新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章 第08講 拓展一 空間幾何體內(nèi)接球與外接球問題 講（教師版）

第08講拓展一：空間幾何體內(nèi)接球與外接球問題(精講）目錄第一部分：典型例題剖析高頻考點一：空間幾何體的內(nèi)切球問題高頻考點二：空間幾何體的外接球問題模型1：長（正）方體模型——公式法模型2：墻角型，對棱相等型——補形法（補長方體或正方體）模型3：單面定球心法（定+算）模型4：雙面定球心法（兩次單面定球心）第一部分：典型例題剖析第一部分：典型例題剖析高頻考點一：空間幾何體的內(nèi)切球問題建立模型球的內(nèi)切問題（等體積法）例如：在四棱錐SKIPIF1<0中，內(nèi)切球為球SKIPIF1<0，求球半徑SKIPIF1<0.方法如下：SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0，可求出SKIPIF1<0.典型例題例題1．（2022·江蘇·蘇州外國語學(xué)校高一期末）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若球SKIPIF1<0在三棱錐SKIPIF1<0的內(nèi)部且與四個面都相切（稱球SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0的內(nèi)切球），則球SKIPIF1<0的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解：因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0均為直角三角形，設(shè)球SKIPIF1<0的半徑為r，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0，故選：A.例題2．（2022·全國·高一）某學(xué)校開展手工藝品展示活動，小明同學(xué)用塑料制作了如圖所示的手工藝品，其外部為一個底面邊長為6的正三棱柱，內(nèi)部為一個球，球的表面與三棱柱的各面均相切，則該內(nèi)切球的表面積為___________，三棱柱的頂點到球的表面的最短距離為___________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0解：依題意如圖過側(cè)棱的中點作正三棱柱的截面，則球心為SKIPIF1<0的中心，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0內(nèi)切圓的半徑SKIPIF1<0，即內(nèi)切球的半徑SKIPIF1<0，所以內(nèi)切球的表面積SKIPIF1<0，又正三棱柱的高SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0到球面上的點的距離最小值為SKIPIF1<0；故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0例題3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，直三棱柱SKIPIF1<0有外接圓柱SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，且三棱柱SKIPIF1<0有一個內(nèi)切球，求三棱柱SKIPIF1<0的體積；【答案】(1)SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圓柱的上下底面圓心，而且點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，由此可知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0為斜邊的直角三角形.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0的內(nèi)切圓的半徑為SKIPIF1<0，則由等面積法，可知:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，故三棱柱SKIPIF1<0的內(nèi)切球的半徑也是SKIPIF1<0，故三棱柱的高SKIPIF1<0，進(jìn)而三棱柱SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0.題型歸類練1．（2022·全國·高一）已知點O到直三棱柱SKIPIF1<0各面的距離都相等，球O是直三棱柱SKIPIF1<0的內(nèi)切球，若球O的表面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周長為4，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B解：設(shè)直三棱柱SKIPIF1<0的高為h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，內(nèi)切球O的半徑為r，則h＝2r，由題意可知球O的表面積為SKIPIF1<0，解得r＝2，∴h＝4，又△ABC的周長為4，即a＋b＋c＝4，∴連接OA，OB，OC，SKIPIF1<0可將直三棱柱SKIPIF1<0分成5個棱錐，即三個以原來三棱柱側(cè)面為底面，內(nèi)切球球心為頂點的四棱錐，兩個以原來三棱柱底面為底面，內(nèi)切球球心為頂點的的三棱錐，∴由體積相等可得直三棱柱SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0h＝SKIPIF1<0ahr＋SKIPIF1<0bhr＋SKIPIF1<0chr＋2×SKIPIF1<0SKIPIF1<0r，即4SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0（a＋b＋c）hr＋SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0h＝SKIPIF1<0×4×4＝SKIPIF1<0．故選：B．2．（2022·湖南·高一期末）已知圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的表面積為______.【答案】SKIPIF1<0有題意可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以，圓錐的軸截面是邊長為SKIPIF1<0的正三角形，圓錐的內(nèi)切球的半徑等于該正三角形的內(nèi)切圓的半徑，所以SKIPIF1<0，所以該圓錐的內(nèi)切球的表面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<03．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））若正四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)接于球SKIPIF1<0，且底面SKIPIF1<0過球心SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的半徑與正四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)切球的半徑之比為__________.