新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章 第01講 平面向量的概念及其線性運算 精講（學(xué)生版）

第01講平面向量的概念及其線性運算(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析高頻考點一：平面向量的概念角度1：平面向量的概念與表示角度2：模角度3：零向量與單位向量角度4：相等向量高頻考點二：向量的線性運算角度1：平面向量的加法與減法角度2：平面向量的數(shù)乘高頻考點三：共線向量定理的應(yīng)用第四部分：高考真題感悟第一部分：知識點精準記憶第一部分：知識點精準記憶1、向量的有關(guān)概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或模)向量表示方法：向量SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；模SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（2）零向量：長度等于0的向量，方向是任意的，記作SKIPIF1<0.（3）單位向量：長度等于1個單位的向量，常用SKIPIF1<0表示.特別的：非零向量SKIPIF1<0的單位向量是SKIPIF1<0.（4）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線可記為SKIPIF1<0；特別的：SKIPIF1<0與任一向量平行或共線.（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量，記作SKIPIF1<0.（6）相反向量：長度相等且方向相反的向量，記作SKIPIF1<0.2、向量的線性運算2.1向量的加法①定義：求兩個向量和的運算,叫做向量的加法.兩個向量的和仍然是一個向量.對于零向量與任意向量SKIPIF1<0，我們規(guī)定SKIPIF1<0.②向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）已知非零向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,在平面內(nèi)任取一點SKIPIF1<0,作SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則向量SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的和,記作SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.③向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點,四邊形,對角線）已知兩個不共線向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,作SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為鄰邊作SKIPIF1<0,則以SKIPIF1<0為起點的向量SKIPIF1<0(SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的對角線)就是向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的和.這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.2.2向量的減法①定義：向量SKIPIF1<0加上SKIPIF1<0的相反向量，叫做SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的差，即SKIPIF1<0.②向量減法的三角形法則（共起點，連終點，指向被減向量）已知向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,在平面內(nèi)任取一點SKIPIF1<0,作SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則向量SKIPIF1<0.如圖所示如果把兩個向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的起點放在一起,則SKIPIF1<0可以表示為從向量SKIPIF1<0的終點指向向量SKIPIF1<0的終點的向量.2.3向量的數(shù)乘向量數(shù)乘的定義:一般地,我們規(guī)定實數(shù)SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘,記作SKIPIF1<0.它的長度與方向規(guī)定如下：①SKIPIF1<0②當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的方向與SKIPIF1<0的方向相同；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的方向與SKIPIF1<0的方向相反；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.3、共線向量定理①定義：向量SKIPIF1<0與非零向量SKIPIF1<0共線，則存在唯一一個實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.②向量共線定理的注意問題：定理的運用過程中要特別注意SKIPIF1<0；特別地，若SKIPIF1<0，實數(shù)SKIPIF1<0仍存在，但不唯一．4、常用結(jié)論4.1向量三角不等式①已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0反向共線時左邊等號成立；當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0同向共線時右邊等號成立）；②已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0同向共線時左邊等號成立；當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0反向共線時右邊等號成立）；記憶方式：（“符異”反向共線等號成立；“符同”同向共線等號成立）如SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0中間連接號一負一正“符異”，故反向共線時等號成立；右如：SKIPIF1<0中SKIPIF1<0中間鏈接號都是正號“符同”，故同向共線時等號成立；4.2中點公式的向量形式：若SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為平面內(nèi)任意一點，則SKIPIF1<0.4.3三點共線等價形式：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為實數(shù)），若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點共線SKIPIF1<0SKIPIF1<0第二部分：課前自我評估測試第二部分：課前自我評估測試一、判斷題1．（2022·全國·高一課前預(yù)習(xí)）判斷下列結(jié)論是否正確.（1）若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都是單位向量，則SKIPIF1<0；()（2）方向為南偏西SKIPIF1<0的向量與北偏東SKIPIF1<0的向量是共線向量；()（3）直角坐標平面上的SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸都是向量；()（4）若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是平行向量，則SKIPIF1<0；()（5）若用有向線段表示的向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不相等，則點M與N不重合；()（6）海拔、溫度、角度都不是向量.()2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都是單位向量，則SKIPIF1<0.()3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0>SKIPIF1<0.()4．（2022·江西·貴溪市實驗中學(xué)高二期末）若向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0

()5．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）方向為南偏西SKIPIF1<0的向量與北偏東SKIPIF1<0的向量是共線向量.()第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析高頻考點一：平面向量的概念角度1：平面向量的概念與表示例題1．（2022·上?！?fù)旦附中高一期中）①加速度是向量；②若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0平行．上面說法中正確的有（

）個．A．0 B．1 C．2 D．3例題2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）給出如下命題：①向量SKIPIF1<0的長度與向量SKIPIF1<0的長度相等；②向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方向相同或相反；③兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；④兩個公共終點的向量，一定是共線向量；⑤向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0是共線向量，則點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0必在同一條直線上．其中正確的命題個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4例題3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）如圖，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是在各邊的三等分點處相交的兩個全等的正三角形，設(shè)SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，寫出圖中給出的長度為SKIPIF1<0的所有向量中，（1）與向量SKIPIF1<0相等的向量；（2）與向量SKIPIF1<0共線的向量；（3）與向量SKIPIF1<0平行的向量.角度2：模例題1．（2022·浙江省定海第一中學(xué)高一期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為單位向量，它們的夾角為SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2例題2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）在邊長為SKIPIF1<0的正三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的值為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題3．（2022·上海市復(fù)旦中學(xué)高一期中）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的_____________條件.角度3：零向量與單位向量例題1．（2022·湖北·鄂州市鄂城區(qū)教學(xué)研究室高一期中）下列關(guān)于零向量的說法正確的是（

