新高考數(shù)學一輪復習第6章 第02講 等差數(shù)列及其前n項和 精講（教師版）

第02講等差數(shù)列及其前n項和(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：等差數(shù)列基本量的運算題型二：等差數(shù)列的判斷與證明題型三：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應用角度1：等差數(shù)列的性質(zhì)角度2：等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)角度3：等差數(shù)列的最值問題第四部分：高考真題感悟第一部分：知識點精準記憶第一部分：知識點精準記憶1.等差數(shù)列的概念(1)定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母SKIPIF1<0表示．數(shù)學語言表示為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)(或者SKIPIF1<0），SKIPIF1<0為常數(shù)．(2)等差中項：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，則SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中項，且SKIPIF1<0.注：證明一個數(shù)列是等差數(shù)列可以使用①定義法：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)(或者SKIPIF1<0）②等差中項法：SKIPIF1<02.等差數(shù)列的有關公式(1)若等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項是SKIPIF1<0，公差是SKIPIF1<0，則其通項公式為SKIPIF1<0，可推廣為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0*)．(2)等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項和公式SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0)．3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0為公差，SKIPIF1<0為該數(shù)列的前SKIPIF1<0項和．(1)等差數(shù)列SKIPIF1<0中，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)．特別地，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)．(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…仍是等差數(shù)列，公差為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)．(3)SKIPIF1<0也成等差數(shù)列，其首項與SKIPIF1<0首項相同，公差為SKIPIF1<0.(4)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0…也成等差數(shù)列，公差為SKIPIF1<0.（5）若數(shù)列SKIPIF1<0,SKIPIF1<0均為等差數(shù)列且其前SKIPIF1<0項和分別為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<04.等差數(shù)列與函數(shù)的關系(1)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0的形式．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是關于SKIPIF1<0的一次函數(shù)；當SKIPIF1<0時，數(shù)列為遞增數(shù)列；當SKIPIF1<0時，數(shù)列為遞減數(shù)列．(2)等差數(shù)列前SKIPIF1<0項和公式可變形為SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，它是關于SKIPIF1<0的二次函數(shù)，表示為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù))．第二部分：課前自我評估測試第二部分：課前自我評估測試1．（2022·四川成都·高一期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D由題意得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故選：D2．（2022·寧夏·平羅中學高一期中（文））下列數(shù)列不是等差數(shù)列的是（

）A．0，0，0，…，0，…B．－2，－1，0，…，n－3，…C．1，3，5，…，2n－1，…D．0，1，3，…，SKIPIF1<0，…【答案】D選項A中，后項減前項所得差均為0，是等差數(shù)列；選項B中，后項減前項所得差都是1，是等差數(shù)列；選項C中，后項減前項所得差都是2，是等差數(shù)列；選項D中，SKIPIF1<0，不是等差數(shù)列，故選：D．3．（2022·江蘇南京·模擬預測）2022年4月26日下午，神州十三號載人飛船返回艙在京完成開艙．據(jù)科學計算，運載“神十三”的“長征二號”SKIPIF1<0遙十三運載火箭，在點火第一秒鐘通過的路程為2千米，以后每秒鐘通過的路程都增加2千米，在達到離地面380千米的高度時，火箭與飛船分離，則這一過程需要的時間大約是（

）A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒【答案】D設每秒鐘通過的路程構成數(shù)列SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，由求和公式有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故選：D.4．（2022·北京·101中學三模）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_______．【答案】4設公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案為：45．（2022·全國·高二課時練習）數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么這個數(shù)列的通項公式是______．【答案】SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0中，因SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此，數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，公差d=3，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析題型一：等差數(shù)列基本量的運算例題1．（2022·寧夏吳忠·高一期中）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)求數(shù)列的SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0n.(1)設等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0n.例題2．（2022·全國·高二課時練習）在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)2022是否為數(shù)列SKIPIF1<0中的項？若是，則為第幾項？【答案】(1)8082(2)2022是數(shù)列SKIPIF1<0中的第506項(1)由題意，設等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0所以，數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．(2)令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，2022是數(shù)列SKIPIF1<0中的第506項．例題3．（2022·北京二中高二學業(yè)考試）已知數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，SKIPIF1<0，(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式及其前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0分別為等差數(shù)列SKIPIF1<0的第3項和第5項，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式及其前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)設數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.(2)設等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.例題4．（2022·遼寧·高二期中）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)解：因為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0.(2)解：由（1）知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.方法總結：解決等差數(shù)列基本量運算的思想方法(1)方程思想:等差數(shù)列的基本量為首項SKIPIF1<0和公差SKIPIF1<0,通常利用已知條件及通項公式或前SKIPIF1<0項和公式列方程(組)求解,等差數(shù)列中包含SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0五個量,可“知三求二”.(2)整體思想:當所給條件只有一個時,可將已知和所求都用SKIPIF1<0,SKIPIF1<0表示,尋求兩者間的聯(lián)系,整體代換即可求解.題型歸類練1．（2022·廣西·高二學業(yè)考試）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中，前4項為1，3，5，7，則數(shù)列SKIPIF1<0前10項的和SKIPIF1<0（