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0設(shè)外接球半徑為R，由題意可知，OA=OB=OC=OD=OP=R，設(shè)四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球半徑為r，設(shè)正方形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，因為底面SKIPIF1<0過球心SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，該正四棱錐的各側(cè)面的高為SKIPIF1<0，設(shè)該正四棱錐的表面積為SKIPIF1<0，由等體積法可知：SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<04．（2022·廣西玉林·模擬預(yù)測（理））若正四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)接于球O，且底面SKIPIF1<0過球心O，球的半徑為4，則該四棱錐內(nèi)切球的體積為_________．【答案】SKIPIF1<0因為正四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)接于球O，且底面SKIPIF1<0過球心O，球的半徑為4，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以正四棱錐SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0，正四棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0設(shè)正四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以該四棱錐內(nèi)切球的體積為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0高頻考點二：空間幾何體的外接球問題模型1：長（正）方體模型——公式法建立模型正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點（1）設(shè)長方體一個頂點出發(fā)的三條邊長分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則外接球半徑SKIPIF1<0；（2）設(shè)正方體邊長為SKIPIF1<0，則外接球半徑SKIPIF1<0；典型例題例題1．（2022·貴州黔西·高二期末（理））若一個長方體的長、寬，高分別為4，2，3，則這個長方體外接球的表面積為______________．【答案】SKIPIF1<0由題知，長方體的體對角線即為外接球的直徑，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以外接球的表面積SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0例題2．（2022·新疆·烏蘇市第一中學(xué)高一期中）正方體SKIPIF1<0的棱長為2，則此正方體外接球的表面積是______.【答案】SKIPIF1<0因為正方體的體對角線長度等于長方體外接球的直徑，又正方體SKIPIF1<0的棱長為2，所以正方體外接球的直徑為SKIPIF1<0，外接球的半徑為SKIPIF1<0，則該正方體外接球的表面積是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型歸類練1．（2022·全國·高一期末）正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比是（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B設(shè)正方體的棱長為SKIPIF1<0，則其外接球的半徑為SKIPIF1<0，內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，所以正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比是SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：B2．（2021·河北·深州長江中學(xué)高三期中）已知某正方體外接球的表面積為SKIPIF1<0，則該正方體的棱長為______．【答案】1設(shè)正方體的棱長為SKIPIF1<0，外接球的半徑為SKIPIF1<0，根據(jù)正方體的對角線長等于外接球的直徑，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案為：1．3．（2021·福建·莆田錦江中學(xué)高一期中）已知正方體的棱長為2，則其外接球的表面積為______．【答案】SKIPIF1<0解：設(shè)正方體外接球的半徑為SKIPIF1<0，則由題意可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以外接球的表面積為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0模型2：墻角型，對棱相等型——補形法（補長方體或正方體）建立模型①墻角模型（三條線兩個垂直）題設(shè)：三條棱兩兩垂直（重點考察三視圖）②對棱相等模型（補形為長方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）典型例題例題1．（2022·全國·高一）若三棱錐SKIPIF1<0的三條側(cè)棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩互相垂直，且SKIPIF1<0，則其外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A側(cè)棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩互相垂直，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0作為正方體的棱長，如圖：設(shè)外接球的半徑為SKIPIF1<0，則正方體的對角線的長SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以外接球的表面積為SKIPIF1<0.故選：A例題2．（2022·江蘇·南京師大附中高一期末）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該三棱錐外接球的表面積為_________；外接球體積為_________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0由題意，該三棱錐的對棱相等，可知該三棱錐可置于一個長方體中，如圖所示：記該長方體的棱長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0題型歸類練1．（2022·遼寧·本溪高中高一階段練習(xí)）已知正三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為SKIPIF1<0，則此三棱錐的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．3SKIPIF1<0 C．6SKIPIF1<0 D．9SKIPIF1<0【答案】C正三棱錐的外接球即是棱長為SKIPIF1<0的正方體的外接球，所以外接球的直徑SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,外接球的表面積SKIPIF1<0，故選：C2．（2022·安徽·高一階段練習(xí)）鱉臑是我國古代對四個面均為直角三角形的三棱錐的稱呼．如圖，三棱錐SKIPIF1<0是一鱉臑，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B易得三棱錐SKIPIF1<0外接球的直徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故三棱錐SKIPIF1<0外接球的半徑SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B.3．