等式.定理3.2設為非負常數(shù),是閉區(qū)間上的連續(xù)、可微、可積函數(shù)矩陣,且滿足不等式則特別當時,有,推出,推出證明:因,由已知和范數(shù)的性質有由定理2.1推出：.當時,有,推出推出,推出.4.Gronwall不等式在常微分方程中的應用4.1利用定理2.1證明一階微分方程Lipschitz存在唯一性定理中的唯一性問題定義4.1函數(shù)滿足Lipschitz條件,如果存在常數(shù),使得不等式對于所有都成立.L稱為Lipschitz常數(shù).定理4.1已知初值問題有解,則其解是唯一的.證明：初值問題的等價積分方程是設是初值問題的解,假若還另有一解為,則因為有|其中為Lipschitz常數(shù).由定理2.1和推論2.1有|,即|,則.同理可證.4.2用定理2.1證明函數(shù)矩陣