第01講 集合（八大題型）（練習(xí)）（解析版）

第01講集合目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：集合的表示：列舉法、描述法 2題型二：集合元素的三大特征 3題型三：元素與集合間的關(guān)系 4題型四：集合與集合之間的關(guān)系 5題型五：集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算 7題型六：集合與排列組合的密切結(jié)合 9題型七：容斥原理 10題型八：集合的創(chuàng)新定義運(yùn)算 1102重難創(chuàng)新練 1303真題實戰(zhàn)練 19題型一：集合的表示：列舉法、描述法1．已知集合，則集合B中所含元素個數(shù)為（

）A．20 B．21 C．22 D．23【答案】B【解析】當(dāng)時，有，6個元素；當(dāng)時，有，5個元素；當(dāng)時，有，4個元素；當(dāng)時，有，3個元素；當(dāng)時，有，2個元素；當(dāng)時，有，1個元素，綜上，一共有21個元素．故選：B．2．集合的元素個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，所以集合的元素個數(shù)為9個．故選：B．3．（2024·陜西西安·一模）定義集合且.已知集合，，則中元素的個數(shù)為（

）A．6 B．5 C．4 D．7【答案】C【解析】根據(jù)題意，因為，，所以.故選：C.4．若集合，，則中元素的最大值為（

）A．4 B．5 C．7 D．10【答案】C【解析】由題意，.故選：C5．已知，集合，，若，且的所有元素和為12，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】集合中的元素可能為：，，因為，.若，則，，則，元素和不為12；若，則，，則，元素和不為12；當(dāng)時，，因為中所有的元素和為12，所以，解得或（舍去）.綜上：.故選：A題型二：集合元素的三大特征6．（2024·山東棗莊·一模）若集合中的元素是的三邊長，則一定不是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】D【解析】根據(jù)集合元素的互異性，在集合中，必有，故一定不是等腰三角形；故選：D.7．若集合，，則B中元素的最小值為（

）A． B． C． D．32【答案】A【解析】由題意可得，，所以B中元素的最小值為.故選：A題型三：元素與集合間的關(guān)系8．已知集合，且，則實數(shù)為（

）A．2 B．3 C．0或3 D．【答案】B【解析】因為且，所以或，①若，此時，不滿足元素的互異性；②若，解得或3，當(dāng)時不滿足元素的互異性，當(dāng)時，符合題意.綜上所述，.故選：B9．已知集合，，則（

）A． B．或1 C．1 D．5【答案】C【解析】當(dāng)，解得或1，當(dāng)時，，與元素互異性矛盾，舍去；當(dāng)時，，滿足要求，當(dāng)時，解得，顯然與元素互異性矛盾，舍去，綜上，.故選：C10．（2024·河南駐馬店·一模）已知集合，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由方程，解得或，所以，所以，，.故選：A.11．（2024·高三·江西贛州·期中）已知、，若，則的值為（

）A． B．0 C． D．或【答案】C【解析】由且，則，∴，于是，解得或,根據(jù)集合中元素的互異性可知應(yīng)舍去，因此，,故．故選：C.12．集合，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】因為集合，所以方程有相等實根2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知，，所以，故選：B13．（2024·陜西寶雞·一模）若集合中只有一個元素，則實數(shù)（

）A．1 B．0 C．2 D．0或1【答案】D【解析】當(dāng)時，由可得，滿足題意；當(dāng)時，由只有一個根需滿足，解得.綜上，實數(shù)的取值為0或1.故選：D題型四：集合與集合之間的關(guān)系14．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，則滿足集合的個數(shù)為（

）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】因為，所以可以是，共8個，故選：D15．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，則滿足條件的集合的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】由可得且，根據(jù)為的真子集，可得或或，故滿足條件的集合的個數(shù)為3.故選：A16．（2024·山西運(yùn)城·一模）已知集合，，若，則的最大值是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，由可得，解得，即，又因為，，則，解得，故的最大值為.故選：C.17．已知集合，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，若把I看作全集，作出韋恩圖如圖所示：∴N的補(bǔ)集包含M的補(bǔ)集.故選：C．18．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，．若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可得，因為，則，所以．故選：D．19．（2024·陜西西安·三模）設(shè)集合，，若，則（