）A．100 B．23 C．21 D．17【答案】A設公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：A.2．（2022·云南師大附中模擬預測（理））《九章算術》是我國秦漢時期一部杰出的數(shù)學著作，書中第三章“衰分”有如下問題：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次變低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增等差數(shù)列，這5個人各出多少錢?”在這個問題中，若不更出17錢，則公士出的錢數(shù)為（

）A．10 B．14 C．23 D．26【答案】D解：設大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的錢數(shù)依次排成一列，構成數(shù)列SKIPIF1<0．由題意可知，等差數(shù)列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，前5項和為100，設公差為SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以公士出的錢數(shù)為SKIPIF1<0，故選：D．3．（2022·北京·北師大實驗中學高二階段練習）在3和9之間插入兩個正數(shù)后，使前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，則這兩個正數(shù)之和為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．10【答案】B不妨設插入兩個正數(shù)為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0成等比數(shù)列，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0成等差數(shù)列，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）則SKIPIF1<0故選：B．4．（2022·吉林松原·高二階段練習）在數(shù)列SKIPIF1<0中，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0__________．【答案】101當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0①，所以SKIPIF1<0②，②-①，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故答案為：1015．（2022·江蘇·南京市天印高級中學模擬預測）2022年北京冬奧會開幕式始于24節(jié)氣倒計時，它將中國人的物候文明、傳承久遠的詩歌、現(xiàn)代生活的畫面和諧統(tǒng)一起來.我國古人將一年分為24個節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣的日晷長變化量相同，冬至日晷長最長，夏至日晷長最短，周而復始.已知冬至日晷長為13.5尺，芒種日晷長為2.5尺，則一年中夏至到立冬的日晷長的和為______尺【答案】60因為相鄰兩個節(jié)氣的日晷長變化量相同，所以每個節(jié)氣的日晷長構成等差數(shù)列，設冬至日晷長13.5尺為SKIPIF1<0，則芒種日晷長2.5尺為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以夏至日晷長為1.5尺，記夏至日晷長1.5尺為SKIPIF1<0，小暑為SKIPIF1<0，大暑為SKIPIF1<0，……，立冬為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0.故答案為：60.6．（2022·全國·模擬預測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，求正整數(shù)m．【答案】(1)證明見解析(2)7(1)因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是公差為4的等差數(shù)列．(2)由（1）得，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，解得m＝7或SKIPIF1<0（舍）．所以m的值為7．題型二：等差數(shù)列的判斷與證明例題1．（2022·全國·高二課時練習）對于數(shù)列SKIPIF1<0，“SKIPIF1<0”是“數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列”的（

）A．充分非必要條件； B．必要非充分條件；C．充要條件； D．既非充分又非必要條件.【答案】C解：若數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(SKIPIF1<0為常數(shù))，由等差數(shù)列的定義可得數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列；若數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，設首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，則通項公式為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式可寫為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0.所以對于數(shù)列SKIPIF1<0，“SKIPIF1<0”是“數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列”的充要條件.故選：C.例題2．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學高二期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和公式為SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0（

）A．是公差為4的等差數(shù)列 B．是公比為2的等比數(shù)列C．既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列【答案】A由題意得：SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也適合上式，故SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0是公差為4的等差數(shù)列，A正確，D錯誤；由于當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0不是常數(shù)，故數(shù)列SKIPIF1<0不是等比數(shù)列，故B,C錯誤，故選：A例題3．（2022·全國·高三專題練習）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則使SKIPIF1<0的SKIPIF1<0值為（