（2022·河北·滄縣中學(xué)高一期中）三棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0兩兩垂直，且SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為___________.【答案】SKIPIF1<0以線段SKIPIF1<0為相鄰的三條棱為長方體，連接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即為三棱錐SKIPIF1<0，∵如圖所示，長方體的外接球與三棱錐的外接球相同，∴則其外接球直徑為長方體對角線的長，設(shè)外接球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0.4．（2022·貴州·清華中學(xué)高三階段練習(xí)（理））四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則經(jīng)過A，B，C，D的外接球的表面積是__________．【答案】SKIPIF1<0解：因為四棱錐SKIPIF1<0的對棱相等，所以將四棱錐SKIPIF1<0補成如圖所示的長方體，則經(jīng)過A，B，C，D的外接球即為長方體的外接球，所以球的直徑為長方體的對角線的長，設(shè)長方體的長、寬、高分別為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以球的半徑SKIPIF1<0，所以球的表面積為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0模型3：單面定球心法（定+算）建立模型單面定球心法（定+算）步驟：①定一個面外接圓圓心：選中一個面如圖：在三棱錐SKIPIF1<0中，選中底面SKIPIF1<0，確定其外接圓圓心SKIPIF1<0（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點上，普通三角形用正弦定理定外心SKIPIF1<0）；②過外心SKIPIF1<0做（找）底面SKIPIF1<0的垂線，如圖中SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,則球心一定在直線（注意不一定在線段SKIPIF1<0上）SKIPIF1<0上；③計算求半徑SKIPIF1<0:在直線SKIPIF1<0上任取一點SKIPIF1<0如圖：則SKIPIF1<0，利用公式SKIPIF1<0可計算出球半徑SKIPIF1<0.典型例題例題1．（2022·山西省長治市第二中學(xué)校高一期末）在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0都是邊長為SKIPIF1<0的等邊三角形，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則該四面體外接球的表面積為_________.【答案】SKIPIF1<0依題意作上圖，取BD的中點P，連接AP，CP，取SKIPIF1<0的中心E，SKIPIF1<0的中心G，分別作平面ABD和平面BCD的垂線，得交點H，則H點就是四面體ABCD外接球的球心，CH就是球的半徑r，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，外接球的面積為SKIPIF1<0；故答案為：SKIPIF1<0.例題2．（2023·山西大同·高三階段練習(xí)）球內(nèi)接直三棱柱SKIPIF1<0，則球表面積為___________.【答案】SKIPIF1<0設(shè)三角形ABC和三角形SKIPIF1<0的外心分別為D，E．可知其外接球的球心O是線段DE的中點，連結(jié)OC，CD，設(shè)外接球的半徑為R，三角形ABC的外接圓的半徑r，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由正弦定理得，SKIPIF1<0，而在三角形OCD中，可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此三棱柱外接球的表面積為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0例題3．（2022·廣西賀州·高一期末）已知SKIPIF1<0的三個頂點都在球SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且三棱錐SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．36SKIPIF1<0【答案】D△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0取SKIPIF1<0中點H，連接OH，則點H為△ABC所在小圓圓心，SKIPIF1<0平面ABC則SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0則球O的半徑SKIPIF1<0則球O的體積為SKIPIF1<0故選：D例題4．（2022·河南開封·高二期末（理））已知球SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0的外接球，球SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，正三角形SKIPIF1<0的外接圓半徑為SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的體積的最大值為______．【答案】SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0外接圓的圓心為SKIPIF1<0，因為正三角形SKIPIF1<0的外接圓半徑為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由正弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，要使三棱錐SKIPIF1<0的體積最大，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且球心SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，因為球SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，由勾股定理得SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0題型歸類練1．（2022·河北·衡水市第十三中學(xué)高一階段練習(xí)）在正四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0截四棱錐SKIPIF1<0外接球的截面面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B如圖，作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0外接圓的圓心，從而正四棱錐SKIPIF1<0外接球的球心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，取棱SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0.由題中數(shù)據(jù)可得SKIPIF1<0，設(shè)四棱錐SKIPIF1<0外接球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.由題意易證SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故所求截面圓的面積是SKIPIF1<0.故選：B2．（2022·安徽·巢湖市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為（

