新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章 第03講 空間直線、平面的平行 精講（教師版）

第03講空間直線、平面的平行(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分：典型例題剖析題型一：直線與平面平行的判定與性質(zhì)角度1：直線與平面平行的判定角度2：直線與平面平行的性質(zhì)題型二：平面與平面平行的判定與性質(zhì)角度1：平面與平面平行的判定角度2：平面與平面平行的性質(zhì)題型三：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用第四部分：高考真題感悟第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：直線與平面平行1、直線與平面平行的定義直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0平行.2、直線與平面平行的判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行符號(hào)表述：SKIPIF1<03、直線與平面平行的性質(zhì)定理如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行符號(hào)表述：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)二：平面與平面平行1、平面與平面平行的定義兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)2、平面與平面平行的判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行.符號(hào)表述：SKIPIF1<03、平面與平面平行的性質(zhì)定理3.1性質(zhì)定理兩個(gè)平行平面，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行.符號(hào)語(yǔ)言3.2性質(zhì)兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行與另一平面符號(hào)語(yǔ)言：SKIPIF1<0第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）判斷正誤．（1）若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．()（2）夾在兩平行平面之間的平行線段相等．()【答案】

×

√（1）l與m可以平行或異面，故錯(cuò)誤；（2）夾在兩平行平面之間的平行線段相等，故正確.2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知長(zhǎng)方體SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關(guān)系是()A．平行

B．相交

C．異面

D．不確定【答案】A平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由面面平行的性質(zhì)定理可得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，故選A3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在正方體SKIPIF1<0中，下列四對(duì)截面彼此平行的一對(duì)是()A．平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0

B．平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0

D．平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0【答案】A由正方體可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由面面平行的判定定理可知平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0平行，故選A.4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是()A．一定平行

B．一定相交

C．平行或相交

D．以上判斷都不對(duì)【答案】C一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，若兩條直線相交則兩個(gè)平面平行，若兩條直線平行這兩個(gè)平面可能相交，故選：C5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0內(nèi)有n條直線交于一點(diǎn)，則這n條直線中與直線a平行的直線()A．至少有一條