）A．零向量沒有大小 B．零向量沒有方向C．兩個反方向向量之和為零向量 D．零向量與任何向量都共線例題2．（2022·廣東東莞·高一期中）下列說法錯誤的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．零向量與任一向量平行C．零向量是沒有方向的 D．若兩個相等的向量起點相同，則終點必相同例題3．（2022·吉林吉林·模擬預(yù)測（文））已知向量SKIPIF1<0，則與向量SKIPIF1<0垂直的單位向量的坐標為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0角度4：相等向量例題1．（2022·山西·大同市第三中學(xué)校高一期中）在菱形SKIPIF1<0中，與SKIPIF1<0相等的向量可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（多選）（2022·山東菏澤·高一期中）設(shè)點SKIPIF1<0是平行四邊形SKIPIF1<0的對角線的交點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線例題3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，SKIPIF1<0是正六邊形SKIPIF1<0的中心，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在以SKIPIF1<0這七個點中任意兩點為起點和終點的向量中，問：(1)與SKIPIF1<0相等的向量有哪些？(2)SKIPIF1<0的相反向量有哪些？(3)與SKIPIF1<0的模相等的向量有哪些？題型歸類練1．（2022·陜西·武功縣普集高級中學(xué)高一階段練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是相等向量B．共線的單位向量是相等向量C．零向量與任一向量共線D．兩平行向量所在直線平行2．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（文））設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都是非零向量，下列四個條件中，使SKIPIF1<0成立的充分條件是（

）A．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（多選）（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第八中學(xué)校高一期中）下列命題中，不正確的是（

）A．若SKIPIF1<0為單位向量，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．若平面內(nèi)有四點SKIPIF1<0，則必有SKIPIF1<04．（2022·上海交大附中高一階段練習(xí)）下列數(shù)學(xué)符號可以表示單位向量的是______（選項之間不需要分隔符號）①SKIPIF1<0

②SKIPIF1<0

③SKIPIF1<0

④SKIPIF1<05．（2022·全國·高一專題練習(xí)）在平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，如圖．(1)寫出與向量SKIPIF1<0共線的向量；(2)求證：SKIPIF1<0．高頻考點二：向量的線性運算角度1：平面向量的加法與減法例題1．（2022·廣東·華南師大附中高一期中）下列向量運算結(jié)果錯誤的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·廣東·深圳中學(xué)高一期中）如圖，在SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分點，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題3．（2022·河北·滄縣中學(xué)高一期中）化簡：SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題4．（2022·廣東·福田外國語高中高一期中）如圖，在SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分點，點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題5．（2022·北京通州·高一期中）如圖，在平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列運算正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題6．（2022·河南安陽·高一階段練習(xí)）在等邊SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為重心，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0角度2：平面向量的數(shù)乘例題1．（2022·北京通州·模擬預(yù)測）設(shè)SKIPIF1<0為非零向量，則“存在負數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件例題2．（2022·重慶一中高一期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題3．（2022·江蘇淮安·高一期中）設(shè)SKIPIF1<0為基底，已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點共線，則SKIPIF1<0的值是（

）A．2 B．-4 C．-2 D．3題型歸類練1．（2022·江蘇常州·高一期中）如圖平面四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可表示為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)家歐拉于SKIPIF1<0年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設(shè)點SKIPIF1<0分別為任意SKIPIF1<0的外心?重心?垂心，則下列各式一定正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．4．（2022·四川成都·高一期中（文））如圖，在梯形ABCD中，SKIPIF1<0，E為線段AB的中點，F(xiàn)為線段AC上的一點，且SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0．(1)用向量SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0﹔(2)用向量SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0．5．（2022·江西·蘆溪中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖所示，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，試用SKIPIF1<0表示下列各式：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0．高頻考點三：共線向量定理的應(yīng)用例題1．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則“存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例題2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0為基底向量，已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點共線，則SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題3．（2022·全國·模擬預(yù)測）在SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上任一點（不含端點），若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．9 B．8 C．4 D．2例題4．（2022·廣東·廣州市海珠中學(xué)高一期中）如圖．在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________（用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0）．例題5．（2022·浙江·寧波咸祥中學(xué)高一期中）設(shè)兩個非零向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不共線，（1）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點共線；（2）試確定實數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0和SKIPIF1<0共線．題型歸類練1．（2022·湖北·鄂州市鄂城區(qū)教學(xué)研究室高一期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個不共線向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，則t的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·山西·懷仁市第一中學(xué)校高一期中（理））已知不共線的兩個向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，則實數(shù)t等于（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·湖南師大附中高一期中）如圖，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．34．（2022·江蘇宿遷·高一期中）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點，若SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．65．（2022·吉林·長春外國語學(xué)校高一階段練習(xí)）如圖，在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的一點，若SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPI