《通信系統(tǒng)原理》課件第2章

2.1信號和系統(tǒng)的分類

2.2周期和非周期信號的頻譜分析

2.3傅里葉變換的運(yùn)算特性

2.4譜密度和帕塞瓦爾定理

2.5信號通過線性系統(tǒng)的不失真?zhèn)鬏敆l件

2.6波形的相關(guān)

2.7基于MATLAB的信號處理

思考題

習(xí)題

第2章確知信號分析2.1信號和系統(tǒng)的分類通信系統(tǒng)中信號的變換和傳輸是由很多部件共同完成的，可以把整個(gè)通信系統(tǒng)稱為一個(gè)系統(tǒng)，也可以把其中幾個(gè)部件稱為一個(gè)系統(tǒng)。信號在系統(tǒng)中的變換和傳輸可以用圖2.1表示，圖中假設(shè)輸入信號為x(t)，通過系統(tǒng)后得到的輸出響應(yīng)為y(t)。在分析x(t)和y(t)的頻譜，并研究x(t)通過系統(tǒng)求輸出響應(yīng)y(t)的各種方法之前，先對信號和系統(tǒng)進(jìn)行簡單的分類，以便根據(jù)信號和系統(tǒng)不同的性質(zhì)，來采取不同的分析計(jì)算方法。圖2.1系統(tǒng)中的信號的傳輸與變換2.1.1信號的分類

1.確知信號和隨機(jī)信號可以用明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示的信號稱為確知信號。如果信號沒有明確的數(shù)學(xué)表示式，當(dāng)給定一個(gè)時(shí)間值時(shí)，信號的數(shù)值并不確定，通常只知道它取某個(gè)數(shù)值的概率，則稱這種信號為隨機(jī)信號。研究隨機(jī)信號時(shí)，應(yīng)采用統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)和方法。

實(shí)際的信號，不論是模擬的還是數(shù)字的，通常都是隨機(jī)的，此外，通信系統(tǒng)中普遍存在的噪聲幾乎都是隨機(jī)的，這就確定了隨機(jī)信號分析在本課程中的重要性。但隨機(jī)信號有時(shí)也可以當(dāng)作確知信號加以分析，例如數(shù)字信號中常用的二進(jìn)制代碼，雖然二進(jìn)制代碼本身是隨機(jī)的，但其中單個(gè)的1碼或0碼都可以看做確知信號。另外，隨機(jī)信號的分析方法與確知信號的分析方法有很多共同的地方。因此，確知信號的分析方法是信號分析的基礎(chǔ)。

2．周期信號和非周期信號如果信號x(t)滿足x(t)=x(t+T0)，-∞<t<∞，T0>0，則稱x(t)為周期信號，T0

稱為周期。反之，不能滿足上述關(guān)系的信號稱為非周期信號。

3．功率信號和能量信號如果一個(gè)電流或電壓信號x(t)作用在1Ω電阻上，瞬時(shí)功率為|x(t)|2，則在(-T/2，T/2)時(shí)間內(nèi)消耗的能量為

(2.1)而平均功率為

(2.2)

當(dāng)T→∞時(shí)，如果E存在，則x(t)稱為能量信號，此時(shí)平均功率S=0。反之，如果T∞，E不存在(無窮大)而S存在，則x(t)稱為功率信號。周期信號一定是功率信號，非周期信號可以是功率信號，也可以是能量信號。2.1.2系統(tǒng)的分類圖2.1所示的系統(tǒng)輸入信號x(t)和輸出響應(yīng)y(t)之間存在著如下的函數(shù)關(guān)系式:y(t)=f[x(t)](2.3)

從這個(gè)函數(shù)關(guān)系式的特點(diǎn)出發(fā)，可以將系統(tǒng)分為線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)、時(shí)不變系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)以及物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)和物理不可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)等三類。一個(gè)系統(tǒng)如果是線性的，那么疊加原理一定適用。例如圖2.1所示的系統(tǒng)，假設(shè)x1(t)的響應(yīng)為y1(t)，x2(t)的響應(yīng)為y2(t)，那么當(dāng)輸入為［x1(t)+x2(t)］時(shí)，疊加原理適用時(shí)的輸出響應(yīng)為［y1(t)+y2(t)］。它表明一個(gè)激勵(lì)的存在并不影響另一個(gè)激勵(lì)的響應(yīng)。凡是不滿足疊加原理的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)內(nèi)一個(gè)激勵(lì)的存在將影響另一個(gè)激勵(lì)的響應(yīng)。參數(shù)不隨時(shí)間變化的系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)，而參數(shù)隨時(shí)間變化的系統(tǒng)稱為時(shí)變系統(tǒng)。如果輸入信號x(t)和響應(yīng)y(t)滿足：當(dāng)y(t)=f［x(t)］時(shí)，y(t-t0)=f［x(t-t0)］，-∞<t，t0<∞(2.4)則系統(tǒng)是時(shí)不變的，反之，系統(tǒng)是時(shí)變的。時(shí)變系統(tǒng)也稱為變參(隨參)系統(tǒng)，時(shí)不變系統(tǒng)也稱為恒參系統(tǒng)。2.2周期和非周期信號的頻譜分析2.2.1周期信號用傅里葉級數(shù)展開的三種表示式

1.基本表示式任意一個(gè)周期為T0的周期函數(shù)f(t)，只要滿足狄里赫利條件，即：在一個(gè)周期內(nèi)，周期信號f(t)滿足：

(1)絕對可積；

(2)只有有限個(gè)極大值和極小值；

(3)只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，并且在這些不連續(xù)點(diǎn)上，f(t)的函數(shù)值必須是有限值，則f(t)可以展開為傅里葉級數(shù)

(2.5)其中:ω0=2π/T0為基波角頻率；f0=1/T0為基波頻率；

(2.6)是f(t)的平均值(直流分量)；(2.7)

是f(t)的第n次余弦波的振幅；

(2.8)