）A．2 B．3 C．1 D．1或2【答案】C【解析】因為，且，所以，則或，解得或，當(dāng)時，不滿足集合元素的互異性，故舍去；當(dāng)時，符合題意.綜上可得.故選：C20．（2024·高三·浙江寧波·期末）設(shè)全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合,，，,，．故選：B．題型五：集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算21．（2024·寧夏銀川·一模）設(shè)全集，則集合（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以，所以，所以，故ABD錯誤，故C正確；故選：C22．（2024·北京西城·一模）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為集合，所以或，又集合，所以或.故選：B23．（2024·貴州遵義·一模）已知集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，即，，所以.故選：D24．（2024·陜西咸陽·二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，即，解得，故，由，可得，即或，故，故.故選：B.25．（2024·高三·陜西西安·期中）已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，所以，又，所以.故選：D.題型六：集合與排列組合的密切結(jié)合26．集合，，，，5，6，，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】第二象限的橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)是正數(shù)．若集合提供橫坐標(biāo)，集合提供縱坐標(biāo)，則有，若集合提供縱坐標(biāo)，集合提供橫坐標(biāo)，則有，合計，即這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是6個，故選：D.27．（2024·高三·上海閔行·開學(xué)考試）集合共有個三元子集，若將的三個元素之和記為，則（

）A．1980 B．6600 C．990 D．3300【答案】A【解析】由題意得，，而含元素1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的三元子集各有個，所以，故選：A.28．（2024·高三·重慶·開學(xué)考試）設(shè)集合，那么集合滿足條件“”的元素個數(shù)為（

）A．4 B．6 C．9 D．12【答案】D【解析】若，則，即有序數(shù)對有4種取法，同理若，則，即有序數(shù)對有4種取法，若，則，即有序數(shù)對有4種取法，綜上所述，集合滿足條件“”的元素個數(shù)為.故選：D.題型七：容斥原理29．某班統(tǒng)計考試成績，數(shù)學(xué)得90分以上的有25人；語文得90分以上的有21人；兩科中至少有一科在90分以上的有38人．則兩科都在90分以上的人數(shù)為．【答案】8【解析】設(shè)集合表示數(shù)學(xué)在90分以上的學(xué)生，則集合中有25個元素，集合表示語文在90分以上的學(xué)生，則集合中有21個元素，表示兩科中至少有一科在90分以上的學(xué)生，則集合中有38個元素，表示兩科都在90分以上的學(xué)生，由題意可知中有個元素，所以兩科都在90分以上的人數(shù)為8人.故答案為：8.30．中國健兒在杭州亞運(yùn)會上取得傲人佳績，獲獎多多，為豐富學(xué)生課余生活，拓寬學(xué)生視野，石室成飛中學(xué)積極開展社團(tuán)活動，每人都至少報名參加一個社團(tuán)，高一（1）班參加社團(tuán)的學(xué)生有人，參加社團(tuán)的學(xué)生有人，參加社團(tuán)的學(xué)生有人，同時參加社團(tuán)的學(xué)生有人，同時參加社團(tuán)的學(xué)生有人，同時參加社團(tuán)的學(xué)生有人，三個社團(tuán)同時參加的學(xué)生有人，那么高一（1）班總共有學(xué)生人數(shù)為．【答案】【解析】由題意，用分別表示參加杜團(tuán)、參加杜團(tuán)和參加杜團(tuán)的學(xué)生形成的集合，則,,因此.所以高一（1）班總共有學(xué)生人數(shù)為人.故答案為：.31．某網(wǎng)店統(tǒng)計了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出17種商品，第二天售出13種商品，第三天售出14種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有5種，則該網(wǎng)店這三天售出的商品最少有種.【答案】【解析】由題意，第一天售出17種商品，第二天售出13種商品，前兩天都售出的商品有3種，所以第一天售出但第二天未售出的商品有種，第二天售出但第一天未售出的商品有種，所以前兩天共售出的商品有種，第三天售出14種商品，后兩天都售出的商品有5種，所以第三天售出但第二天未售出的商品有種，因為，所以這種商品都是第一天售出但第二天未售出的商品時，該網(wǎng)店這三天售出的商品種類最少，其最小值為.故答案為：.32．為豐富學(xué)生的課外活動，學(xué)校開展了豐富的選修課，參與“數(shù)學(xué)建模選修課”的有169人，參與“語文素養(yǎng)選修課”的有158人，參與“國際視野選修課”的有145人，三項選修課都參與的有30人，三項選修課都沒有參與的有20人，全校共有400人，問只參與兩項活動的同學(xué)有多少人？（

