陜西省西安市臨潼區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023～2024學(xué)年度第二學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)高一數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷共4頁(yè)，全卷滿分150分，答題時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡—并交回．第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員24人，女運(yùn)動(dòng)員18人，按照性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從該田徑隊(duì)中抽取了14人，則男運(yùn)動(dòng)員被抽取的人數(shù)為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的抽樣原則，按比例計(jì)算即可.【詳解】由題意得，男運(yùn)動(dòng)員被抽取的人數(shù)為；故選：D2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，復(fù)數(shù)的乘方及除法運(yùn)算求出即可得解.【詳解】依題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故遠(yuǎn)：B3.工人師傅在檢測(cè)椅子的四個(gè)“腳”是否在同一個(gè)平面上時(shí)，只需連接對(duì)“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格.工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是（）A.兩條相交直線確定一個(gè)平面B.兩條平行直線確定一個(gè)平面C.四點(diǎn)確定一個(gè)平面D.直線及直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面【答案】A【解析】【分析】利用平面的基本性質(zhì)求解.【詳解】解：由于連接對(duì)“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格，所以工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是“兩條相交直線確定一個(gè)平面”.故選：A4.復(fù)數(shù)（，i為虛數(shù)單位），是z的共軛復(fù)數(shù)，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，，解得，故選：B.5.設(shè)m，n為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，且，，則“”是“且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用面面平行的性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由，，，則且，反之，當(dāng)且時(shí)，若，則或與相交，所以“”是“且”的充分不必要條件.故選：A6.已知隨機(jī)事件A，B滿足，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用概率基本性質(zhì)列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，.故選：D7.有—個(gè)游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個(gè)人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、西、北四個(gè)方向前進(jìn)，每個(gè)方向一人，事件“甲向南”與事件“乙向南”是（）A.互斥但非對(duì)立事件 B.對(duì)立事件C.非互斥事件 D.以上都不對(duì)【答案】A【解析】【分析】事件“甲向南”與事件“乙向南”不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)都不發(fā)生，結(jié)合互斥、對(duì)立事件的定義即可判斷.【詳解】因?yàn)榧住⒁?、丙、丁四個(gè)人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、西、北四個(gè)方向前進(jìn)，每個(gè)方向一人，所以事件“甲向南”與事件“乙向南”不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)都不發(fā)生，故事件“甲向南”與事件“乙向南”是互斥但非對(duì)立事件；故選：A8.如圖，正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，若，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，取為平面的一個(gè)基底，再利用向量的線性運(yùn)算計(jì)算即得.【詳解】正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，則，則，于是，而，所以.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.復(fù)數(shù)z的虛部為3 B.C.復(fù)數(shù)z的實(shí)部為 D.【答案】ACD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)乘法求出，再結(jié)合復(fù)數(shù)的概念、模及乘方運(yùn)算逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于AC，復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的虛部為3，實(shí)部為，AC正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：ACD.10.下列說(shuō)法中正確的是（）A.若，則，且、、、四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形B.若為非零實(shí)數(shù)，且，則非零向量與共線C.在中，若，則點(diǎn)一定在角的平分線上D.若向量，則與的方向相同或相反【答案】BC【解析】【分析】利用向量得定義、共線向量得概念判斷A、B、D，利用單位向量得定義與加法得平行四邊形法則判斷與的角平分線的關(guān)系，即可判斷C.【詳解】對(duì)于A，如果在線段上，，為線段的四等分點(diǎn)，滿足，且，但、、、四點(diǎn)不能構(gòu)成平行四邊形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)為非零實(shí)數(shù)，且，則非零向量與共線，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，分別為向量，方向上的單位向量，所以的方向與的角平分線重合，又，可得向量所在直線與的角平分線重合，所以點(diǎn)一定在角的平分線上，故C正確對(duì)于D，若向量，則與的方向相同或相反，或與中至少有一個(gè)為零向量，故D錯(cuò)誤.故選：BC11.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，E是棱上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在棱上，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則B.存在點(diǎn)E，使得平面C.若，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則四棱錐的體積為定值D.存在點(diǎn)E，F(xiàn)，使得【答案】BCD【解析】【分析】證明判斷A；利用線面平行的判定判斷B；利用棱錐體積公式判斷C；由點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)的關(guān)系判斷D.