是f(t)的第n次正弦波的振幅。如果f(t)=f(-t)，函數(shù)呈偶對稱，則Bn=0，只有余弦項(xiàng)。如果f(t)=-f(-t)，函數(shù)呈奇對稱，則An=0，只有正弦項(xiàng)。

2.余弦函數(shù)表示式由于Ancosnω0t+Bnsinnω0t=Cncos(nω0t-φn)，其中

由此得到f(t)的另一種表示式為

(2.9)

其中C0=A0。或者

3.指數(shù)函數(shù)表示式

由尤拉公式cosx=(ejx+e-jx)/2，可以得到(2.10)

其中,

(2.11)并且有

(2.12)

4.三種表示式的關(guān)系基本表示式的各種系數(shù)都有相應(yīng)的計(jì)算公式，但是由于一個(gè)頻率成分要用互相正交的兩項(xiàng)表示，使用起來不方便。如果把同頻率的兩項(xiàng)合并就得到了余弦函數(shù)表示式，則這種表示式物理概念清楚，每個(gè)頻率成分的振幅和相位清楚，但是振幅和相位的計(jì)算比較復(fù)雜。指數(shù)函數(shù)表示式是由余弦表示式從數(shù)學(xué)上推導(dǎo)得到的，一個(gè)頻率為nω0的正弦波變?yōu)閚ω0和-nω0兩個(gè)頻率成分的指數(shù)函數(shù)。這種表示式?jīng)]有什么物理意義，純屬數(shù)學(xué)上的表示式，但它是傅里葉變換推導(dǎo)的基礎(chǔ);另外，它作為一種中間運(yùn)算工具很有用處，是本課程中最常用的一種表示式。2.2.2典型周期信號的頻譜分析

1.周期矩形脈沖的傅里葉級數(shù)展開式一個(gè)典型的周期矩形脈沖如圖2.2所示，脈沖寬度為τ，幅度為A，周期為T0。圖中，函數(shù)關(guān)于縱坐標(biāo)軸對稱，呈偶函數(shù)形式，因此Bn=0。

圖2.2周期矩形脈沖經(jīng)計(jì)算，A0=C0=V0=Aτ/T0是直流成分,

(2.13)因此

(2.14)其指數(shù)函數(shù)表示式為

(2.15)

式(2.15)的展開式中出現(xiàn)了一個(gè)重要的函數(shù)形式，如果令x=nω0τ/2，則得到sinx/x這樣的函數(shù)形式，稱為抽樣函數(shù)，用符號Sa(x)表示，即(2.16)

函數(shù)Sa(x)在頻譜分析中經(jīng)常要用到，如圖2.3所示。用羅比塔法則可以求得Sa(0)=1，而當(dāng)x=±π，±2π，…，±kπ時(shí)，Sa(x)=0。

圖2.3抽樣函數(shù)Sa(x)

2.周期矩形脈沖的頻譜和頻譜圖周期信號的傅里葉級數(shù)展開式的物理意義是把信號分解成很多頻率成分的正弦波。周期信號為T0的信號分解后，包含有直流和ω0(基波)，2ω0，3ω0，…，nω0等頻率分量。周期信號的頻譜是離散頻譜。將周期信號展開成如式(2.9)所示的傅里葉級數(shù)后，每個(gè)頻率成分的余弦波具有一定的振幅和相位。因此，頻譜包含振幅頻譜(振幅和頻率的關(guān)系)和相位頻譜(相位和頻率的關(guān)系)。如果將它們畫成圖，就稱為頻譜圖。振幅與頻率的關(guān)系圖稱為振幅頻譜圖，相位與頻率的關(guān)系圖稱為相位頻譜圖。由圖2.2所示的周期矩形脈沖的指數(shù)函數(shù)展開式(2.15)可知其復(fù)振幅為

Vn是離散出現(xiàn)的，當(dāng)n=0，±1，±2，±3，…即ω=0，±ω0，±2ω0，±3ω0，…時(shí)，圖2.4周期矩形脈沖頻譜圖

Vn與ω的關(guān)系曲線如圖2.4所示，圖中畫出了τ不變而T0分別為5τ和10τ時(shí)的頻譜圖。頻譜圖按照Sa(ωτ/2)的曲線(虛線)變化，第一個(gè)零點(diǎn)出現(xiàn)在|ω|=2π/τ處。圖2.4(a)中，從ω=0到第一個(gè)零點(diǎn)之間有4條離散頻譜，而圖2.4(b)中則增加到9條。周期矩形脈沖頻譜有兩個(gè)特點(diǎn)：一是離散性，即頻譜由不連續(xù)線條組成；二是諧波性，即譜線條之間的距離相等。諧波頻率與基波頻率間有簡單的整數(shù)倍關(guān)系。2.2.3非周期信號的頻譜函數(shù)由式(2.10)和式(2.11)可知，當(dāng)T0→∞時(shí)，周期信號就變成了非周期信號。用積分代替求和運(yùn)算，可以得到

(2.17)其中, (2.18)稱為頻譜函數(shù)。通常用F(ω)=F［f(t)］表示，稱為傅里葉正變換，簡稱傅里葉變換，而用f(t)=F-1［F(ω)］表示，稱為傅里葉反變換或傅里葉逆變換。在圖2.2所示的矩形脈沖中，當(dāng)τ不變而T0→∞時(shí)，由圖2.4可以看出，此時(shí)頻譜的幅度趨于0，而間隔也趨于0，離散譜變成了連續(xù)譜。利用傅里葉變換，可以求出此非周期矩形脈沖的頻譜函數(shù)為

(2.19)當(dāng)A=1時(shí)，有稱為門函數(shù)，用符號Gτ(t)或Dτ(t)表示，本書統(tǒng)一用Dτ(t)表示門函數(shù)。門函數(shù)的頻譜函數(shù)F(ω)=F［Dτ(t)］=τSa(ωτ/2)。2.2.4周期信號的頻譜函數(shù)如前所述，周期信號可以展開為傅里葉級數(shù)，而非周期信號具有頻譜函數(shù)。那么，周期信號有沒有頻譜函數(shù)呢？當(dāng)引入δ函數(shù)后，答案是肯定的。單位沖激函數(shù)用δ(t)表示，