）A．30 B．31 C．32 D．33【答案】C【解析】畫出維恩圖如下：設(shè)：只參加“數(shù)學(xué)建模課”和“語文素養(yǎng)課”的有x人，只參加“數(shù)學(xué)建模課”和“國際視野課”的有y人，只參加“語文素養(yǎng)課”和“國際視野課”的有z人，則：，；故答案為：32人.題型八：集合的創(chuàng)新定義運(yùn)算33．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖所示的Venn圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，，則,，由集合的運(yùn)算可知，表示中去掉的部分，所以.故選：D34．（2024·高三·河北·開學(xué)考試）德國數(shù)學(xué)家康托爾在其著作《集合論》中給出正交集合的定義：若集合A和B是全集U的子集，且無公共元素，則稱集合互為正交集合，規(guī)定空集是任何集合的正交集合．若全集，則集合A關(guān)于集合U的正交集合B的個數(shù)為（

）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】B【解析】結(jié)合題意：因為，所以，解得，即，所以全集，由可得，所以，則集合A關(guān)于集合U的正交集合B的個數(shù)為.故選：B.35．（多選題）（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）對任意，記，并稱為集合的對稱差．例如：若，則．下列命題中，為真命題的是（

）A．若且，則B．若且，則C．若且，則D．存在，使得【答案】AB【解析】對于A,因為⊕，所以，，所以，且中的元素不能出現(xiàn)在中，因此，即A正確；對于B，因為⊕，所以，，即與是相同的，所以，B正確；對于C,因為⊕，所以，，所以，即C錯誤；對于D由于，而，故，即D錯誤．故選：AB．1．已知表示集合A中整數(shù)元素的個數(shù)，若集合，集合，以下選項錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由不等式，解得，由不等式，所以集合，集合，所以，故A正確；所以，故B正確；，故C錯誤；，故D正確；故選：C.2．已知集合，且，則（

）A． B．C．或 D．【答案】D【解析】因為，可知，若，則，此時，，不合題意；若，則，此時，，符合題意；綜上所述：，，則.故ABC錯誤，D正確.故選：D.3．若集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，所以，故選：C.4．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，有，即，所以；由令，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)有，所以，又因為，所以，；所以.故選：D5．（陜西省西安市第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，解得或，所以，由的值域為，所以，即，所以，故C正確.故選：C.6．（多選題）（廣西柳州市2024屆高三第三次模擬考試）設(shè)S是至少含有兩個元素的集合，在S上定義了一個二元運(yùn)算“*”（即對任意的，對于有序元素對，在S中有唯一確定的元素a*b與之對應(yīng)）.若對任意的，有，則對任意的，下列等式中恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】根據(jù)條件“對任意的，，有”，則：A中，無法確定是否一定成立，故A錯誤；B中，，一定成立，故B正確；C中，，一定成立，故C正確；D中，將看成一個整體，則，故，故D正確.故選：BCD．7．（多選題）（河南省新鄉(xiāng)市2024屆高三第二次模擬考試）已知，集合，，，，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】表示過定點,且斜率為的直線的點構(gòu)成的集合，表示過定點且斜率為的直線的點構(gòu)成的集合，表示圓心為，半徑為的圓上的點構(gòu)成的集合，表示圓心為，半徑為的圓上的點構(gòu)成的集合，對于A，集合中的直線平行，故，故A正確，對于B，由于，故在圓內(nèi)，故經(jīng)過點的直線與圓相交，，故B正確，對于C，由于，故在圓外，故當(dāng)經(jīng)過點的直線與圓相離時，此時，故C錯誤，對于D，由于，故兩圓相交，，D錯誤，故選：AB8．（多選題）已知表示集合的整數(shù)元素的個數(shù)，若集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】，得，所以，，，，所以，所以，，，，其中只有BC正確；故選：BC9．（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)，，，為集合的個不同子集，為了表示這些子集，作行列的數(shù)陣，規(guī)定第行第列的數(shù)為．則下列說法中正確的是（

