新高考數(shù)學一輪復習第7章 第07講 向量法求距離、探索性及折疊問題 講（學生版）

第07講向量法求距離、探索性及折疊問題(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：利用空間向量求點到直線的距離題型二：利用空間向量求點到平面的距離題型三：立體幾何中的折疊問題題型四：立體幾何綜合問題第一部分：知識點精準記憶第一部分：知識點精準記憶知識點一：點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離已知直線SKIPIF1<0的單位方向向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上的定點，SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0外一點.設SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上的投影向量SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<0知識點二：點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離如圖，已知平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內(nèi)的定點，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外一點.過點SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0，交平面SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0的方向向量，且點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離就是SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上的投影向量SKIPIF1<0的長度.SKIPIF1<0第二部分：課前自我評估測試第二部分：課前自我評估測試1．（2022·廣東茂名·高二期末）已知SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的一個法向量，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內(nèi)的一點，則點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·福建廈門·高二期末）直線l的方向向量為SKIPIF1<0，且l過點SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到l的距離為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全國·高三專題練習）已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點A到直線BC的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·四川·閬中中學高二階段練習（理））已知平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)，且SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．1 B．11 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·云南·會澤縣實驗高級中學校高二開學考試）在棱長為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，則點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析題型一：利用空間向量求點到直線的距離典型例題例題1．（2022·浙江紹興·高二期末）如圖，在正三棱柱SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·全國·高二課時練習）在空間直角坐標系中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題3．（2022·全國·高二專題練習）已知直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0(0，1，1)為其一個方向向量，則點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為_______.題型歸類練1．（2022·廣東·深圳市羅湖外語學校高二期末）如圖，在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，點B到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全國·高三專題練習）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是從點P出發(fā)的三條線段，每兩條線段的夾角均為60°，SKIPIF1<0，若M滿足SKIPIF1<0，則點M到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全國·高三專題練習（理））已知棱長為3的正方體SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，動點P在正方形SKIPIF1<0(包括邊界)內(nèi)運動，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為______.4．（2022·全國·高三專題練習）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M為SKIPIF1<0的中點，則點M到直線SKIPIF1<0的距離為___________.題型二：利用空間向量求點到平面的距離典型例題例題1．（2022·江蘇宿遷·高二期末）已知經(jīng)過點SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·江蘇·高二期中）在空間直角坐標系SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題3．（2022·全國·高二課時練習）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，所有棱長均為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為______.題型歸類練1．（2022·青海·海南藏族自治州高級中學高二期末（理））設正方體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·江蘇·高二課時練習）平面SKIPIF1<0的一個法向量SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)，則點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·重慶·高二期末）已知空間中四點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點D到平面ABC的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．04．（2022·江蘇泰州·高二期末）長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點B到平面SKIPIF1<0的距離為________．5．（2022·北京東城·高二期末）已知點SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點，則點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為________.題型三：立體幾何中的折疊問題典型例題例題1．（2022·廣東茂名·高二期末）如圖1，在一個正方形SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0內(nèi)，有一個小正方形和四個全等的等邊三角形.將四個等邊三角形折起來，使SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0重合于點SKIPIF1<0，且折疊后的四棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積是SKIPIF1<0(如圖2)，則四棱錐SKIPIF1<0的體積是___________；若在四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)放一個正方體，使正方體可以在四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則正方體棱長的最大值為___________.例題2．（2022·山西·長治市第四中學校高一期中（理））如圖，四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，現(xiàn)將四邊形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，在折疊后的線段SKIPIF1<0上是否存在一點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，說明理由.(2)求三棱錐SKIPIF1<0的體積的最大值，并求出此時點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.例題3．（2022·山西太原·三模（理））已知三角形SKIPIF1<0是邊長為2的正三角形，現(xiàn)將菱形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折疊，所成二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，此時恰有SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的長；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值.題型歸類練1．（多選）（2021·重慶市第十一中學校高三階段練習）重慶市第十一中學校高三年級某班組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為SKIPIF1<0，托盤由邊長為SKIPIF1<0的正三角形銅片沿各邊中點的連線向上折疊成直二面角而成，如圖②.則下列結(jié)論正確的是（

）A．經(jīng)過三個頂點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的球的截面圓的面積為SKIPIF1<0B．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0D．球面上的點離球托底面SKIPIF1<0的最大距離為SKIPIF1<02．（2022·河北唐山·高一期中）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝SKIPIF1<0＝1．現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF折疊，使ED⊥DC，M為ED的中點，如圖2．圖1

圖2(1)求證：AM∥平面BEC；(2)求證：BC⊥平面BDE；(3)求點D到平面BEC的距離．3．（2022·浙江·模擬預測）已知梯形SKIPIF1<0，現(xiàn)將梯形沿對角線SKIPIF1<0向上折疊，連接SKIPIF1<0，問：(1)若折疊前SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0，則在折疊過程中是否能使SKIPIF1<0？請給出證明；(2)若梯形SKIPIF1<0為等腰梯形，SKIPIF1<0，折疊前SKIPIF1<0，當折疊至面SKIPIF1<0垂直于面SKIPIF1<0時，二面角SKIPIF1<0的余弦值．題型四：立體幾何綜合問題典型例題例題1．（2022·廣東·高二階段練習）如圖，三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0側(cè)面SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點.(1)求異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角的余弦值；(2)在棱SKIPIF1<0上是否存在一點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由.例題2．（2022·遼寧·高三期末）如圖，已知三棱柱SKIPIF1<0的側(cè)棱與底面垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)當平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的銳二面角為SKIPIF1<0時，求平面SKIPIF1<0與側(cè)面SKIPIF1<0的交線長．題型歸類練1．（2022·全國·高二專題練習）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0．(1)求證：直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKI