新高考一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練考點(diǎn)21 雙曲線原卷版

考點(diǎn)21雙曲線（核心考點(diǎn)講與練）1.雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|且大于零)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.這兩個定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫焦距.其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0：(1)若a<c時，則集合P為雙曲線；(2)若a＝c時，則集合P為兩條射線；(3)若a>c時，則集合P為空集.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長度|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長度|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b21.（1）在應(yīng)用雙曲線定義時，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支．若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支．（2）在“焦點(diǎn)三角形”中，正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義是經(jīng)常使用的知識點(diǎn)．另外，還經(jīng)常結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立它與|PF1||PF2|的聯(lián)系．2.與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問題的解題策略在研究雙曲線的性質(zhì)時，實(shí)半軸、虛半軸所構(gòu)成的直角三角形是值得關(guān)注的一個重要內(nèi)容；雙曲線的離心率涉及的也比較多．由于e＝是一個比值，故只需根據(jù)條件得到關(guān)于a，b，c的一個關(guān)系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后變形求e，并且需注意e＞1．3.圓錐曲線的弦長（1）圓錐曲線的弦長直線與圓錐曲線相交有兩個交點(diǎn)時，這條直線上以這兩個交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段叫作圓錐曲線的弦(就是連接圓錐曲線上任意兩點(diǎn)所得的線段)，線段的長就是弦長．（2）圓錐曲線的弦長的計算設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0|x1－x2|＝SKIPIF1<0·|y1－y2|．(拋物線的焦點(diǎn)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝SKIPIF1<0，θ為弦AB所在直線的傾斜角)．雙曲線的定義一、單選題1．（2022·廣東潮州·二模）若點(diǎn)P是雙曲線SKIPIF1<0上一點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2022·天津河西·一模）已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，c是雙曲線C的半焦距，點(diǎn)A是圓SKIPIF1<0上一點(diǎn)，線段SKIPIF1<0交雙曲線C的右支于點(diǎn)B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則雙曲線C的離心率為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·遼寧沈陽·二模）已知雙曲線SKIPIF1<0的兩個焦點(diǎn)為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，點(diǎn)M，N在C上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則雙曲線C的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·湖南永州·三模）已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0的右支上，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為雙曲線SKIPIF1<0的半焦距），直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0右支交于另一個點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則雙曲線SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題5．（2022·山東泰安·二模）已知雙曲線C：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，且其右頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，左，右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)P在雙曲線C上，則下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線C的方程為SKIPIF1<0B．點(diǎn)A到雙曲線C的漸近線的距離為SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的外接圓半徑為SKIPIF1<06．（2022·河北唐山·二模）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從右焦點(diǎn)SKIPIF1<0發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點(diǎn)P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點(diǎn)SKIPIF1<0．若雙曲線C的方程為SKIPIF1<0，下列結(jié)論正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．當(dāng)n過SKIPIF1<0時，光由SKIPIF1<0所經(jīng)過的路程為13C．射線n所在直線的斜率為k，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，直線PT與C相切，則SKIPIF1<07．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若某直線上存在點(diǎn)P，使得SKIPIF1<0，則稱該直線為“好直線”，下列直線是“好直線”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空題8．（2022·遼寧葫蘆島·一模）已知雙曲線G的方程SKIPIF1<0，其左、右焦點(diǎn)分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知點(diǎn)P坐標(biāo)為SKIPIF1<0，雙曲線G上點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．四、解答題9．（2022·全國·模擬預(yù)測）雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，焦距等于8，點(diǎn)M在雙曲線C上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為12.(1)求雙曲線C的方程；(2)雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過SKIPIF1<0的斜率不為SKIPIF1<0的直線l與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，連接AQ，BP，求證：直線AQ與BP的交點(diǎn)恒在一條定直線上.10．（2022·福建漳州·一模）已知雙曲線SKIPIF1<0的左?右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0右支上一點(diǎn)，若I為SKIPIF1<0的內(nèi)心，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)點(diǎn)A是SKIPIF1<0在第一象限的漸近線上的一點(diǎn)，且SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0在點(diǎn)P處的切線l與直線SKIPIF1<0相交于點(diǎn)M，與直線SKIPIF1<0相交于點(diǎn)N.證明：無論點(diǎn)P怎么變動，總有SKIPIF1<0.雙曲線的幾何性質(zhì)1．（2021“四省八?！备呷蠈W(xué)期期中質(zhì)量檢測）過雙曲線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的右焦點(diǎn)SKIPIF1<0作雙曲線漸近線的垂線段SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0與雙曲線交于點(diǎn)SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則雙曲線離心率SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<02.（2021安徽省安慶市懷寧中學(xué)高三上學(xué)期模擬）若雙曲線SKIPIF1<0的一條漸近線與直線SKIPIF1<0相互垂直，則雙曲線SKIPIF1<0的兩個焦點(diǎn)與虛軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.6 D.8直線與雙曲線的位置關(guān)系1.．（江西省南昌市灣里區(qū)第一中學(xué)等六校聯(lián)考）已知雙曲線C：SKIPIF1<0（a>0，b>0）的離心率為SKIPIF1<0，實(shí)軸長為2．（1）求雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離；（2）若直線y=x+m被雙曲線CC截得的弦長為SKIPIF1<0，求m的值．2.（2021河北省部分名校高二上學(xué)期期中）在①雙曲線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上，②雙曲線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并作答．已知雙曲線SKIPIF1<0的對稱軸為坐標(biāo)軸，且SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求雙曲線SKIPIF1<0的方程；（2）若雙曲線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的漸近線相同，______，且SKIPIF1<0的焦距為4，求雙曲線SKIPIF1<0的實(shí)軸長．注：若選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分．1.（2021年全國高考甲卷）點(diǎn)SKIPIF1<0到雙曲線SKIPIF1<0的一條漸近線的距離為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<02.（2021年全國高考乙卷）已知雙曲線SKIPIF1<0的一條漸近線為SKIPIF1<0，則C的焦距為_________．3.（2020年全國統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅰ））設(shè)SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的兩個焦點(diǎn)，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為（）A.SKIPIF1<0 B.3 C.SKIPIF1<0 D.24.（2021年全國新高考Ⅰ卷）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，過SKIPIF1<0的兩條直線分別交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的斜率與直線SKIPIF1<0的斜率之和.一、單選題1．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點(diǎn)的報告；正西、正北兩個觀測點(diǎn)同時聽到了一聲巨響，正東觀測點(diǎn)聽到的時間比其它兩觀測點(diǎn)晚2s，已知各觀測點(diǎn)到該中心的距離是680m，則該巨響發(fā)生在接報中心的（

