專題03 排列組合（考點串講+9熱考題型）（高教版2021·拓展模塊下冊）（解析版）

專題03排列組合考點串講考點串講考點一、計數(shù)原理（1）分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理基本形式一般形式分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．注意：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，都涉及完成一件事情的不同方法種數(shù)．它們的區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān)，各方法相互獨立，用其中的任何一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān)，各步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成．（2）應(yīng)用兩個原理解題的一般思路注意：明白要完成的事情是什么；分清完成該事情是分類完成還是分步完成，“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系；有無特殊條件的限制；檢驗是否有重復(fù)或遺漏．考點二、排列與組合（1）排列與排列數(shù)排列：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．排列數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Peq\o\al(m,n)表示．排列數(shù)公式的兩種形式：Peq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.Peq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！).全排列：把n個不同的元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，全排列數(shù)為Peq\o\al(n,n)＝n！(叫做n的階乘)．規(guī)定：0?。?.（2）組合及組合數(shù)組合：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Ceq\o\al(m,n)表示．排列與組合的關(guān)系相同點兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素不同點排列問題中元素有序，組合問題中元素?zé)o序關(guān)系組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)與排列數(shù)Peq\o\al(m,n)間存在的關(guān)系:Peq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Peq\o\al(m,m)組合數(shù)公式組合數(shù)公式乘積形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，其中m，n∈N*，并且m≤n階乘形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)規(guī)定：Ceq\o\al(0,n)＝1.組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).性質(zhì)2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).考點三、二項式定理（1）二項式定理定義：一般地，對于任意正整數(shù)，都有：.這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式．式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：，其中的系數(shù)叫做二項式系數(shù)二項式的展開式的特點：項數(shù)：共有項，比二項式的次數(shù)大1；二項式系數(shù)：第項的二項式系數(shù)為，最大二項式系數(shù)項居中；次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到0；字母升冪排列，次數(shù)從0到，每一項中，a，b次數(shù)和均為；二項展開式的通頂公式：公式特點：它表示二項展開式的第項，該項的二項式系數(shù)是；字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同.（2）二頂式系數(shù)及其性質(zhì)的展開式中各項的二頂式系數(shù)、、…具有如下性質(zhì)：對稱性：二項展開式中，與首末兩端“等距離"的兩項的二項式系數(shù)相等，即；增減性與最大值：二項式系數(shù)在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值．其中，當(dāng)為偶數(shù)時，二項展開式中間一項的二項式系數(shù)最大；當(dāng)為奇數(shù)時，二項展開式中間兩項的二項式系數(shù)相等，且最大．各二項式系數(shù)之和為，即：；二項展開式中各奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，即：．二項式系數(shù)與展開式的系數(shù)的區(qū)別：二項展開式中，第項的二項式系數(shù)是組合數(shù)，展開式的系數(shù)是單項式的系數(shù)，二者不一定相等．熱考題型熱考題型類型一、分類加法計數(shù)原理【例1】有5本不同的中文書，4本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的英語書，每次取一本，不同的取法有（

）A．3種 B．12種 C．60種 D．不同于以上的答案【答案】B【解析】依題意，計算不同取法種數(shù)有3類辦法：取一本中文書有5種方法，取一本數(shù)學(xué)書有4種方法，取一本英語書有3種方法，由分類加法計數(shù)原理得：每次取一本，不同的取法有（種）.故選：B.【變式1】從甲地到乙地，若一天中有火車5班、汽車12班、飛機(jī)3班、輪船6班，則一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有不同走法的種數(shù)是（

）A．18 B．20 C．26 D．1080【答案】C【解析】由題意，從甲地到乙地，一天中這些交通工具的每一班都能到達(dá)，根據(jù)分類加法原理知共有5+12+3+6=26種不同走法.故選：C.【變式2】家住廣州的小明同學(xué)準(zhǔn)備周末去深圳旅游，若從廣州到深圳一天中動車組有30個班次，特快列車有20個班次，汽車有40個不同班次.則小明乘坐這些交通工具去深圳的不同的方法有（

）A．240種 B．180種 C．120種 D．90種【答案】D【解析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，得方法種數(shù)為30+20+40=90.故選：D.類型二、分步乘法計數(shù)原理【例1】用1，2，3，4可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（

