2016-2018年高考真題解答題專項訓練：函數與導數(理科)教師版

試卷第=page22頁，總=sectionpages2020頁試卷第=page11頁，總=sectionpages2020頁20162018年高考真題解答題專項訓練：函數與導數（理科）教師版1．已知函數，，其中a>1.（I）求函數的單調區(qū)間；（II）若曲線在點處的切線與曲線在點處的切線平行，證明；（III）證明當時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.【來源】2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數學（天津卷）【解析】分析：（I）由題意可得.令，解得x=0.據此可得函數的單調遞減區(qū)間，單調遞增區(qū)間為.（II）曲線在點處的切線斜率為.曲線在點處的切線斜率為.原問題等價于.兩邊取對數可得.（III）由題意可得兩條切線方程分別為l1：.l2：.則原問題等價于當時，存在，，使得l1和l2重合.轉化為當時，關于x1的方程存在實數解，構造函數，令，結合函數的性質可知存在唯一的x0，且x0>0，使得，據此可證得存在實數t，使得，則題中的結論成立.詳解：（I）由已知，，有.令，解得x=0.由a>1，可知當x變化時，，的變化情況如下表：x00+極小值所以函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.（II）由，可得曲線在點處的切線斜率為.由，可得曲線在點處的切線斜率為.因為這兩條切線平行，故有，即.兩邊取以a為底的對數，得，所以.（III）曲線在點處的切線l1：.曲線在點處的切線l2：.要證明當時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線，只需證明當時，存在，，使得l1和l2重合.即只需證明當時，方程組有解，由①得，代入②，得.③因此，只需證明當時，關于x1的方程③存在實數解.設函數，即要證明當時，函數存在零點.，可知時，；時，單調遞減，又，，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.由此可得在上單調遞增，在上單調遞減.在處取得極大值.因為，故，所以.下面證明存在實數t，使得.由（I）可得，當時，有，所以存在實數t，使得因此，當時，存在，使得.所以，當時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.2．設函數f(x)=[a（1）若曲線y=fx在點（1，f(1)）處的切線與x軸平行（2）若f(x)在x=2處取得極小值，【來源】2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數學（北京卷）詳解：解：（Ⅰ）因為f(x)=[a所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由題設知f′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．此時f(1)=3e≠0．所以a的值為1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．若a>12，則當x∈(1a，2)時，f′(當x∈(2，+∞)時，f′(x)>0．所以f(x)<0在x=2處取得極小值．若a≤12，則當x∈(0，2)時，x–2<0，ax–1≤12所以f′(x)>0．所以2不是f(x)的極小值點．綜上可知，a的取值范圍是（123．已知函數f(（1）討論f(（2）若f(x)存在兩個極值點x1【來源】2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數學（新課標I卷）詳解：（1）f(x)的定義域為(0,+∞)（i）若a≤2，則f'(x)≤0，當且僅當a=2，x=1時（ii）若a>2，令f'(x)=0當x∈(0,a-當x∈(a-a2-42,a+（2）由（1）知，f(x)由于f(x)的兩個極值點x1,x2滿足x2f(所以f(x1設函數g(x)=1x-x+2lnx，由（1）知，所以1x2-4．已知函數fx（1）若a=0，證明：當-1<x<0時，fx（2）若x=0是fx的極大值點，求【來源】2018年全國卷Ⅲ理數高考試題文檔版詳解：（1）當a=0時，f(x設函數g(x)=當-1<x<0時，g'(x)<0；當x>0時，g'(x)>0.故當x>-1所以f(x)在又f(0)=0，故當-1<x<0時，f(（2）（i）若a≥0，由（1）知，當x>0時，f(x)≥(2+x（ii）若a<0，設函數h由于當|x|<min{1,1|a|又h(0)=f(0)=0，故x=0是f(xh'如果6a+1>0，則當0<x<-6a+14a，且如果6a+1<0，則a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0如果6a+1=0，則h'(x)=x3(x-24)(x+1)(x2-綜上，a=-5．已知函數f(（1）若a=12，證明：當x（2）若f(x)在(0,?【來源】2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理數（全國卷II）詳解：（1）當a=1時，f(x設函數g(x)=(當x≠1時，g'(x)<0，所以g而g(0)=0，故當x≥0時，g(（2）設函數h(f(x)在(0,+∞)只有一個零點當且僅當h(（i）當a≤0時，h(x（ii）當a>0時，h'當x∈(0,2)時，h'(x所以h(x)在(0,2故h(2)=1-4ae2是①若h(2)>0，即a<e24②若h(2)=0，即a=e24③若h(2)<0，即a>e24，由于h由（1）知，當x>0時，ex>故h(x)在(2,4a)綜上，f(x)在(0,+∞)6．（2017.新課標3卷）已知函數f(（1）若f(x)≥0（2）設m為整數，且對于任意正整數n，(1+12)(1+試題解析：（1）fx的定義域為0①若a≤0，因為f②若a>0，由f'x=1-ax=x-ax知，當x∈0,a時，f'x<0；當x∈由于f1=0，所以當且僅當a=1時，fx≥0（2）由（1）知當x∈1,+∞時，令x=1+12nln1+故1+1而1+121+127．