）處(假定當(dāng)時聲音傳播的速度為340m/s，相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上)A．西偏北45°方向，距離340SKIPIF1<0m B．東偏南45°方向，距離340SKIPIF1<0mC．西偏北45°方向，距離170SKIPIF1<0m D．東偏南45°方向，距離170SKIPIF1<0m2．（2022·山東淄博·模擬預(yù)測）雙曲線SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知雙曲線E：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，若有一直線過E的右頂點(diǎn)A且與一條漸近線平行，交y軸于點(diǎn)B，則△OAB的面積是（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<04．（2022·山東濟(jì)寧·二模）過雙曲線C：SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)F作圓SKIPIF1<0的切線，設(shè)切點(diǎn)為A，直線FA交直線SKIPIF1<0于點(diǎn)B，若SKIPIF1<0，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·天津南開·一模）已知雙曲線SKIPIF1<0的SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0的一個交點(diǎn)為M．若拋物線的焦點(diǎn)為F，且SKIPIF1<0，則雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·天津河?xùn)|·一模）已知雙曲線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，拋物線SKIPIF1<0的準(zhǔn)線與SKIPIF1<0交于M，N兩點(diǎn)，且三角形SKIPIF1<0為正三角形，則雙曲線SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題7．（2022·遼寧·建平縣實(shí)驗中學(xué)模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0?SKIPIF1<0分別為雙曲線SKIPIF1<0的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為雙曲線右支上一點(diǎn)，設(shè)SKIPIF1<0，則下列說法正確的是(

)A．線段SKIPIF1<0長度的最小值為SKIPIF1<0B．線段SKIPIF1<0長度的最小值為SKIPIF1<0C．若當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))恰好為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為SKIPIF1<0D．當(dāng)SKIPIF1<0時，若直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，則雙曲線C的漸近線的斜率的絕對值為SKIPIF1<08．（2022·江蘇·新沂市第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知雙曲線SKIPIF1<0的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，M為OA的中點(diǎn)，P為雙曲線C右支上一點(diǎn)且SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則(

)A．C的離心率為2 B．C的漸近線方程為SKIPIF1<0C．PM平分SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2022·江蘇·沭陽如東中學(xué)模擬預(yù)測）已知直線y=kx（k≠0）與雙曲線SKIPIF1<0交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F，若三角形ABF的面積為SKIPIF1<0，則以下正確的結(jié)論有（

）A．雙曲線的離心率為2 B．雙曲線的離心率為SKIPIF1<0C．雙曲線的漸近線方程為y=±2x D．SKIPIF1<010．（2022·重慶·二模）已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的右支上一點(diǎn)，且三角形SKIPIF1<0為正三角形（SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)），記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)心，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．雙曲線SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空題11．（2022·廣東韶關(guān)·二模）過雙曲線SKIPIF1<0的一個焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于P，Q兩點(diǎn)，則|PQ|=_________．12．（2022·湖北武漢·二模）如圖，發(fā)電廠的冷卻塔外形是由雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所得到的曲面，該冷卻塔總高度為70米，水平方向上塔身最窄處的半徑為20米，最高處塔口半徑25米，塔底部塔口半徑為SKIPIF1<0米，則該雙曲線的離心率為___________.13．（2022·海南?？凇つM預(yù)測）在直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為F，雙曲線E：SKIPIF1<0的右頂點(diǎn)為線段OF的中點(diǎn)，E與C交于A，B兩點(diǎn)．若F是△ABO的重心，則E的離心率為______．14．（2022·江西·二模（理））已知雙曲線C：SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，點(diǎn)P在圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上，若線段FP恰好被C的一條漸近線垂直平分，則C的離心率為___________.15．（2022·內(nèi)蒙古通遼·二模（理））雙曲線SKIPIF1<0的漸近線與圓SKIPIF1<0相切，則雙曲線E的離心率為______．四、解答題16．（2022·山東濰坊·二模）已知M，N為橢圓SKIPIF1<0和雙曲線SKIPIF1<0的公共頂點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的離心率．(1)若SKIPIF1<0．（?。┣骃KIPIF1<0的漸近線方程；（ⅱ）過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線l交SKIPIF1<0的右支于A，B兩點(diǎn)，直線MA，MB與直線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，記A，B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐標(biāo)分別為SKIPIF1