專題05 圓的證明與計算（原卷版）

2/2專題05圓的證明與計算目錄熱點題型歸納 1題型01隱圓模型 1題型02圓與相似 11題型03圓與全等 20題型04圓的計算 27中考練場 38題型01隱圓模型【解題策略】定點定長的隱圓定弦定角的隱圓對角互補的隱圓點A為定點，點B為動點，且AB長度固定則點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑的圓。若線段AB的長度及其所對的∠ACB的大小不變，則點C的運動軌跡是以AB為弦的圓。若四邊形ABCD對角互補則A、B、C、D四點共圓?！镜淅治觥坷?．（2023·浙江·中考真題）如圖，在四邊形中，，以為腰作等腰直角三角形，頂點恰好落在邊上，若，則的長是（

）

A． B． C．2 D．1例2．（2023·山東泰安·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，的一條直角邊在x軸上，點A的坐標為；中，，連接，點M是中點，連接．將以點O為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最小值是（

）

A．3 B． C． D．2【變式演練】1．（23-24九年級上·湖北武漢·模擬訓(xùn)練）如圖，已知等邊的邊長為10，點P是邊上的一個動點（與點A、B不重合）．直線l是經(jīng)過點P的一條直線，把沿直線l折疊，點B的對應(yīng)點是點．當時，在直線l變化過程中，則面積的最大值為．2．（2022·湖北武漢·三模）在中，，，點為上一動點，，則的最小值是．

3．（2023·陜西咸陽·一模）如圖，在中，，點P在內(nèi)運動，連接，若，則的最大值為．

4．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，，為邊上一動點，為中點，為上一點，，則的最小值為．

題型02圓與相似【解題策略】對于圓與相似相結(jié)合的綜合問題，解題時要注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個基本圖形，通過添加輔助線補全或構(gòu)造基本圖形【典例分析】例．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，為的直徑，和相交于點F，平分，點C在上，且，交于點P．

(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)已知，求的值．【變式演練】1．（2023·湖南湘西·二模）如圖，是的直徑，點，在上，平分，交于點，連接．

(1)求證：．(2)當，且時，求線段的長．(3)點為線段上一點，且平分，若，，求的長．2．（2024·陜西西安·一模）如圖，是的直徑，點在直徑上（與不重合），且，連接，與交于點，在上取一點，使與相切．(1)求證：；(2)若是的中點，，求的長．題型03圓與全等【解題策略】對于圓與全等相結(jié)合的綜合問題，解題時要注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個基本圖形，通過添加輔助線補全或構(gòu)造基本圖形【典例分析】例．（2023·湖北襄陽·中考真題）如圖，在中，，是的中點，與相切于點，與交于點，，是的直徑，弦的延長線交于點，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【變式演練】1．（2023·廣東汕頭·一模）如圖，內(nèi)接于．是直徑，過點作直線，且是的切線．(1)求證：．(2)設(shè)是弧的中點，連接交于點，過點作于點，交于點．①求證：．②若，，試求的長．2．（2022·安徽·模擬預(yù)測）如圖，中兩條弦，互相垂直，垂足為，為的中點，連接并延長交于點．(1)求證：；(2)連接，求的值．題型04圓的計算【解題策略】對于圓的計算的綜合問題，解題時要注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個基本圖形，通過添加輔助線補全或構(gòu)造基本圖形【典例分析】例．（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，已知是的直徑，是的弦，點P是外的一點，，垂足為點C，與相交于點E，連接，且，延長交的延長線于點F．(1)求證：是的切線；(2)若，，，求的長．【變式演練】1．（2023·天津河?xùn)|·一模）如圖，為的切線，為切點，是上一點，過點作，垂足為，交于點．

(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)如圖②，連接并延長交于點，連接，，若，的半徑為，求的長．2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，為的直徑，點D為上一點，過點B作切線交延長線于點C，平分，交于F．(1)求證：；(2)若半徑為2，，求的長度．3．（2024·陜西西安·一模）如圖，是的直徑，弦與交于點F，過點A的切線交的延長線于點D，點B是的中點．(1)求證：；(2)若的半徑為4，，求．4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在中，，以為直徑的交于點，過點作的切線，交于點，的反向延長線交于點．(1)求證：；(2)若，的半徑為10，求的長度．1．（2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，為原點，，點為平面內(nèi)一動點，，連接，點是線段上的一點，且滿足．當線段取最大值時，點的坐標是（）

A． B． C． D．2．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，和是以點為直角頂點的等腰直角三角形，把以為中心順時針旋轉(zhuǎn)，點為射線、的交點．若，．以下結(jié)論：①；②；③當點在的延長線上時，；④在旋轉(zhuǎn)過程中，當線段最短時，的面積為．其中正確結(jié)論有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，是⊙的直徑，為⊙上的一點，點是的中點，連接，過點的直線垂直于的延長線于點，交的延長線于點．(1)求證：為⊙的切線；(2)若，，求的長．4．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，為的直徑，D，E是上的兩點，延長至點C，連接，．

(1)求證：；(2)求證：是的切線；(3)若，求的半徑．5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，是的直徑，是上一點過點作于點，交于點，點是延長線上一點，連接，，．

(1)求證：是切線；(2)若，，求的長．6．（2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，為的直徑，E為上一點，點C為的中點，過點C作，交的延長線于點D，延長交的延長線于點F．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑長．7．（2023·浙江衢州·中考真題）如圖，在中，，O為邊上一點，連結(jié)，以為半徑的半圓與邊