已知函數，，其中是自然對數的底數.（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）令，討論的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值.【來源】2017年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數學（山東卷精編版）試題解析：（Ⅰ）由題意又，所以，因此曲線在點處的切線方程為，即.（Ⅱ）由題意得，因為，令則所以在上單調遞增.因為所以當時，當時，(1)當時，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以當時取得極小值，極小值是；(2)當時，由得，①當時，，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.所以當時取得極大值.極大值為，當時取到極小值，極小值是；②當時，，所以當時，，函數在上單調遞增，無極值；③當時，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；所以當時取得極大值，極大值是；當時取得極小值.極小值是.綜上所述：當時，在上單調遞減，在上單調遞增，函數有極小值，極小值是；當時，函數在和和上單調遞增，在上單調遞減，函數有極大值，也有極小值，極大值是極小值是；當時，函數在上單調遞增，無極值；當時，函數在和上單調遞增，在上單調遞減，函數有極大值，也有極小值，極大值是；極小值是.8．已知函數f(x)=（1）求a；（2）證明：f(x)存在唯一的極大值點x【來源】2017年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數學（新課標2卷精編版）試題解析：（1）fx的定義域為設gx=ax-a-lnx，則f因為g若a=1，則g'x=1-1x.當0＜x＜1時，g'x＜0,gx單調遞減；當x＞1時，g'x＞綜上，a=1（2）由（1）知f設h當x∈0,12時，h'x＜0；當x∈1又he-2＞0,h12＜0,h1=0，所以hx在0,12有唯一零點x0，在因為f'x=hx，所以x=x由f由x0∈因為x=x0是f(x)在（0,1）的最大值點，由e-f所以e9．已知函數ae2x+(a﹣2)ex﹣x.（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求a的取值范圍.【來源】2017年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數學（新課標1卷精編版）試題解析：（1）的定義域為，，（?。┤?，則，所以在單調遞減.（ⅱ）若，則由得.當時，；當時，，所以在單調遞減，在單調遞增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一個零點.（ⅱ）若，由（1）知，當時，取得最小值，最小值為.①當時，由于，故只有一個零點；②當時，由于，即，故沒有零點；③當時，，即.又，故在有一個零點.設正整數滿足，則.由于，因此在有一個零點.綜上，的取值范圍為.10．已知.（Ⅰ）討論的單調性；（Ⅱ）當時，證明對于任意的成立.【來源】2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數學（山東卷精編版）試題解析：（Ⅰ）的定義域為；.當，時，，單調遞增；，單調遞減.當時，.（1），，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減；（2）時，，在內，，單調遞增；（3）時，，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減.綜上所述，當時，函數在內單調遞增，在內單調遞減；當時，在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增；當時，在內單調遞增；當，在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，時，，，令，.則，由可得，當且僅當時取得等號.又，設，則在單調遞減，因為，所以在上存在使得時，時，，所以函數在上單調遞增；在上單調遞減，由于，因此，當且僅當取得等號，所以，即對于任意的恒成立。11．設函數f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.（I）討論f(x)的單調性；（II）確定a的所有可能取值，使得f(x)>1x-e1-x【來源】2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數學（四川卷精編版）試題解析：（Ⅰ）f當a≤0時，f'(x)當a>0時，由f'此時，當x∈（0,12a)當x∈（12a，+∞)（Ⅱ）令g(x)=1x-則s'(x而當x>1時，s'所以s(x)在區(qū)間又由s(1)=0，有s(從而當x>1時，f當a≤0，x>1時，f(故當f(x)>g(x當0<a<1由（Ⅰ）有f(12a所以此時f(x)>g(當a≥12當x>1時，h因此，h(x)在區(qū)間又因為h(1)=0，所以當x>1時，h綜上，a∈[12．設函數x∈R，其中a,b∈R.（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；（Ⅱ）若f（x）存在極值點x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3；（Ⅲ）設a＞0,函數g（x）=|f（x）|,求證：g（x）在區(qū)間[0,2]上的最大值不小于.【來源】2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數學（天津卷精編版）試題解析：（Ⅰ）解：由，可得.下面分兩種情況討論：（1）當時，有恒成立，所以的單調遞增區(qū)間為.（2）當時，令，解得，或.當變化時，，的變化情況如下表：