）A．?dāng)?shù)陣中第一列的數(shù)全是0，當(dāng)且僅當(dāng)B．?dāng)?shù)陣中第列的數(shù)全是1，當(dāng)且僅當(dāng)C．?dāng)?shù)陣中第行的數(shù)字和表明集合含有幾個元素D．?dāng)?shù)陣中所有的個數(shù)字之和不超過【答案】ABD【解析】選項A：數(shù)陣中第一列的數(shù)全是，當(dāng)且僅當(dāng)，，，，，故A正確．選項B：數(shù)陣中第列的數(shù)全是1，當(dāng)且僅當(dāng)，，，，，故B正確．選項C：數(shù)陣中第列的數(shù)字和表明集合含有幾個元素，故C錯誤．選項D：當(dāng)，，，中一個為本身，其余個子集為互不相同的元子集時，數(shù)陣中所有的個數(shù)字之和最大，且為，故D正確.故選：ABD10．（多選題）非空集合A具有如下性質(zhì)：①若，則；②若，則下列判斷中，正確的有（

）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】ABC【解析】對于A，假設(shè)，則令，則，令，則，令，不存在，即，矛盾，∴，故A對；對于B，由題，，則∴，故B對；對于C，∵，，，∵故C對；對于D，∵，，若，則，故D錯誤．故選：ABC．11．（浙江省紹興市2024屆高三4月適應(yīng)性考試）已知集合，，且有4個子集，則實數(shù)的最小值是.【答案】/0.5【解析】由有4個子集，所以中有2個元素，所以，所以，所以滿足，或，綜上，實數(shù)的取值范圍為，或，故答案為：12．（廣西部分市2024屆高三第二次聯(lián)合模擬考試）已知集合，，若，則實數(shù)．【答案】【解析】因為，所以或，或，又由集合中元素的互異性可知且且，且，綜上.故答案為：.13．（湖南省九校聯(lián)盟2024屆高三第二次聯(lián)考）對于非空集合，定義函數(shù)已知集合，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】由題知：可取，若.則，即集合，得，即的取值范圍為.故答案為：14．（上海市浦東新區(qū)2024屆高三3月模擬考試）已知，集合，若集合A恰有8個子集，則n的可能值的集合為【答案】【解析】由題意易知，，均是集合中的元素，又集合恰有8個子集，故集合有且只有三個元素，則，又，當(dāng)時，，此時集合只有兩個元素，不滿足題意；當(dāng)時，，此時集合有且只有三個元素，滿足題意；當(dāng)時，，此時集合有且只有三個元素，滿足題意；當(dāng)時，易知集合中不只三個元素，不滿足題意；綜上，可取的值是4或5，即n的可能值的集合為.故答案為：.1．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為集合，，所以，故選：B2．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意得.故選：C.3．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題（網(wǎng)絡(luò)回憶版））定義一個集合，集合中的元素是空間內(nèi)的點集，任取，存在不全為0的實數(shù)，使得．已知，則的充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意知這三個向量共面，即這三個向量不能構(gòu)成空間的一個基底，對A，由空間直角坐標(biāo)系易知三個向量共面，則當(dāng)無法推出，故A錯誤；對B，由空間直角坐標(biāo)系易知三個向量共面，則當(dāng)無法推出，故A錯誤；對C，由空間直角坐標(biāo)系易知三個向量不共面，可構(gòu)成空間的一個基底，則由能推出，對D，由空間直角坐標(biāo)系易知三個向量共面，則當(dāng)無法推出，故D錯誤.故選：C．4．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意得，對于集合中的元素，滿足，則可能的取值為，即，于是.故選：A5．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)集合，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可得，則，選項A正確；，則，選項B錯誤；，則或，選項