B．至多有一條

C．有且只有一條

D．沒(méi)有【答案】C由直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0內(nèi)有n條直線交于一點(diǎn)，故過(guò)該點(diǎn)的直線與SKIPIF1<0的只有一條故選：C6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關(guān)系是____________．【答案】平行SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0沒(méi)有公共點(diǎn)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關(guān)系是平行.故答案為：平行第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析題型一：直線與平面平行的判定與性質(zhì)角度1：直線與平面平行的判定典型例題例題1．（2022·四川綿陽(yáng)·高二期末（理））如圖，三棱柱SKIPIF1<0的側(cè)棱與底面垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0(1)設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)由（1）可得直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，又在直三棱柱SKIPIF1<0中，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0例題2．（2022·四川涼山·高一期末（文））已知直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2正三角形，求四面體SKIPIF1<0的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0(1)連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)P，因?yàn)镾KIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以四面體的體積為SKIPIF1<0.題型歸類練1．（2022·四川成都·高一期末（理））在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面PAB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段CB，AP上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0平面PCD；【答案】(1)證明見(jiàn)解析證明：如圖，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．在矩形SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．∴.四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．2．（2022·重慶市第七中學(xué)校高一期末）如圖，正三棱柱SKIPIF1<0的所有棱長(zhǎng)均為2，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為正方形SKIPIF1<0對(duì)角線的交點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0面SKIPIF1<0；(2)求三棱錐SKIPIF1<0的體積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0為正方形SKIPIF1<0對(duì)角線的交點(diǎn)，即SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0為中位線，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，由線面平行的判定定理可得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，可得SKIPIF1<0,因?yàn)槔庵鶠檎庵瑒tSKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<03．（2022·河北石家莊·高一期末）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)SKIPIF1<0.(1)證明：設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0為正方形，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角（或其補(bǔ)角）．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0．4．（2022·四川南充·高二期末（文））如圖，四棱錐SKIPIF1<0的底面是正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求三棱錐SKIPIF1<0的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)SKIPIF1<0.(1)證明：取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)．SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)解：如圖，取PA中點(diǎn)M，AD中點(diǎn)N，連接MF，F(xiàn)N∵F，M為PD，PA中點(diǎn)∴SKIPIF1<0∵矩形SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0∵F，N為PD，AD中點(diǎn)SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0故三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0.角度2：直線與平面平行的性質(zhì)典型例題例題1．（2022·山東·濟(jì)南市章丘區(qū)第四中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)．設(shè)平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0平面PBE；(2)證明：SKIPIF1<0；(3)求三棱錐SKIPIF1<0的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)SKIPIF1<0(1)取PB中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接FG，EG，因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別為AD、PC的中點(diǎn)所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為長(zhǎng)方形，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四邊形DEGF為平行四邊形，所以SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0平面PBE，SKIPIF1<0平面PBE，SKIPIF1<0平面PBE(2)由（1）知SKIPIF1<0平面PBE，又SKIPIF1<0平面PDC，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0(3)因?yàn)镾KIPIF1<0平面ABCD，所以PD為三棱錐SKIPIF1<0的高，所以SKIPIF1<0．例題2．（2022·吉林·雙遼市第一中學(xué)高三期末（文））如圖，三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，四棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0.（1）若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；（2）求三棱錐SKIPIF1<0的表面積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）SKIPIF1<0.（1）證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是四棱錐SKIPIF1<0的高.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0.SKIPIF1<0三棱錐SKIPIF1<0的表面積SKIPIF1<0.題型歸類練1．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高二期末）如圖所示，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)在線段SKIPIF1<0上確定一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，求此時(shí)SKIPIF1<0的值；【答案】(1)點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)且SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)且SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0證明：連接SKIPIF1<0，在直角梯形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0面SKIPIF1<02．（2022·安徽池州·高一期末）在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的公共直線為l.(1)寫出圖中與l平行的直線，并證明；【答案】(1)圖中與l平行的直線為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(1)圖中與l平行的直線為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，因?yàn)榈酌鍿KIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線l，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，進(jìn)一步由平行線的傳遞性得，SKIPIF1<0；3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）芻（chu?）甍（me?ng）是幾何體中的一種特殊的五面體.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無(wú)廣.芻，草也.甍，屋蓋也.求積術(shù)日：倍下表，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一.”翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱.芻甍字面意思為茅草屋頂SKIPIF1<0”現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示，四邊形SKIPIF1<0為長(zhǎng)方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是全等的等邊三角形.求證：SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0；【答案】證明見(jiàn)解析五面體SKIPIF1<0中，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖1，在矩形SKIPIF1<0中，點(diǎn)E在邊SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0進(jìn)行翻折，翻折后D點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)位置，且滿足平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如圖2．