新高考一輪復習核心考點講與練考點10 平面向量原卷版

考點10平面向量（核心考點講與練）一、平面向量的概念及線性運算1.向量的有關概念名稱定義備注向量具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或模)如a，eq\o(AB,\s\up6(→))零向量長度等于零的向量；其方向不確定記作0單位向量給定一個非零向量a，與a同向且模為1的向量，叫做向量a的單位向量，可記作a0a0＝eq\f(a,|a|)共線(平行)向量如果向量的基線互相平行或重合，則稱這些向量共線或平行向量a與b平行記作a∥b相等向量同向且等長的有向線段表示同一向量，或相等的向量如eq\o(AB,\s\up6(→))＝a相反向量與向量a反向且等長的向量，叫做a的相反向量記作－a2.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量a－b＝a＋(－b)數乘求實數λ與向量a的積的運算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數λ，使得b＝λa.二、向量的分解與向量的坐標運算1.平面向量的基本定理如果e1和e2是一平面內的兩個不平行的向量，那么該平面內的任一向量a，存在唯一的一對實數a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底，記為{e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a關于基底{e1，e2}的分解式.2.平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數乘運算及向量的模設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).4.平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.平面向量的數量積及其應用1.兩個向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a，b〉.(2)范圍：向量夾角〈a，b〉的范圍是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉.(3)向量垂直：如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則a與b垂直，記作a⊥b.2.向量在軸上的正射影已知向量a和軸l(如圖)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，過點O，A分別作軸l的垂線，垂足分別為O1，A1，則向量eq\o(O1A1,\s\up6(→))叫做向量a在軸l上的正射影(簡稱射影)，該射影在軸l上的坐標，稱作a在軸l上的數量或在軸l的方向上的數量.eq\o(OA,\s\up6(→))＝a在軸l上正射影的坐標記作al，向量a的方向與軸l的正向所成的角為θ，則由三角函數中的余弦定義有al＝|a|cos__θ.3.向量的數量積(1)平面向量的數量積的定義：|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)平面向量數量積的性質及其坐標表示設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.①數量積：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.②模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).③夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).④兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.⑤|a·b|≤|a||b|(當且僅當a∥b時等號成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).4.平面向量數量積的運算律(1)a·b＝b·a(交換律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).1.向量線性運算的三要素向量的線性運算滿足三角形法則和平行四邊形法則，向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點”；向量減法的三角形法則要素是“起點重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點重合”.2.三個常用結論(1)O為△ABC的重心的充要條件是eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0；(2)四邊形ABCD中，E為AD的中點，F為BC的中點，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(EF,\s\up6(→))；(3)對于平面上的任一點O，eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共線，滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，則P，A，B共線?x＋y＝1.注意向量共線與三點共線的區(qū)別.3.平面向量基本定理實際上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理論依據，也是向量的坐標表示的基礎.4.平面向量一組基底是兩個不共線向量，平面向量基底可以有無窮多組.5.用平面向量基本定理可將平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式.6.計算向量數量積的三種方法定義、坐標運算、數量積的幾何意義，要靈活運用，與圖形有關的不要忽略數量積幾何意義的應用.7.求向量模的常用方法利用公式|a|2＝a2，將模的運算轉化為向量的數量積的運算.8.利用向量垂直或平行的條件構造方程或函數是求參數或最值問題常用的方法與技巧.平面向量的概念及線性運算及基本定理1.（2020安徽滁州市定遠縣育才學校月考）如圖，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，則下列等式中錯誤的是（）A．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝0B．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝0C．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<02.（2020內蒙古鄂爾多斯市第一中學）下列結論正確的是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共線，則向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向相同B．向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上C．SKIPIF1<0中，D是BC中點，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0使SKIPIF1<03.（2020湖南省婁底市模擬）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.2 B.SKIPIF1<0 C.4 D.SKIPIF1<0平面向量的數量積及其應用1.（2022河北省滄州市高三9月教學監(jiān)測）如圖，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的三等分點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.2 C.3 D.62.（2022湖北省黃石市高三9月調研）已知向量SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．21C．3D．93.（2022貴州省貴陽第一中學高三月考卷）已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．2D．-24.（多選題）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（）A．存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0B．存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0C．對于任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．對于任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<05.（2022北京八一學校高三上學期開學考試）設函數SKIPIF1<0，其中向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求函數SKIPIF1<0的最小正周期與單調遞減區(qū)間；（2）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的對邊，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，判斷SKIPIF1<0的形狀，并說明理由．1.（2021年全國高考乙卷）已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________．1.（2021年全國高考乙卷）已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．3.（2021年全國高考甲卷）若向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________.4.（2021年全國新高考Ⅰ卷）已知SKIPIF1<0為坐標原點，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0一、單選題1.（2022·全國·模擬預測）中國古塔多為六角形或八角形.已知某八角形塔的一個水平截面為正八邊形ABCDEFGH，如圖所示，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<02.（2022·全國·模擬預測）已知拋物線SKIPIF1<0，P為直線SKIPIF1<0上一點，過P作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，則SKIPIF1<0的最小值為（）A.SKIPIF1<0 B.-1 C.SKIPIF1<0 D.-23.（2022·山東濟寧·一模）等邊三角形ABC的外接圓的半徑為2，點P是該圓上的動點，則SKIPIF1<0的最大值為（）A.4 B.7 C.8 D.114.（2022·遼寧大東·模擬預測）SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D為AB的中點，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.0 B.2 C.-2 D.-45.（2022·山東臨沂·一模）設向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.－3 B.0 C.3 D.3或－36.（2022·全國·模擬預測）已知等邊△SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<07.（2022·廣東高州·二模）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則m的值為（）A.SKIPIF1<0 B.2 C.SKIPIF1<0 D.48.（2022·浙江·模擬預測）《跳舞的線》是一款音樂類游戲，要求玩家用雙眼觀察障礙物與陷阱，用雙耳聆聽節(jié)奏，根據音樂引線條通過多重地形，最終抵達終點．玩家每點擊一次屏幕，線條將會旋轉SKIPIF1<0，且為順時針、逆時針交替轉向．如圖是游戲中“沙漠”一關的截圖，線條從SKIPIF1<0點前進到SKIPIF1<0點有兩條路徑：①和②．假設轉彎不改變線條的速度，則兩條路徑所需時間一定相同，這一點可以由某定理保證．這個定理是（）A.平面向量基本定理 B.共線向量基本定理C.有一內角為直角的平行四邊形是矩形 D.兩直線平行，同旁內角互補二、多選題9.（2022·全國·模擬預測）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（）A.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0B.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0C.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0D.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為110.（2022·全國·模擬預測）如圖，在等腰梯形ABCD中，SKIPIF1<0，E是BC的中點，連接AE，BD相交于點F，連接CF，則下列說法正確的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<011.（2022·廣東深圳·一模）四邊形ABCD為邊長為1的正方形，M為邊CD的中點，則（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<012.（2022·廣東韶關·一模）已知向量SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（）A.若SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0可以表示平面內任一向量B.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D.若SK