(2.20)且。單位沖激函數(shù)的頻譜函數(shù)為

(2.21)

F［δ(t)］=1是一個(gè)很重要的概念，表明單位沖激函數(shù)所有頻率分量的相對振幅都是1。利用傅里葉反變換，有

(2.22)由此得到F[1]=2

(

),F[A]=2

A

(

)

(2.23)單位矩形脈沖的τ→∞時(shí)，振幅為1，而單位矩形脈沖的頻譜函數(shù)為τSa(ωτ/2)，由此得到

(2.24)

一個(gè)周期信號f(t)可以展開為傅里葉級數(shù)其中ω0=2π/T0。要求出f(t)的頻譜函數(shù)，首先要求出的頻譜函數(shù)，求解的基本思路是先對截取一段時(shí)間(-τ/2，τ/2)，求出這段時(shí)間內(nèi)的傅里葉變換，再令τ/2→∞，即可求出的頻譜函數(shù)為把式(2.24)代入上式，得(2.25)因此

(2.26)

式(2.26)就是周期信號的頻譜函數(shù)。2.2.5常用信號的頻譜函數(shù)本書中常用的信號有矩形脈沖、升余弦脈沖、三角脈沖、沖激函數(shù)等;此外，諸如梯形脈沖、余弦脈沖、階躍函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等信號也會(huì)遇到;還有些信號在相關(guān)課程的學(xué)習(xí)中會(huì)有所涉及。本書收集了一些常用信號，將它們的時(shí)間函數(shù)f(t)和頻譜函數(shù)F(ω)列于表2.1中，供今后使用時(shí)參考。2.3傅里葉變換的運(yùn)算特性通過傅里葉變換關(guān)系式，原則上給出一個(gè)f(t)就可以求出它的F(ω)，反之，給出一個(gè)F(ω)就可以求出它的f(t)。f(t)和F(ω)各自具有不同的適用場合，如果最終需要求出信號的波形，則用時(shí)域表示式f(t)；如果最終需要求出信號的頻譜帶寬，則用頻域表示式F(ω)。信號通過通信系統(tǒng)傳輸?shù)倪^程中，經(jīng)常會(huì)遇到諸如線性放大、時(shí)延、微分、積分、兩個(gè)信號相乘、濾波等過程，如果對這些常用的變換直接導(dǎo)出一些定理，那么應(yīng)用起來就比較方便。表2.2給出了常用的傅里葉變換的運(yùn)算特性，這些變換在“電路、信號與系統(tǒng)”課程中已經(jīng)學(xué)習(xí)過。2.4譜密度和帕塞瓦爾定理前面兩節(jié)回顧了信號的時(shí)間函數(shù)與頻譜函數(shù)之間的變換關(guān)系，以及信號傳輸過程中輸入、輸出波形與頻譜之間的關(guān)系。本節(jié)討論信號的能量譜密度和功率譜密度，并將它們與頻譜函數(shù)F(ω)或復(fù)振幅Vn聯(lián)系起來，最后由能量譜密度或功率譜密度來確定信號的帶寬。2.4.1功率和能量的一般計(jì)算公式設(shè)f(t)為電流，當(dāng)它通過電阻R時(shí)，瞬時(shí)功率p(t)=f2(t)R，在-T/2~T/2時(shí)間內(nèi)消耗的能量為平均功率為如果f(t)為電壓，當(dāng)它作用在電阻R時(shí)，則瞬時(shí)功率p(t)=f2(t)/R，在-T/2~T/2時(shí)間內(nèi)消耗的能量為平均功率為

為運(yùn)算方便起見，對上述計(jì)算公式進(jìn)行歸一化，即令R=1Ω，此時(shí)不論f(t)是電流還是電壓，均可以把公式簡化為p(t)=f2(t)(2.27)

(2.28)(2.29)

1.能量信號當(dāng)T→∞時(shí)，如果為有限值，則稱為能量信號，此時(shí)平均功率S=0，因此只能用能量來表示信號，而不能用平均功率來表示信號。能量信號的能量計(jì)算公式為(2.30)

2.功率信號

當(dāng)T→∞時(shí)，如果，則不能用能量來表示信號，而只能用平均功率來表示信號，因此稱能量E不存在而平均功率S存在的信號為功率信號。周期信號的平均功率可以在一個(gè)周期T0內(nèi)求出，即

T0為周期(2.31)

只要f(t)周期內(nèi)不出現(xiàn)無窮大的值，S一定存在。周期信號都是功率信號。

3.能量信號、功率信號、周期信號、非周期信號之間的關(guān)系一個(gè)實(shí)用的信號要么是能量信號，要么是功率信號。如果信號是能量信號，則存在，且S=0；如果信號是功率信號，則不存在，而S存在。周期信號必定是功率信號，非周期信號可以是能量信號，也可以是功率信號。當(dāng)存在且S=0時(shí)，非周期信號是能量信號；當(dāng)時(shí)，非周期信號是功率信號，例如階躍函數(shù)f(t)=U(t)就是功率信號。2.4.2帕塞瓦爾定理帕塞瓦爾定理是一個(gè)把能量E(或者平均功率S)與頻譜函數(shù)F(ω)(或復(fù)振幅Vn)聯(lián)系起來的定理，即通過F(ω)(或Vn)來求信號的能量E(或者平均功率S)，它對于確定信號的帶寬非常有用。對于能量信號f(t)，設(shè)F［f(t)］=F(ω)，則

(2.32)

對于周期為T0的周期性功率信號f(t)，設(shè)則

(2.33)