）A．16 B．24 C．36 D．48【答案】B【解析】先從4個數(shù)中選1個排在百位，有4種；然后從剩下的3個數(shù)中選1個排在十位，有3種；最后從剩下的2個數(shù)中選1個排在個位，有2種；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為4×故選：B.【變式1】學(xué)?；I辦元旦晚會需要從5名男生和3名女生中各選1人作為志愿者，則不同選法的種數(shù)是（

）A．8 B．28 C．20 D．15【答案】D【解析】由題意可知不同選法有3×故選：D.【變式2】某商店共有A，B，C三個品牌的水杯，若甲、乙、丙每人買了一個水杯，且甲買的不是A品牌，乙買的不是C品牌，則這三人買水杯的情況共有（

）A．3種 B．7種 C．12種 D．24種【答案】C【解析】由分步乘法計數(shù)原理可得這三人買水杯的情況共有2×故選：C.類型三、分類加法和分布乘法的結(jié)合【例1】李芳有4件不同顏色的襯衣,3件不同花樣的裙子,另有兩套不同樣式的連衣裙.“五一”節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出,則不同的選擇方式有()A．24種 B．10種 C．9種 D．14種【答案】D【解析】分兩類：第一類：選襯衣加裙子，共有4×3=12第二類：選連衣裙，共有2種選法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理共有14種選法.故選：D.【變式1】中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物（鼠?牛?虎?兔?龍?蛇?馬?羊?猴?雞?狗?豬）中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，已知甲同學(xué)喜歡牛?馬，乙同學(xué)喜歡牛?狗和羊，丙同學(xué)所有的吉祥物都喜歡，讓甲乙丙三位同學(xué)依次從中選一個作為禮物珍藏，若各人所選取的禮物都是自己喜歡的，則不同的選法有（

）A．90種 B．80種 C．60種 D．50種【答案】D【解析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①若甲選擇牛，此時乙的選擇有2種，丙的選擇有10種，此時有2×②若甲選擇馬，此時乙的選擇有3種，丙的選擇有10種，此時有3×則共有20+30=50種選法.故選：D.【變式2】如圖，已知每條線路僅含一條通路，當(dāng)一條電路從M處到N處接通時，不同的線路可以有（

）A．5條 B．6條 C．7條 D．8條【答案】D【解析】由題意知可以按上、下兩條線路分為兩類，上線路中有2條，下線路中有2×根據(jù)分類計數(shù)原理，不同的線路可以有2+6=8條.故選：D.類型四、排列數(shù)的計算【例1】若Pn2=nP【答案】7【解析】由題意知，Pn2=n由n∈N*故答案為：7.【變式1】已知Px2=30，則【答案】6【解析】因為Px2=30，所以xx-解得x=6或x=-故答案為：6.【變式2】計算3!=（

）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】C【解析】由階乘公式計算，3!=3×故選：C.類型五、排列【例1】下列問題是排列問題的是（

）A．從10名同學(xué)中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？B．10個人互相通信一次，共寫了多少封信？C．平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？D．從1，2，3，4四個數(shù)字中，任選兩個相加，其結(jié)果共有多少種？【答案】B【解析】選項A：從10名同學(xué)中選取2名去參加知識競賽，選出的2人并未排序，因而不是排列問題，不合題意；選項B：10個人互相通信一次，選出2人要分出寄信人和收信人，是排列問題，適合題意；選項C：平面上有5個點，任意三點不共線，從中任選2個點即可確定1條直線，這2個點不分順序.因而不是排列問題，不合題意；選項D：從1，2，3，4四個數(shù)字中，任選兩個數(shù)字相加即得1個結(jié)果，這2個數(shù)字不分順序，因而不是排列問題，不合題意.故選：B．【例2】從7本不同的書中選3本送給3個人，每人1本，不同方法的種數(shù)是（

）A．C73 BC．37 D．【答案】B【解析】根據(jù)排列數(shù)的定義，可得從7本不同的書中選3本送給3個人，每人1本，不同方法的種數(shù)是P7故選：B.【變式1】A，B，C三名同學(xué)照相留念，成“一”字形排隊，所有排列的方法種數(shù)為（

）A．3種 B．4種C．6種 D．12種【答案】C【解析】由題意所有排列的方法種數(shù)為P3故答案為：C.【變式2】2024年4月26日南通支云足球隊將在主場迎戰(zhàn)河南隊，組委會安排甲、乙等5人到球場的四個區(qū)域參加志愿服務(wù)，要求每個區(qū)域都有人服務(wù)，且每位志愿者只能服務(wù)一個區(qū)域，則甲、乙兩人被安排到同一區(qū)域的方法種數(shù)為（

