二面角 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

1.2.4二面角

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解二面角的有關(guān)概念,理解二面角及二面角的平面角的定義.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握求二面角大小的基本方法及步驟.(直觀想象、邏輯推理)3.能結(jié)合圖形,靈活選擇方法解決與二面角有關(guān)的問(wèn)題.(邏輯推理)教材認(rèn)知·內(nèi)化必備知識(shí)二面角1.二面角的定義及相關(guān)概念(1)半平面:平面內(nèi)的一條直線(xiàn)把平面分成兩部分,________________都稱(chēng)為一個(gè)半平面.(2)二面角:從一條直線(xiàn)出發(fā)的____________所組成的圖形叫做二面角,這條直線(xiàn)叫做二面角的____,____________叫做二面角的面.棱為l,兩個(gè)面分別為α,β的二面角,記作______,若A∈α,B∈β,則二面角也可以記作______,二面角的范圍為_(kāi)____.其中的每一部分兩個(gè)半平面棱每個(gè)半平面α-l-βA-l-B[0,π](3)二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱上___________,以O(shè)為垂足,分別在兩半平面內(nèi)分別作射線(xiàn)OA⊥l,OB⊥l,則________叫做二面角α-l-β的平面角.特別地,二面角是直角的二面角稱(chēng)為直二面角.(4)兩個(gè)相交平面所成的角:兩個(gè)相交平面所形成的四個(gè)二面角中,____________________的角.2.用向量的夾角度量二面角設(shè)平面α與β所成角的大小為θ,n1,n2為兩個(gè)非零向量.(1)當(dāng)n1∥α,n2∥β,n1⊥l,n2⊥l,且n1,n2的方向分別與半平面α,β的延伸方向相同,則θ=<n1,n2>.(2)當(dāng)n1⊥α,n2⊥β,則θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>.任取一點(diǎn)O∠AOB不小于0°且不大于90°點(diǎn)睛

(1)當(dāng)兩個(gè)半平面重合時(shí),二面角的大小為0;當(dāng)兩個(gè)半平面在同一平面內(nèi),且延伸方向相反時(shí),二面角的大小為π.(2)二面角的平面角必須具備三個(gè)條件:一是“棱上”,即二面角的平面角的頂點(diǎn)必須在棱上;二是“面內(nèi)”,即角的兩邊必須分別在兩個(gè)平面內(nèi);三是“垂直”,即角的兩邊必須都與棱垂直.二面角的平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān),頂點(diǎn)在棱上的不同位置所作的平面角是相等的.(3)二面角的大小θ與兩個(gè)面的法向量n1,n2的夾角相等或互補(bǔ),則有sinθ=sin<n1,n2>或者cosθ=±cos<n1,n2>.【質(zhì)疑辨析】(1)二面角是指兩個(gè)平面相交的圖形.(

)提示:二面角是指從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形.(2)二面角的平面角的兩條邊分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)且都與棱垂直.(

)提示:根據(jù)二面角的平面角的定義可得.(3)二面角的大小等于其兩個(gè)半平面的法向量的夾角的大小.(

)提示:二面角的大小等于其兩個(gè)半平面的法向量的夾角或補(bǔ)角的大小.×√×合作探究·形成關(guān)鍵能力

【總結(jié)升華】1.找二面角的平面角的方法(1)定義法:由二面角的平面角的定義可知平面角的頂點(diǎn)可根據(jù)具體題目選擇棱上一個(gè)特殊點(diǎn),求解用到的是解三角形的有關(guān)知識(shí).(2)垂面法:作(找)一個(gè)與棱垂直的平面,與兩面的交線(xiàn)就構(gòu)成了平面角.(3)垂線(xiàn)法:三垂線(xiàn)定理(或逆定理)作平面角,這種方法最為重要,其作法與三垂線(xiàn)定理(或逆定理)的應(yīng)用步驟一致.2.用定義求二面角的步驟(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角時(shí)多用三垂線(xiàn)定理);(2)證明所作平面角即為所求二面角的平面角;(3)解三角形求角.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,在三棱錐P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.(1)求證:PC⊥AB;(2)求二面角B-AP-C的正弦值.【解析】(1)取AB中點(diǎn)D,連接PD,CD,因?yàn)锳P=BP,所以PD⊥AB.因?yàn)锳C=BC,所以CD⊥AB,又PD∩CD=D,故AB⊥平面PCD,又PC?平面PCD,所以PC⊥AB.

【總結(jié)升華】用三垂線(xiàn)定理或逆定理作二面角的平面角的作法(1)在其中一個(gè)面內(nèi)找一特殊點(diǎn)A,過(guò)A作另一個(gè)平面的垂線(xiàn),垂足為B;(2)過(guò)