帕塞瓦爾定理的物理意義在于，它把信號能量E或者平均功率S的計(jì)算與頻譜函數(shù)F(ω)或者復(fù)振幅Vn聯(lián)系起來。這樣就有了兩種計(jì)算E或S的方法，可以在給出信號時(shí)間函數(shù)的情況下求出E或S，也可以在給出F(ω)或Vn的情況下求出E或S。如果信號的某種表達(dá)式計(jì)算起來不方便，則可以通過另一種方法計(jì)算。帕塞瓦爾定理給出了一個(gè)很重要的概念，即能量信號的總能量等于各個(gè)頻率分量單獨(dú)貢獻(xiàn)出來的能量的積分，而周期性功率信號的平均功率等于各個(gè)頻率分量單獨(dú)貢獻(xiàn)出來的平均功率的和。不同頻率間的乘積對信號的能量和功率沒有任何影響。2.4.3能量譜密度G(ω)和功率譜密度P(ω)由和可以看出，E和S是由很多頻率成分組成的。那么，單位頻率的能量和功率又是多大？它們是如何分布的？單位頻率的能量稱為能量譜密度，用G(ω)表示；單位頻率的功率稱為功率譜密度，用P(ω)表示。因此有

(2.34)(2.35)

G(ω)和P(ω)分別表示信號沿頻率軸分布的情況，對于每一個(gè)頻率f上都有可能存在G(ω)和P(ω)，在某個(gè)很小的頻率范圍df內(nèi)，存在能量G(ω)df或功率P(ω)df。G(ω)的單位為J/Hz，P(ω)的單位為W/Hz。

G(ω)和F(ω)的關(guān)系滿足

G(ω)=|F(ω)|2

(2.36)這也是G(ω)的計(jì)算公式。由于|F(ω)|2=|F(-ω)|2，因此G(ω)是實(shí)偶函數(shù)，能量計(jì)算公式可以簡化為

(2.37)

周期信號的P(ω)的計(jì)算公式為

(2.38)

周期信號的功率譜密度是離散的，而且都是沖激函數(shù)。對于Vn不為零的nω0成分，具有一定的功率，這與非周期信號不同。非周期功率信號的P(ω)的表示式為

(2.39)

由于|FT(ω)|2是實(shí)偶函數(shù)，因此

(2.40)

表2.3列出了各種信號的能量E、平均功率S、能量譜密度G(ω)、功率譜密度P(ω)和帕塞瓦爾定理的表示式。由表中可見，G(ω)和P(ω)都只與振幅頻譜有關(guān)，而與相位頻譜無關(guān)，因此，從G(ω)和P(ω)中只能獲得信號的振幅信息，而得不到信號的相位信息。2.4.4信號帶寬B研究G(ω)和P(ω)的目的，主要是為了研究信號能量或功率在頻域內(nèi)的分布規(guī)律，以便合理選擇信號的通頻帶，對傳輸電路提出恰當(dāng)?shù)念l帶要求，盡量做到在信號不失真或少失真的條件下提高信噪功率比。

帶寬這個(gè)名稱在通信系統(tǒng)中經(jīng)常出現(xiàn)，而且常常代表不同的含義，因此在這里先對帶寬這個(gè)術(shù)語做一些說明。從通信系統(tǒng)中信號的傳輸過程來說，實(shí)際上遇到兩種不同含義的帶寬：一種是信號或者噪聲的帶寬，這是由信號或者噪聲的能量譜密度G(ω)或者功率譜密度P(ω)在頻域上的分布規(guī)律確定的，也就是本節(jié)所要定義的帶寬；另一種是信道的帶寬，這是由傳輸電路的傳輸特性決定的。信號帶寬的符號用B表示，單位為Hz；信道帶寬的符號一般也用B表示，單位也是Hz。在用到帶寬時(shí)，將指明是信道帶寬還是信號帶寬。從理論上講，除極少數(shù)信號外，信號頻譜的分布都是無窮寬的。如果把凡是有信號頻譜的范圍都算作帶寬，那么很多信號的帶寬就變?yōu)闊o窮大了，顯然這樣定義帶寬是不恰當(dāng)?shù)摹Ｒ话阈盘栯m然頻譜很寬，但是絕大部分實(shí)用信號的主要能量或功率都是集中在某個(gè)不太寬的頻率范圍內(nèi)的。因此，通常根據(jù)信號能量或功率集中分布的情況，恰當(dāng)?shù)囟x信號的帶寬。常用的定義信號帶寬的方法有以下三種。

1.以集中一定百分比的能量或功率來定義對于能量信號，可以由(2.41)求出B，其中γ是一個(gè)人為設(shè)定的百分比。由于因此帶寬B是指正頻率區(qū)域(不計(jì)負(fù)頻率區(qū)域)。如果信號是低頻信號，那么能量集中在低頻區(qū)域，就是在0~B頻率范圍內(nèi)的能量。同樣，對于功率信號，可由

(2.42)求出B。百分比γ可以取90%、95%或99%等。

2.以能量譜或功率譜下降3dB內(nèi)的頻率間隔作為帶寬對于頻率軸上具有明顯的單峰形狀或者一個(gè)明顯的主峰的能量譜密度或功率譜密度的信號，并且峰值位于f=0處，則信號帶寬B定義為正頻率軸上的G(ω)或P(ω)下降到3dB(半功率點(diǎn))處所對應(yīng)的頻率間隔，如圖2.5所示。在G(f)—f曲線中，由G(f1)=G(0)/2或者P(f1)=P(0)/2可以得到

B=f1

(2.43)

圖2.5半功率帶寬

3.等效矩形帶寬用一個(gè)矩形的頻譜代替信號的頻譜，矩形頻譜具有的能量與信號的能量相等，矩形頻譜的幅度為信號頻譜在f=0時(shí)的幅度，如圖2.6所示。由或者可以得到(2.44)或者(2.45)圖2.6等效矩形帶寬2.5信號通過線性系統(tǒng)的不失真?zhèn)鬏敆l件2.5.1信號通過線性系統(tǒng)的分析信號通過線性系統(tǒng)如圖2.7所示，圖中h(t)為線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，H(ω)為線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，并且有H(ω)=F［h(t)］，h(t)=F-1［H(ω)］。時(shí)間卷積公式為

