新高考一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練考點(diǎn)04 指對冪函數(shù)原卷版

考點(diǎn)04指對冪函數(shù)（核心考點(diǎn)講與練）1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù).(2)常見的5種冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當(dāng)α>0時，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當(dāng)α<0時，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N+，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.(2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.3.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù).(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時，y＝1當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，0<y<1當(dāng)x<0時，y>1；當(dāng)x>0時，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)4.對數(shù)的概念一般地，對于指數(shù)式ab＝N，我們把“以a為底N的對數(shù)b”記作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1).其中，數(shù)a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，讀作“b等于以a為底N的對數(shù)”.5.對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)對數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM(m，n∈R，且m≠0).(3)換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1).6.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞).(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R當(dāng)x＝1時，y＝0，即過定點(diǎn)(1，0)當(dāng)x>1時，y>0；當(dāng)0<x<1時，y<0當(dāng)x>1時，y<0；當(dāng)0<x<1時，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)7.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)1.冪函數(shù)y＝xα(α∈R)圖象的特征α>0時，圖象過原點(diǎn)和(1，1)點(diǎn)，在第一象限的部分“上升”；α<0時，圖象不過原點(diǎn)，經(jīng)過(1，1)點(diǎn)在第一象限的部分“下降”，反之也成立.2.判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x＝1得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較.3.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a的大小，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)分0<a<1和a>1兩種情況分類討論.4.對數(shù)值取正、負(fù)值的規(guī)律當(dāng)a>1且b>1或0<a<1且0<b<1時，logab>0；當(dāng)a>1且0<b<1或0<a<1且b>1時，logab<0.5.利用單調(diào)性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”，即把不同底的對數(shù)式化為同底的對數(shù)式，然后根據(jù)單調(diào)性來解決.6.比較冪、對數(shù)大小有兩種常用方法：(1)數(shù)形結(jié)合；(2)找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性.7.多個對數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題，可通過比較圖象與直線y＝1交點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)行判定.指數(shù)函數(shù)一、單選題1．（2022·江蘇·金陵中學(xué)模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0是正實(shí)數(shù)，函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．9 C．SKIPIF1<0 D．22．（2022·江西上饒·二模（理））函數(shù)SKIPIF1<0的大致圖像為（

）A． B．C． D．3．（2022·河北秦皇島·二模）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·浙江嘉興·二模）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題5．（2022·廣東汕頭·二模）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空題6．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_________．7．（2022·遼寧錦州·一模）已知函數(shù)SKIPIF1<0的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.8．（2022·山西·二模（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0給出下列結(jié)論：①SKIPIF1<0是偶函數(shù)；②SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數(shù)；③若SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0與原點(diǎn)連線的斜率恒為正．其中正確結(jié)論的序號為______．9．（2022·福建龍巖·一模）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若方程SKIPIF1<0有解，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是_________．10．（2022·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________．對數(shù)函數(shù)一、單選題1．（2022·遼寧錦州·一模）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則x，y，z的大小關(guān)系為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·廣東惠州·一模）中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：SKIPIF1<0，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W?信道內(nèi)信號的平均功率S?信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中SKIPIF1<0叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計，按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比SKIPIF1<0從1000提升至5000，則C大約增加了（

）（附：SKIPIF1<0）A．20% B．23% C．28% D．50%3．（2022·北京順義·二模）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)椋?/p>

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·河南新鄉(xiāng)·二模（文））函數(shù)SKIPIF1<0的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．5．（2021·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·山西·二模（理））已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一個零點(diǎn)，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一個零點(diǎn)，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0二、多選題7．（2021·河北石家莊·模擬預(yù)測）已知函數(shù)SKIPIF1<0是偶函數(shù)，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是單調(diào)函數(shù)C．SKIPIF1<0的最小值為1 D．方程SKIPIF1<0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根8．（2020·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、雙空題9．（2022·河北石家莊·二模）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0.滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________，SKIPIF1<0的取值范圍是___________.四、填空題10．（2022·海南·模擬預(yù)測）若對任意的SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的圖象恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________.11．（2022·江西贛州·二模（理））若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數(shù)，則SKIPIF1<0的取值范圍是___________.五、解答題12．（2020·全國·一模（文））（1）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0；（2）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值.冪函數(shù)一、單選題1．（2022·北京·一模）下列函數(shù)中，定義域與值域均為R的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)SKIPIF1<0是定義在區(qū)間SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，則SKIPIF1<0（