）A．22 B．21C．24 D．23【答案】D解：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即使SKIPIF1<0的SKIPIF1<0值為SKIPIF1<0；故選：D．例題4．（2022·全國·高三專題練習（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______.【答案】2因為數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），所以數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，且公差為2.又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：2.例題5．（2022·全國·高二課時練習）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，首項為2，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，驗證得SKIPIF1<0時成立，故SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.例題6．（2022·全國·高三專題練習（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0.(1)證明：數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，并求SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)證明見解析，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)解：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為首項，以1為公差的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0；例題7．（2022·陜西·長安一中高二期末（理））設SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，且滿足SKIPIF1<0．(1)求證：數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列；【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析.(1)依題意，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列.證明SKIPIF1<0是等差數(shù)列定義法SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)(或者SKIPIF1<0）等差中項法SKIPIF1<0判斷SKIPIF1<0是等差數(shù)列SKIPIF1<0的通項關于SKIPIF1<0的一次函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0（注意沒有常數(shù)項）題型三：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應用角度1：等差數(shù)列的性質(zhì)例題1．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B由題意知，SKIPIF1<0，由等差數(shù)列的等差中項，得數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B例題2．（2022·江西·二模（理））已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，由等差中項的定義可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．故選：C例題3．（2022·遼寧·沈陽市第五十六中學高二階段練習）若等差數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項的和分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C因為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是等差數(shù)列,故SKIPIF1<0故選:C例題4．（2022·安徽宿州·高二期中）已知兩個等差數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D由SKIPIF1<0．故選：D例題5．（2022·全國·高三專題練習）兩個等差數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A兩個等差數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A例題6．（2022·黑龍江·鶴崗一中高二開學考試）等差數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和分別記為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】DSKIPIF1<0和SKIPIF1<0為等差數(shù)列，故a3故選：D.角度2：等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)例題1．（2022·陜西省丹鳳中學高一階段練習）已知數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，……，是以SKIPIF1<0為首項，SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A例題2．（2022·遼寧·鞍山市華育高級中學高二期中）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C由等差數(shù)列性質(zhì)知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故選：C.例題3．（2022·全國·高二課時練習）在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）.A．110 B．120 C．130 D．140【答案】C解：設公差為d，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：C例題4．（2022·黑龍江·哈爾濱市第三十二中學校高二期中）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____．【答案】42解：在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，即7，14，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案為：42．例題5．（2022·全國·高三專題練習（文））設等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.【答案】48因為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0成等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案為：48角度3：等差數(shù)列的最值問題例題1．（2022·北京市第十二中學高二階段練習）已知等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則使SKIPIF1<0取得最大值的SKIPIF1<0為__________．【答案】7由題意SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，等差數(shù)列SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值故答案為：7例題2．（2022·廣西·昭平中學高二階段練習（理））已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，則其前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0的最大值為____________.【答案】SKIPIF1<0根據(jù)題意，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有最大值且最大值為：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0例題3．（2022·山東濰坊·高二期中）在數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為______．【答案】66由題意，SKIPIF1<0=21，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，屬于二次函數(shù)，對稱軸為SKIPIF1<0，故當n=5或6時取得最大值，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值為66；故答案為：66.例題4．（2022·江西上饒·高三階段練習（理））設等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0＝___時，SKIPIF1<0最?。敬鸢浮?022根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式和性質(zhì)得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0前2022項為負，從2023項開始為正，故前2022項和最小.故答案為：2022.例題5．（2022·遼寧·高二期中）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0的最大正整數(shù)的SKIPIF1<0的值為________．【答案】33因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故要使SKIPIF1<0，則需SKIPIF1<0．故答案為：33.例題6．（2022·北京市第一六一中學高二期中）已知數(shù)列{SKIPIF1<0}的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0(1)若數(shù)列{SKIPIF1<0}是等比數(shù)列，求SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0：(2)若數(shù)列{SKIPIF1<0}是等差數(shù)列，求SKIPIF1<0的最小值，并求SKIPIF1<0取得最小值時SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0.(1)設等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.(2)設等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最小，且SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.例題7．（2022·安徽省六安中學高二期末（理））設等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式;(2)當SKIPIF1<0為何值時，SKIPIF1<0最大，并求SKIPIF1<0的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)n為6或7；126(1)解：設等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為d，因為SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0或7時，SKIPIF1<0最大，SKIPIF1<0的最大值是126.方法總結求等差數(shù)列前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0最值的兩種方法題型歸類練1．（2022·山西運城·高二期末）若等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，首項SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0成立的最大正整數(shù)SKIPIF1<0是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0和SKIPIF1<0異號，又數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，首項SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是遞減的數(shù)列，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴滿足SKIPIF1<0的最大自然數(shù)SKIPIF1<0為4040．故選：B．2．（2022·全國·高三專題練習（理））已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和分別為SKIPIF1<0，若對于任意的自然數(shù)SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B數(shù)列{an}，{bn}均為等差數(shù)列，由等差數(shù)列下標和的性質(zhì)得SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：B3．（2022·全國·高三專題練習（理））已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下面結論錯誤的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為SKIPIF1<0的最小值【答案】C對于A選項，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，A選項正確；對于C選項，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，C選項錯誤；對于D選項，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，當SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為SKIPIF1<0的最小值，D選項正確；對于B選項，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，B選項正確．故選：C．4．（2022·全國·高三專題練習）設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則SKIPIF1<0中最大的項為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D：∵等差數(shù)列前n項和SKIPIF1<0，由S15>0，S16<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，若視為函數(shù)則對稱軸在SKIPIF1<0之間，∵SKIPIF1<0，∴Sn最大值是SKIPIF1<0，分析SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0為正值時有最大值，故為前8項，又d＜0，SKIPIF1<0遞減，前8項中SKIPIF1<0遞增，∴前8項中SKIPIF1<0最大SKIPIF1<0最小時SKIPIF1<0有最大值，∴SKIPIF1<0最大．5．（2022·全國·高二課時練習）兩等差數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，前n項和分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解：在SKIPIF1<0為等差數(shù)列中，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：A．6．（2022·全國·高二課時練習）已知兩個等差數(shù)列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的前n項和分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】SKIPIF1<0等差數(shù)列中SKIPIF1<0，可令等差數(shù)列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的前n項和分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．7．（2022·陜西·西安市長安區(qū)第十二中學高一階段練習）已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)求當SKIPIF1<0為何值時，SKIPIF1<0取最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)設數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則由題意得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0.對稱軸為：SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，∴當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0