圖2.7信號通過線性系統(tǒng)實(shí)際系統(tǒng)的時(shí)間卷積公式為

(2.46)

如果信號從t=0開始，則

(2.47)

現(xiàn)在分析輸出能量譜密度Go(ω)(或者功率譜密度Po(ω))與輸入能量譜密度Gi(ω)(或者輸入功率譜密度Piω))的關(guān)系。由圖2.7可以知道，信號為能量信號時(shí)，輸入端Gi(ω)=|X(ω)|2，輸出端Y(ω)=H(ω)X(ω)，因此Go(

)=|Y(

)|2=|H(

)|2|X(

)|2=|H(

)|2Gi(

)

(2.48)采用同樣的方法，當(dāng)信號為非周期功率信號時(shí)，有

YT(ω)=H(ω)XT(ω)因此(2.49)

2.5.2信號通過線性系統(tǒng)的不失真條件所謂不失真?zhèn)鬏?，是指信號?jīng)過線性系統(tǒng)后，輸出信號與輸入信號相比較只有衰減、放大和時(shí)延，而沒有波形的失真，用數(shù)學(xué)式表示就是

y(t)=±K0x(t-td)(2.50)其中:K0是衰減或放大系數(shù);td是時(shí)延常數(shù)?！啊馈敝械摹?”表示輸出信號與輸入信號相比只是反了一個(gè)相，這種情況在本書中也認(rèn)為是不失真的。

設(shè)X(ω)是輸入信號x(t)的頻譜函數(shù)，則(2.51)|H(ω)|=K0(2.52)φ(ω)=-ωtd±m(xù)π，m為整數(shù)(2.53)

圖2.8是信號通過線性系統(tǒng)不產(chǎn)生失真時(shí)的條件。如果用文字來表述，任意一個(gè)信號通過線性系統(tǒng)不產(chǎn)生波形失真，應(yīng)該具備下面兩個(gè)條件：

(1)系統(tǒng)的振幅頻率特性應(yīng)該是一個(gè)不隨頻率變化的常數(shù)，如圖2.8(a)所示。

(2)系統(tǒng)的相位頻率特性應(yīng)該與頻率成直線關(guān)系，而且該直線應(yīng)該通過原點(diǎn)或者±m(xù)πtd，如圖2.8(b)所示。圖2.8信號通過線性系統(tǒng)的不失真?zhèn)鬏敆l件在實(shí)際應(yīng)用中，由于信號的帶寬是有限的，因此當(dāng)傳輸有限帶寬的信號時(shí)，只要求在信號帶寬范圍內(nèi)滿足上述條件即可。對于無線電通信系統(tǒng)，信號是通過調(diào)制的頻帶信號，例如簡單的調(diào)幅信號

x(t)=［1+(m1cosΩ1t+m2cosΩ2t)］cosω0t=A(t)cosω0t對于這種已調(diào)信號的傳輸，往往只要求包絡(luò)A(t)不失真即可。此時(shí)，不失真的條件將放寬為:(1)在信號的頻帶內(nèi)滿足|H(ω)|=K0。(2)在信號的頻帶內(nèi)滿足φ(ω)—ω關(guān)系為直線，或者τ(ω)=dφ(ω)/dφ(ω)為常數(shù)，或者φ(ω)=-ωtd+φ02.6波形的相關(guān)2.6.1互相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)

1.互相關(guān)函數(shù)對于周期功率信號，設(shè)v1(t)和v2(t)是兩個(gè)周期功率信號，則它們之間的互相關(guān)程度用互相關(guān)函數(shù)R12(τ)表示，定義為

(2.54)對于一般功率信號，設(shè)v1(t)和v2(t)為非周期功率信號，則

(2.55)

對于能量信號，設(shè)v1(t)和v2(t)為能量信號，則(2.56)

互相關(guān)函數(shù)除了與v1(t)和v2(t)有關(guān)外，還與τ有關(guān)。

2.自相關(guān)函數(shù)當(dāng)v1(t)=v2(t)時(shí)，互相關(guān)函數(shù)就變成為自相關(guān)函數(shù)，因此，仿照互相關(guān)函數(shù)的定義可以得到自相關(guān)函數(shù)的定義。對于非周期功率信號，設(shè)信號為v(t)，自相關(guān)函數(shù)為R(τ)，則

(2.57)

如果是周期信號，則

(2.58)

對于能量信號，有(2.59)2.6.2歸一化相關(guān)函數(shù)和相關(guān)系數(shù)相關(guān)函數(shù)R12(τ)和R(τ)不僅與τ有關(guān)，而且與波形的形狀和幅度大小有關(guān)，所以不易直接從數(shù)值的大小判斷相關(guān)的程度。下面介紹的歸一化相關(guān)函數(shù)和相關(guān)系數(shù)則可以比較明顯地看出兩個(gè)信號之間的相關(guān)程度。設(shè)函數(shù)為v1(t)和v2(t)，R11(τ)是v1(t)的自相關(guān)函數(shù)，R22(τ)是v2(t)的自相關(guān)函數(shù)，R1，2(τ)是v1(t)和v2(t)的互相關(guān)函數(shù)。定義v1(t)和v2(t)的歸一化自相關(guān)函數(shù)分別為和(2.60)

定義歸一化互相關(guān)函數(shù)為

(2.61)

定義v1(t)和v2(t)的互相關(guān)系數(shù)ρ12為(2.62)

相關(guān)系數(shù)與τ無關(guān)?；ハ嚓P(guān)系數(shù)ρ12的數(shù)值在-1~+1之間變化，即-1≤ρ12≤1。當(dāng)v1(t)=v2(t)時(shí)，ρ12=1，這就是自相關(guān)系數(shù)；當(dāng)v1(t)=-v2(t)時(shí)，ρ12=-1；當(dāng)v1(t)與v2(t)不相關(guān)時(shí)，ρ12=0。

例如果函數(shù)v1(t)=Asinω0t，函數(shù)v2(t)=Asin(ω0t+π)，試求兩個(gè)函數(shù)的互相關(guān)系數(shù)ρ12。