）A．8 B．4 C．2 D．13．（2021·江西·模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)SKIPIF1<0的圖象過點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．0 B．2 C．4 D．54．（2021·四川·樂山市教育科學(xué)研究所一模（理））已知冪函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則有下列說法：①SKIPIF1<0和SKIPIF1<0圖象都過點(diǎn)SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0和SKIPIF1<0圖象都過點(diǎn)SKIPIF1<0；③在區(qū)間SKIPIF1<0上，增長速度更快的是SKIPIF1<0；④在區(qū)間SKIPIF1<0上，增長速度更快的是SKIPIF1<0.則其中正確命題的序號是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④5．（2022·全國·貴陽一中二模（文））下列函數(shù)中是減函數(shù)的為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·陜西寶雞·三模（理））若SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題7．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,則下列判斷正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2021·山東·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則下列不等式恒成立的是（

）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<09．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列判斷正確的是（

）A．3e﹣2π＜3πe﹣2 B．πl(wèi)og3e＞3logπeC．logπeSKIPIF1<0 D．πe＜eπ10．（2021·山東濰坊·三模）已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的圖象如下圖所示，則下列四個函數(shù)圖象與函數(shù)解析式對應(yīng)正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題11．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測（文））寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)SKIPIF1<0______．①SKIPIF1<0；②當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；12．（2022·四川瀘州·模擬預(yù)測（文））已知當(dāng)SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0的圖象有且只有一個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是________.13．（2022·北京通州·一模）冪函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，能夠使SKIPIF1<0是奇函數(shù)的一組整數(shù)m，n的值依次是__________．一、單選題1．（2021·全國·高考真題）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列判斷正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·全國·高考真題（文））青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足SKIPIF1<0．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（

）（SKIPIF1<0）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.63．（2020·天津·高考真題）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小關(guān)系為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2020·全國·高考真題（理））若SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2020·全國·高考真題（理））已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（

）A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b6．（2020·全國·高考真題（文））Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：SKIPIF1<0，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I(SKIPIF1<0)=0.95K時，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則SKIPIF1<0約為（

）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．697．（2020·全國·高考真題（文））設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2020·全國·高考真題（文））設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2020·全國·高考真題（理））設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，則f(x)（

）A．是偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調(diào)遞減二、多選題10．（2020·海南·高考真題）信息熵是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，定義X的信息熵SKIPIF1<0.（

）A．若n=1，則H(X)=0B．若n=2，則H(X)隨著SKIPIF1<0的增大而增大C．若SKIPIF1<0，則H(X)隨著n的增大而增大D．若n=2m，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則H(X)≤H(Y)三、填空題11．（2020·山東·高考真題）若SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值是______.12．（2020·北京·高考真題）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是____________．13．（2020·江蘇·高考真題）已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，SKIPIF1<0，則f(-8)的值是____.一、單選題1.（2022·全國·模擬預(yù)測）開普勒（JohannesKepler，1571~1630），德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他發(fā)現(xiàn)所有行星運(yùn)行的軌道與公轉(zhuǎn)周期的規(guī)律：所有行星繞太陽運(yùn)動的軌道都是橢圓，且所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等.已知金星與地球的公轉(zhuǎn)周期之比約為2:3，地球運(yùn)行軌道的半長軸為a，則金星運(yùn)行軌道的半長軸約為（）A.0.66a B.0.70a C.0.76a D.0.96a2.（2022·全國·模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)，則SKIPIF1<0的值（）A.為正數(shù) B.為負(fù)數(shù) C.等于0 D.無法確定正負(fù)3.（2022·全國·模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<04.（2022·廣東汕頭·一模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則以下不等式正確的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<05.（2022·河北·模擬預(yù)測）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小關(guān)系為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<06.（2022·山東·模擬預(yù)測）已知非零實(shí)數(shù)m，n滿足SKIPIF1<0，則下列關(guān)系式一定成立的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<07.（2022·全國·模擬預(yù)測）分形幾何學(xué)的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.圖1是長度為1的線段，將圖1中的線段三等分，以中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到圖2，稱為“一次分形”；用同樣的方法把圖2中的每條線段重復(fù)上述操作，得到圖3，稱為“二次分形”……，依次進(jìn)行“n次分形”（SKIPIF1<0）.規(guī)定：一個分形圖中所有線段的長度之和為該分形圖的長度，要得到一個長度不小于20的分形圖，則n的最小值是（）（取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A.9 B.10 C.11 D.128.（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A.SKIPI