）A．64π B．128π C．40π D．80π【答案】D由題意得，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，將三棱錐補成三棱柱SKIPIF1<0，如圖，則三棱柱SKIPIF1<0的外接球即為所求.設(shè)外接球的球心為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的外心為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則外接球的半徑SKIPIF1<0，表面積SKIPIF1<0，故選：D3．（2022·重慶市萬州第二高級中學(xué)高一期中）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對的邊為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都在球SKIPIF1<0的球面上，且點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ASKIPIF1<0的外接圓半徑SKIPIF1<0則球SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0則球SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：A4．（2022·河南·汝州市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知點SKIPIF1<0在同一個球的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若四面體SKIPIF1<0的體積的最大值為SKIPIF1<0，則這個球的表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為直角三角形，其面積為SKIPIF1<0，所以直角SKIPIF1<0所在截面小圓的半徑SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，因為四面體SKIPIF1<0體積取得最大值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，設(shè)四面體SKIPIF1<0的外接球半徑為SKIPIF1<0，球心SKIPIF1<0到截面的距離為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0到底面SKIPIF1<0距離最遠(yuǎn)時，即SKIPIF1<0時，四面體SKIPIF1<0的體積取得最大值，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以球的表面積為SKIPIF1<0.故選：D.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知球SKIPIF1<0是正三棱錐SKIPIF1<0的外接球，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點E在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，過點E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是___________.【答案】SKIPIF1<0解：如圖，設(shè)SKIPIF1<0的中心為SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的截面，當(dāng)截面與SKIPIF1<0垂直時，截面的面積最小，此時截面圓的半徑為SKIPIF1<0，最小面積為SKIPIF1<0，當(dāng)截面過球心時，截面面積最大，最大面積為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0所得截面圓面積的取值范圍是SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．模型4：雙面定球心法（兩次單面定球心）建立模型如圖：在三棱錐SKIPIF1<0中：①選定底面SKIPIF1<0，定SKIPIF1<0外接圓圓心SKIPIF1<0②選定面SKIPIF1<0，定SKIPIF1<0外接圓圓心SKIPIF1<0③分別過SKIPIF1<0做面SKIPIF1<0的垂線，和SKIPIF1<0做面SKIPIF1<0的垂線，兩垂線交點即為外接球球心SKIPIF1<0.典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是邊長為1的等邊三角形，SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的投影與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0異側(cè)，則球SKIPIF1<0的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B由題設(shè)，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0是△SKIPIF1<0的中心，連接SKIPIF1<0，如下圖示：由題設(shè)知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，即面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0必在直線SKIPIF1<0上，易知：SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的平面角，又SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，易知：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是球心，故球SKIPIF1<0的半徑為1，∴球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0.故選：B例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知平面四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，現(xiàn)沿SKIPIF1<0進(jìn)行翻折，使得SKIPIF1<0到達(dá)SKIPIF1<0的位置，連接SKIPIF1<0，此時二面角SKIPIF1<0為150°，則四面體SKIPIF1<0外接球的半徑為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C解：取BD的中點E，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即為二面角SKIPIF1<0的平面角，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0外接圓的圓心為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0外接圓的圓心為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，過點SKIPIF