解

R11(0)=R22(0)=S=A2/2，且所以ρ12=-1?，F(xiàn)在歸納一下相關(guān)函數(shù)與譜密度G(ω)或P(ω)的關(guān)系。假設(shè)v1(t)與v2(t)是能量信號，它們的傅里葉變換分別為V1(ω)和V2(ω)，即F［v1(t)］=V1(ω)，F(xiàn)［v2(t)］=V2(ω)將F[R12(

)]=V1*(

)V2(

)稱為互能量譜密度，其中V1*(

)=V1(–

)。對于自相關(guān)函數(shù)，則有F[R(

)]=V*(

)V(

)=|V(

)|2

=G(

)，它就是能量譜密度。也就是說，能量信號的互相關(guān)函數(shù)R12(τ)與互能量譜密度V1*(

)V2(

)為傅里葉變換對；能量信號的自相關(guān)函數(shù)R(τ)與能量譜密度G(ω)為傅里葉變換對。如果用數(shù)學(xué)符號表示，則分別為:

R12(

)

V1*(

)V2(

)

(2.63)

R(τ)

G(ω)

(2.64)同樣，周期功率信號的自相關(guān)函數(shù)R(τ)與功率譜密度P(ω)為傅里葉變換對，表示為

(2.65)

非周期功率信號的自相關(guān)函數(shù)R(τ)與功率譜密度P(ω)為傅里葉變換對，表示為(2.66)2.7基于MATLAB的信號處理

MATLAB是一個(gè)集數(shù)學(xué)運(yùn)算、圖形處理、程序設(shè)計(jì)和系統(tǒng)建模為一體的著名編程語言軟件。它具有功能強(qiáng)大、使用簡單等優(yōu)點(diǎn)，是進(jìn)行科學(xué)研究和工程實(shí)踐的有力工具。本節(jié)將給出常用信號的傅里葉變換的MATLAB分析。2.7.1MATLAB概述

MATLAB采用交互式語言形式，開發(fā)環(huán)境直觀簡潔，以矩陣作為基本數(shù)據(jù)單位進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算。MATLAB的程序由主程序和各種工具包組成，其中主程序包含數(shù)百個(gè)內(nèi)部核心函數(shù)；工具包則包括復(fù)雜系統(tǒng)仿真、信號處理工具包、系統(tǒng)識(shí)別工具包、優(yōu)化工具包、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具包、控制系統(tǒng)工具包、μ分析和綜合工具包、樣條工具包、符號數(shù)學(xué)工具包、圖像處理工具包和統(tǒng)計(jì)工具包等。

MATLAB具有如下特點(diǎn)：

(1)強(qiáng)大的數(shù)值運(yùn)算功能。MATLAB有超過500種數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)、科學(xué)及工程方面的函數(shù)，函數(shù)使用簡單自然，編程效率高，易學(xué)易懂。

(2)強(qiáng)大的圖形處理能力。在MATLAB中數(shù)據(jù)的可視化非常方便，其物件導(dǎo)向圖形架構(gòu)讓使用者可以執(zhí)行視覺數(shù)據(jù)分析，并且可以很容易地制作出高品質(zhì)的圖形。

(3)高級但卻簡單的程序環(huán)境。用MATLAB編程十分簡單，所花時(shí)間約為C語言的幾分之一，而且不需要編譯及連接即可執(zhí)行。

(4)豐富的工具箱。功能強(qiáng)勁的工具箱為使用者提供了在許多特別應(yīng)用領(lǐng)域所需的函數(shù)。

MATLAB系統(tǒng)主要由以下5部分構(gòu)成：

(1)MATLAB語言：高水平的矩陣/陣列語言，具有控制流語句、函數(shù)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、輸入/輸出和面向?qū)ο缶幊痰忍攸c(diǎn)。

(2)MATLAB工作環(huán)境：是指MATLAB所用到的一套工具和設(shè)置，例如幫助系統(tǒng)、工作內(nèi)存管理、指令和函數(shù)管理、搜索路徑管理、操作系統(tǒng)、程序調(diào)試和性能剖析等。

(3)圖形處理：MATLAB的圖形系統(tǒng)包括2D和3D可視化、圖像處理、動(dòng)畫以及圖表說明的高層命令。MATLAB也包括一些可以使圖形充分體現(xiàn)個(gè)性化和在MATLAB應(yīng)用軟件中加載完全圖形用戶界面的低層命令。

(4)MATLAB數(shù)學(xué)函數(shù)庫：是一個(gè)巨大的算法庫，覆蓋面極廣。基本函數(shù)有sum、sine、cosine和復(fù)數(shù)運(yùn)算等，復(fù)雜的函數(shù)有矩陣求逆、矩陣特征值、Bessel函數(shù)和快速傅里葉變換等。

(5)MATLAB應(yīng)用編程接口(API，ApplicationProgrammingInterface)：用戶通過這個(gè)接口可以編寫與MATLAB互動(dòng)的C和Fortran程序。對于用戶而言，除了可以使用隨MATLAB版本所附帶的大量工具箱外，還有其他上千種工具箱，其中許多是免費(fèi)的，覆蓋了更加廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域。讀者如果想了解這方面的內(nèi)容，可以到MathWorks公司的相關(guān)網(wǎng)頁上查找。安裝MATLAB時(shí)對系統(tǒng)的要求：

(1)IBM-PC或與之完全兼容的Intel486、Pentium或以上的各種機(jī)型。

(2)內(nèi)存要求：至少8MB，推薦使用16MB。

(3)8位以上的圖形適配器和至少能顯示256色的彩色顯示器。

(4)有少數(shù)指令需要用到聲卡。

(5)MicrosoftWindows95/98或以上的中英文版本。

(6)如果使用筆記本電腦，則需先安裝MicrosoftWord7.0或Office97中的一種或以上版本。

(7)如要使用HTML格式的幫助文件，則需先安裝NetscapeNavigator2.0、MicrosoftInternetExplorer3.0或以上版本。

(8)如要使用PDF格式的幫助文件，則需先安裝AdobeAcrobatReader。2.7.2常用信號的MATLAB分析

1.門函數(shù)Dτ(t)及其傅里葉變換門函數(shù)Dτ(t)的時(shí)間函數(shù)及其傅里葉變換見表2.1第1項(xiàng)。MATLAB程序如下：

gate_width=0.2 %門函數(shù)參數(shù)τ的測試數(shù)據(jù)，可以修改

symstt0w %定義時(shí)間變量t(用t表示)、門函數(shù)的寬度

τ(用t0表示)以及%頻率變量ω(用w表示)

f=heaviside(t+t0/2)-heaviside(t-t0/2);