＋

0

－

0

＋

單調遞增

極大值

單調遞減

極小值

單調遞增

所以的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，.（Ⅱ）證明：因為存在極值點，所以由（Ⅰ）知，且，由題意，得，即，進而.又，且，由題意及（Ⅰ）知，存在唯一實數滿足，且，因此，所以.（Ⅲ）證明：設在區(qū)間上的最大值為，表示兩數的最大值.下面分三種情況討論：（1）當時，，由（Ⅰ）知，在區(qū)間上單調遞減，所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此，所以.（2）當時，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此.（3）當時，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此.綜上所述，當時，在區(qū)間上的最大值不小于.13．設函數，曲線在點處的切線方程為.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求的單調區(qū)間.【來源】2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數學（北京卷精編版）試題解析：（Ⅰ）因為，所以.依題設，即解得.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.由及知，與同號.令，則.所以，當時，，在區(qū)間上單調遞減；當時，，在區(qū)間上單調遞增.故是在區(qū)間上的最小值，從而.綜上可知，，.故的單調遞增區(qū)間為.【考點】導數的應用；運算求解能力14．設函數，其中α＞0，記的最大值為A．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）證明當.【來源】2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數學（新課標3卷精編版）【試題解析：（Ⅰ）.（Ⅱ）當時，.因此.當時，將變形為．令，則是在上的最大值，，，且當時，取得極小值，極小值為．令，解得（舍去），．（Ⅰ）當時，在內無極值點，，，，所以．（Ⅱ）當時，由，知．又，所以．綜上，（Ⅲ）由（Ⅰ）得.當時，.當時，，所以.當時，，所以.15．（Ⅰ）討論函數的單調性，并證明當>0時，；（Ⅱ）證明：當時，函數有最小值.設g（x）的最小值為，求函數的值域.【來源】2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數學（新課標2卷精編版）試題解析：（Ⅰ）的定義域為.且僅當時，，所以在單調遞增，因此當時，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知，單調遞增，對任意因此，存在唯一使得即，當時，單調遞減；當時，單調遞增.因此在處取得最小值，最小值為于是，由單調遞增所以，由得因為單調遞增，對任意存在唯一的使得所以的值域是綜上，當時，有最小值，的值域是16．已知函數有兩個零點.（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）設x1，x2