(1)若點(diǎn)F在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；【答案】(1)SKIPIF1<0如圖，在SKIPIF1<0上取點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0．又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等邊三角形，G是線段SB上的一點(diǎn)，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.求證：G為SB的中點(diǎn)【答案】證明見(jiàn)解析如圖，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn).題型二：平面與平面平行的判定與性質(zhì)角度1：平面與平面平行的判定典型例題例題1．（2022·北京延慶·高一期末）如圖，已知正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)求證：平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求證：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(3)求三棱錐SKIPIF1<0的體積.【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)詳見(jiàn)解析；(3)SKIPIF1<0.(1)由正方體的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)由題可知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(3)由題可知三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0.例題2．（2022·山東山東·高一期中）如圖，在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)求三棱錐SKIPIF1<0的體積；(2)證明：平面SKIPIF1<0平面BDE.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見(jiàn)解析(1)顯然三棱錐SKIPIF1<0與三棱錐SKIPIF1<0的體積相等，即SKIPIF1<0，∵長(zhǎng)方體SKIPIF1<0，∴三棱錐SKIPIF1<0的高為SKIPIF1<0，且三棱錐SKIPIF1<0的底面面積即△SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，∴三棱錐SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0.(2)∵長(zhǎng)方體SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如圖，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，∴點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.例題3．（2022·福建省福州第一中學(xué)高一期末）如圖①，在棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0木塊中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)求四棱錐SKIPIF1<0的體積；(2)要經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0將該木塊鋸開(kāi)，使截面平行于平面SKIPIF1<0，在該木塊的表面應(yīng)該怎樣畫線？（請(qǐng)?jiān)趫D②中作圖，并寫出畫法，不必說(shuō)明理由）.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)答案見(jiàn)解析.(1)在正方體SKIPIF1<0中，連接SKIPIF1<0，如圖，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，有SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0，所以四棱錐SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0.(2)取棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0就是所求作的線，如圖：在正方體SKIPIF1<0中，連SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，于是得四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0就是所求作的線.題型歸類練1．（2022·甘肅武威·高一期末）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)在線段SKIPIF1<0上是否存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，理由見(jiàn)解析(1)證明：因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)所以SKIPIF1<0A.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0B.又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理可得，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0故在線段SKIPIF1<0上存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．2．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在四棱柱SKIPIF1<0中，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)，G分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若點(diǎn)SKIPIF1<0在底面ABCD的投影是四邊形ABCD的中心，SKIPIF1<0，求三棱錐SKIPIF1<0的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0(1)證明：連接EG，SKIPIF1<0.因?yàn)镋，G分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，則SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)連接AC，BD，記SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面ABCD.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則四棱柱SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0.故三棱錐SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0，即三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0.3．（2022·湖南衡陽(yáng)·高一期末）如圖：正方體ABCD－A1B1C1D1棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為DD1，BB1的中點(diǎn).(1)求證：CF//平面A1EC1；(2)過(guò)點(diǎn)D做正方體截面使其與平面A1EC1平行，請(qǐng)給以證明并求出該截面的面積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析，SKIPIF1<0(1)取SKIPIF1<0中點(diǎn)M，連接SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，可得四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，可得四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)取AA1，CC1中點(diǎn)G，H，連接DG，CB1，B1H，HD，因?yàn)樗倪呅蜛DHF為平行四邊形，所以AF//DH因?yàn)樗倪呅蜛FB1G為平行四邊形，所以GB1//AF，所以GB1//DH所以GDHB1即為過(guò)點(diǎn)D長(zhǎng)方體截面，∵DG//A1E，SKIPIF1<0平面AEC1，SKIPIF1<0平面AEC1，∴DG//平面AEC1∵DH//C1E，SKIPIF1<0平面AEC1，SKIPIF1<0平面AEC1，∴DH//平面AEC1又∵SKIPIF1<0，∴平面DHB1G//平面AEC1.SKIPIF1<0角度2：平面與平面平行的性質(zhì)典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱柱SKIPIF1<0中，（1）若SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）若點(diǎn)SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，試求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）1.（1）∵SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于O，連接SKIPIF1<0，由平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又由題設(shè)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.例題2．（2022·遼寧錦州·高一期末）如圖，已知四棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0為矩形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)在棱SKIPIF1<0上是否存在一點(diǎn)F使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)SKIPIF1<0的位置并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，F(xiàn)為線段PB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)；證明見(jiàn)解析(1)連接OE，OC，OP，四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，O為AB的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面PAB所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0(2)存在，F(xiàn)為線段PB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．取BC的三等分點(diǎn)M（靠近點(diǎn)C），連接AM，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0，取BM中點(diǎn)N，連接ON，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0因?yàn)镹為BM中點(diǎn)，所以N為BC的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B），連接OF，NF，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．題型歸類練1．（2022·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）在三棱柱SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，試求SKIPIF1<0的值.【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如下圖所示：由棱柱的性質(zhì)可知，四邊形SKIPIF1<0