%heaviside(X)is0forX<0，1forX>0，andNaNforX=0

f=f %顯示時(shí)域的解析表達(dá)式

t_plot=［-gate_width*5:0.001/gate_width:gate_width*5］

f=subs(f，t0，gate_width) %用gate_width確定變量t0的數(shù)值

f_plot=subs(f，t，t_plot)%把變量t的取值范圍取為t_plot

subplot(2，1，1)

plot(t_plot，f_plot)

title(′時(shí)域門函數(shù)在門寬為gate__width時(shí)的時(shí)域顯示′) %MATLAB把單個(gè)下劃線(_)理解成下標(biāo)的轉(zhuǎn)義符，在

%顯示語句時(shí)可用雙下線劃(__)顯示一個(gè)下劃線

xlabel(′t/s′)

ylabel(′門函數(shù)D(t)′)

F=fourier(f，t，w) %對門函數(shù)中的變量t進(jìn)行傅里葉變換，輸出以w為變量

F=F %顯示頻域的解析表達(dá)式

W_plot=［-20*pi/gate_width:0.2*pi/gate_width:20*pi/

gate_width］

F=subs(F，t0，gate_width)

F_plot=subs(F，w，W_plot)

subplot(2，1，2)

plot(W_plot，F(xiàn)_plot)

title(′時(shí)域門函數(shù)在門寬為gate__width時(shí)的傅氏變換結(jié)果頻域顯示′)

xlabel(′w/rad′)

ylabel(′F(w)′)

2.抽樣函數(shù)f(t)=WSa(Wt)/π及其傅里葉變換

抽樣函數(shù)f(t)=WSa(Wt)/π的時(shí)間函數(shù)及其傅里葉變換見表2.1第4項(xiàng)。MATLAB程序如下:

W_value=0.2%可以修改本例中W的數(shù)值

symstWw %定義時(shí)間變量t、門函數(shù)的寬度W(用W表示)以及頻率變量ω(用w表示)

f=W/pi*sin(W*t)/(W*t);

t_plot=［-W_value*100*2*pi:pi*0.01/W_value: W_value*100*2*pi］

f=subs(f，W，W_value)

f_plot=subs(f，t，t_plot)

figure(1)

subplot(2，1，1)

plot(t_plot，f_plot)

title(′抽樣函數(shù)在W=W__value時(shí)的時(shí)域顯示′) %用雙下劃線來顯示下劃線

xlabel(′t/s′)

ylabel(′Sa(t)′)

F=fourier(f，t，w)%對抽樣函數(shù)中的變量t進(jìn)行傅里葉變換，輸出以w為變量

W_plot=［-0.25/W_value:0.005/W_value:0.25/W_value］

F=subs(F，W，W_value)

F_plot=subs(F，w，W_plot)

subplot(2，1，2)

plot(W_plot，F(xiàn)_plot)

title(′抽樣函數(shù)在W=W__value時(shí)的傅氏變換結(jié)果頻域顯示′)

xlabel(′w/rad′)

ylabel(′F(w)′)

3.周期門函數(shù)的傅里葉級數(shù)及其傅里葉變換周期門函數(shù)的傅里葉級數(shù)及其傅里葉變換見表2.1第8項(xiàng)。MATLAB程序如下:

clearall;

closeall;

T0_value=0.5 %T0的測試數(shù)據(jù)，可以修改

t0_value=0.2 %τ的測試數(shù)據(jù)，可以修改

symstt0T0wn %定義時(shí)間變量t、參數(shù)τ(用t0表示)、

%T0(用T0表示)以及頻率變量ω(用w表示)

tmp=pi/T0*sin(n*pi*t0/T0)/(n*pi*t0/T0)*exp(j*2*pi*n*t/T0)

f=symsum(tmp，n，-inf，inf)

f_result=subs(f，t0，t0_value) %用t0_value給變量t0確定數(shù)值

f_result=subs(f_result，T0，T0_value) %用T0_value給變量T0確定數(shù)值

f_result=f_result

F=fourier(f，t，w)%對周期門函數(shù)傅里葉級數(shù)中的變量

%t進(jìn)行傅里葉變換，輸出以w為變量

F_result=subs(F，T0，T0_value)

F_result=subs(F_result，t0，t0_value)

F_result=F_result %顯示頻域的解析表達(dá)式

4.周期沖激函數(shù)的傅里葉級數(shù)及其傅里葉變換

周期沖激函數(shù)的傅里葉級數(shù)及其傅里葉變換見表2.1第9項(xiàng)。MATLAB程序如下：

clearall;

closeall;

T0_value=0.2 %T0的測試數(shù)據(jù)，可以修改

w0_value=2*pi/T0_value; %w0的測試數(shù)據(jù)

symstT0w0wn %定義時(shí)間變量t、周期T0(用T0表

%示)、ω0以及頻率變量ω(用w表示)

tmp=1/T0*exp(j*w0*n*t)

f=symsum(tmp，n，-inf，inf)

f_result=subs(f，w0，w0_value)

f_result=subs(f_result，T0，T0_value)

f_result=f_result %顯示時(shí)域的解析表達(dá)式

F=fourier(f，t，w)%對周期沖激函數(shù)中的變量t進(jìn)行

%傅里葉變換，輸出以w為變量

F_result=subs(F，T0，T0_value)

F_result=subs(F_result，w0，w0_value)