）A．18 B．24 C．60 D．120【答案】B【解析】將甲乙捆綁在一起與其他人一起進(jìn)行全排列，共有P4所以將甲、乙兩人被安排到同一區(qū)域的方法種數(shù)為24種.故選：B.類型六、組合數(shù)的計算【例1】計算C3A．34 B．35 C．36 D．37【答案】A【解析】由題意C3故選：A.【變式1】C53+A．5 B．10 C．15 D．20【答案】C【解析】由C5故選：C.【變式2】已知C12x+2=C12A．4 B．5 C．6或7 D．5或7【答案】D【解析】因為C12x+2=C122x-5，則故選：D.類型七、組合【例1】下列四個問題屬于組合問題的是（

）A．從4名志愿者中選出2人分別參加導(dǎo)游和翻譯的工作B．從1、2、3、4這4個數(shù)字中選取3個不同的數(shù)字排成一個三位數(shù)C．從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)參加學(xué)校運動會開幕式D．從全班同學(xué)中選出2名同學(xué)分別擔(dān)任班長、副班長【答案】C【解析】對于A選項，從4名志愿者中選出2人分別參加導(dǎo)游和翻譯的工作，將2人選出后，還要安排導(dǎo)游或翻譯的工作，與順序有關(guān)，這個問題為排列問題；對于B選項，從1、2、3、4這4個數(shù)字中選取3個不同的數(shù)字排成一個三位數(shù)，選出三個數(shù)字之后，還要將這三個數(shù)安排至個位、十位、百位這三個數(shù)位，與順序有關(guān)，這個問題為排列問題；對于C選項，從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)參加學(xué)校運動會開幕式，只需將三名同學(xué)選出，與順序無關(guān)，這個問題為組合問題；對于D選項，從全班同學(xué)中選出2名同學(xué)分別擔(dān)任班長、副班長，將2人選出后，還要安排至班長、副班長兩個職務(wù)，與順序有關(guān)，這個問題為排列問題.故選：C.【例2】從4名女生、6名男生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生組成課外小組，則不同的抽取方法種數(shù)為（

）A．1440 B．120 C．60 D．24【答案】B【解析】從4名女生、6名男生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生，所以抽取的女生人數(shù)為2，男生人數(shù)為3，共有抽取方法為：C4故選：B.【變式1】從4位男同學(xué)5位女同學(xué)中選出3位同學(xué)，男女生都要有的選法有種.【答案】70【解析】若選出的1男2女，此時選法有C4若選出的2男1女，此時選法有C4故男女生都要有的選法有40+30=70種.故答案為：70.【變式2】某班計劃從3位男生和4位女生中選出2人參加辯論賽，并且至少1位女生入選，則不同的選法的種數(shù)為（

）A．12 B．18 C．21 D．24【答案】B【解析】可分兩種情況：第一種情況，只有一位女生入選，不同的選法有C3第二種情況，有2位女生入選，不同的選法有C4根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，至少1位女生入選的不同的選法的種數(shù)為12+6=18種.故選：B.類型八、排列和組合的結(jié)合【例1】五一小長假期間，旅游公司決定從6輛旅游大巴A?B?C?D?E?F中選出4輛分別開往紫蒙湖?美林谷?黃崗梁?烏蘭布統(tǒng)四個景區(qū)承擔(dān)載客任務(wù)，要求每個景區(qū)都要有一輛大巴前往，每輛大巴只開往一個景區(qū)，且這6輛大巴中A?B不去烏蘭布統(tǒng)，則不同的選擇方案共有（

）A．360 B．240 C．216 D．168【答案】B【解析】這6輛旅游大巴，A?B不去烏蘭布統(tǒng)，則不同的選擇方案共有C4故選：B.【變式1】2023年杭州亞運會招募志愿者，現(xiàn)從某高校的6名志愿者中任意選出3名，分別擔(dān)任語言服務(wù)、人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，其中甲、乙2人不能擔(dān)任語言服務(wù)工作，則不同的選法共有種.【答案】80【解析】先從甲、乙之外的4人中選取1人擔(dān)任語言服務(wù)工作，再從剩