F_result=F_result %顯示頻域的解析表達(dá)式

5.余弦滾降函數(shù)及其傅里葉變換

余弦滾降的時(shí)間函數(shù)及其傅里葉變換見表2.1第16項(xiàng)。此函數(shù)當(dāng)α=1時(shí)就是升余弦脈沖。MATLAB程序如下:

gate_width=0.2%門函數(shù)參數(shù)τ的測試數(shù)據(jù)，可以修改

a_value=0.5 %滾降因子a測試數(shù)據(jù)，可以修改

symstt0wa %定義時(shí)間變量t、門函數(shù)的寬度τ(用

%t0表示)、頻率變量ω(用w表示)以及

%滾降因子a

f=(heaviside(t+(1-a)*t0/4)-heaviside(t-(1-a)*t0/4))+…

(heaviside(t+(1+a)*t0/4)-heaviside(t+(1-a)*t0/4))*1/2*

(1+sin(2*pi/(a*t0)*(t0/4+t)))+…

(heaviside(t-(1-a)*t0/4)-heaviside(t-(1+a)*t0/4))*1/2*

(1+sin(2*pi/(a*t0)*(t0/4-t)));

f=f %顯示時(shí)域的解析表達(dá)式

t_plot=［-gate_width:0.0001/gate_width:gate_width］

f=subs(f，t0，gate_width) %用gate_width給變量t0確定數(shù)值

f=subs(f，a，a_value)%用a_value給變量a確定數(shù)值

f_plot=subs(f，t，t_plot)%把變量t的取值范圍取為t_plot

figure(1)

subplot(2，1，1)

plot(t_plot，f_plot)

gridon;

title(′升余弦函數(shù)在參數(shù)為gate__widtha__value時(shí)的時(shí)域顯示′)

xlabel(′t/s′)

ylabel(′門函數(shù)D(t)′)

F=fourier(f，t，w)%對余弦滾降函數(shù)中的變量t進(jìn)行

%傅里葉變換，輸出以w為變量

F=F %顯示頻域的解析表達(dá)式

W_plot=［-20*pi/gate_width:0.2*pi/gate_width:20*

pi/gate_width］

F=subs(F，t0，gate_width)

F_plot=subs(F，a，a_value)

F_plot=subs(F，w，W_plot)

subplot(2，1，2)

plot(W_plot，F(xiàn)_plot)

gridon;

title(′升余弦函數(shù)在參數(shù)為gate__widtha__value時(shí)的傅氏變換結(jié)果頻域顯示′)

xlabel(′w/rad′)

ylabel(′F(w)′)

6.半余弦脈沖函數(shù)及其傅里葉變換半余弦脈沖的時(shí)間函數(shù)及其傅里葉變換見表2.1第17項(xiàng)。MATLAB程序如下：

gate_width=0.2

%門函數(shù)的參數(shù)τ的測試數(shù)據(jù)，可以修改

symstt0w

%定義時(shí)間變量t、門函數(shù)的寬度τ(用t0表

%示)以及頻率變量ω(用w表示)

f=(heaviside(t+t0/2)-heaviside(t-t0/2))*cos(pi*t/t0);

f=f%顯示時(shí)域的解析表達(dá)式

t_plot=［-gate_width*5:0.001/gate_width:gate_width*5］

f=subs(f，t0，gate_width) %用gate_width給變量t0確定數(shù)值

f_plot=subs(f，t，t_plot) %把變量t的取值范圍取為t_plot

figure(1)

subplot(2，1，1)

plot(t_plot，f_plot)

gridon;

title(′半余弦函數(shù)在門寬為gate__width時(shí)的時(shí)域顯示′)

xlabel(′t/s′)

ylabel(′門函數(shù)D(t)′)

F=fourier(f，t，w)%對半余弦脈沖函數(shù)中的變量t進(jìn)行

%傅里葉變換，輸出以w為變量

F=F%顯示頻域的解析表達(dá)式

W_plot=［-20*pi/gate_width:0.2*pi/gate_width:

20*pi/gate_width］

F=subs(F，t0，gate_width)

F_plot=subs(F，w，W_plot)

subplot(2，1，2)

plot(_plot，F(xiàn)_plot)

gridon;

title(′半余弦函數(shù)在門寬為gate__width時(shí)的傅氏變換結(jié)果頻域顯示′)

xlabel(′w/rad′)

ylabel(′F(w)′)

7.梯形脈沖函數(shù)及其傅里葉變換

梯形脈沖的時(shí)間函數(shù)及其傅里葉變換見表2.1第18項(xiàng)，此函數(shù)當(dāng)α=1時(shí)就是三角脈沖。MATLAB程序如下:

gate_width=0.2%梯形脈沖函數(shù)參數(shù)τ的測試數(shù)據(jù)，

%可以修改

a_value=0.5 %梯形脈沖函數(shù)滾降因子a的測試數(shù)

%據(jù)，可以修改

symstt0wa %定義時(shí)間變量t、門函數(shù)的寬度τ(用

%t0表示)、頻率變量ω(用w表示)以及

%滾降因子a

f=(heaviside(t+(1-a)*t0/4)-heaviside(t-(1-a)*t0/4))+…

(heaviside(t+(1+a)*t0/4)-heaviside(t+(1-a)*t0/4))*1/2*(1+4/(a*t0)*(t0/4+t))+…

(heaviside(t-(1-a)*t0/4)-heaviside(t-(1+a)*t0/4))*1/2*(1+4/(a*t0)*(t0/4-t));

f=f%顯示時(shí)域的解析表達(dá)式

t_plot=［-gate_width*2:0.001/gate_width:gate_width*2］

f=subs(f，t0，gate_width) %用gate_width給變量t0確定數(shù)值

f=subs(f，a，a_value)

f_plot=subs(f，t，t_plot) %把變量t的取值范圍取為t_plot

figure(1)

subplot(2，1，1)

plot(t_plot，f_plot)

gridon;

title(′梯形脈沖函數(shù)在參數(shù)為gate__widtha__va