【詳解】在長(zhǎng)方體中，若四點(diǎn)共面，平面平面，平面平面，平面平面，則，同理，對(duì)于A，由四點(diǎn)共面，得，則，≌，于是，若不是棱的中點(diǎn)，則有，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，由選項(xiàng)A知，為的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，則，而平面平面，因此平面，B正確；對(duì)于C，由長(zhǎng)方體性質(zhì)知，且平面，平面，則平面，同理可得平面，即點(diǎn)，到平面的距離為定值，又的面積為定值，因此三棱錐和三棱錐的體積都為定值，四棱錐的體積為定值，C正確；對(duì)于D，當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，由選項(xiàng)B知，，由正方形，得，而平面，平面，則，又，平面，于是平面，而平面，所以，，D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：所給幾何體的體積可以直接利用公式求出，還可用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某校高一年級(jí)25個(gè)班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽，通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得了8個(gè)班的比賽得分如下：91，89，90，92，93，87，91，94，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為_(kāi)_____．【答案】93【解析】【分析】把給定8個(gè)得分由小到大排列，再利用分位數(shù)的定義求解即得.【詳解】將8個(gè)班的比賽得分由小到大排列為：87，89，90，91，91，92，93，94，由，得這組數(shù)據(jù)分位數(shù)為93.故答案為：9313.已知球的表面積為，球與一圓柱的兩個(gè)底面和側(cè)面均相切，則該圓柱的側(cè)面積為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由題意可得圓柱的高和底面直徑都等于球的直徑，所以先由球的表面積求出球的半徑，再根據(jù)圓柱側(cè)面積公式計(jì)算即可．【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得，由題意得，圓柱的底面半徑為1，高為2，所以圓柱的側(cè)面積為，故答案為：．14.我國(guó)古代十進(jìn)制數(shù)的算籌記數(shù)法是世界數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大的創(chuàng)造，算籌一般為小圓棍，算籌計(jì)數(shù)法的表示方法為：個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式，千位再用橫式，以此類推；遇零則置空．縱式和橫式對(duì)應(yīng)數(shù)字的算籌表示如下表所示，例如：10記為“—”，62記為“”．現(xiàn)從由4根算籌表示的兩位數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)字為質(zhì)數(shù)的概率為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】分類討論，利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】由題意可知，共有4根算籌，當(dāng)十位1根，個(gè)位3根，共有2個(gè)兩位數(shù)13、17；當(dāng)十位2根，個(gè)位2根，共有4個(gè)兩位數(shù)22，26，62，66；當(dāng)十位3根，個(gè)位1根，共有2個(gè)兩位數(shù)31，71；當(dāng)十位4根，個(gè)位0根，共有2個(gè)兩位數(shù)40，80；其中質(zhì)數(shù)有13、17、31、71，所以取到的數(shù)字為質(zhì)數(shù)的概率為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.設(shè)向量，，．（1）求向量；（2）若，求實(shí)數(shù)k值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由向量的線性運(yùn)算求解即可；（2）由向量垂直的條件即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，則；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，若，則，解得．16.在一個(gè)盒子中有6個(gè)紅球和2個(gè)黑球，這8個(gè)球除顏色外沒(méi)有其他差異.現(xiàn)從中依次隨機(jī)地取出2個(gè)球.（1）若采用放回方式抽取，求兩次取到的球顏色不同的概率；（2）若采用不放回方式抽取，求兩次取到的球顏色相同的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】根據(jù)古典概型概率公式，獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件加法公式求解即可．【小問(wèn)1詳解】采用放回方式抽取，兩次取到的球顏色不同的概率為：；【小問(wèn)2詳解】采用不放回方式抽取，兩次取到的球顏色相同的概率為：.17.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中，已知．（1）求角B的大??；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦求解即得.（2）利用三角形面積公式及余弦定理求解即得.【小問(wèn)1詳解】在中，由及正弦定理得，而，則，由，得，，于是，又，所以.【小問(wèn)2詳解】由，且的面積為，得，即，解得，由余弦定理得，所以的周長(zhǎng)為.18.某保險(xiǎn)公司決定每月給推銷員確定個(gè)具體的銷售目標(biāo)，對(duì)推銷員實(shí)行目標(biāo)管理.銷售目標(biāo)確定的適當(dāng)與否，直接影響公司的經(jīng)濟(jì)效益和推銷員的工作積極性，為此，該公司當(dāng)月隨機(jī)抽取了50位推銷員上個(gè)月的月銷售額（單位：萬(wàn)元），繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.求：（1）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求出月銷售額在小組內(nèi)的頻率，并根據(jù)直方圖估計(jì)，月銷售目標(biāo)定為多少萬(wàn)元時(shí)，能夠使的推銷員完成任務(wù).（2）該公司決定從月銷售額為和的兩個(gè)小組中，選取2位推銷員介紹銷售經(jīng)驗(yàn)，求選出的推銷員來(lái)自不同小組的概率.（3）第一組中推銷員的銷售金額的平均數(shù)為13，方差1.96，第七組中推銷員的銷售金額的平均數(shù)為25，方差3.16，求這兩組中所有推銷員的銷售金額的平均數(shù)，方差.【答案】（1）0.12，17萬(wàn)元（2）（3）平均數(shù)，方差【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1求得所求區(qū)間的頻率，由題意求得的推銷員不能完成月銷售額目標(biāo)得銷售額即可求解；（2）利用舉所有的基本事件和所求事件包含的基本事件，利用古典概型概率公式求解；（3）將數(shù)據(jù)代入平均數(shù)公式和總體方差公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】月銷售額在小組內(nèi)的頻率為，若要使的推銷員完成月銷售額目標(biāo)，則意味著的推銷員不能完成月銷售額目標(biāo)，根據(jù)題圖所示的頻率分布直方圖知，和兩組的頻率之和為，和及三組的頻率之和為，故估計(jì)月銷售目標(biāo)應(yīng)定為萬(wàn)元；【小問(wèn)2詳解】第一組3人記為，第七組2人，則選取2位推銷員有共10種情形，“選取2位推銷員介紹銷售經(jīng)驗(yàn)，求選出的推銷員來(lái)自不同小組”記為事件M，則事件M包含有共6種情形，所以；小問(wèn)3詳解】第一組3人，第七組2人，則這兩組中所有推銷員的銷售金額的平均數(shù)為，方差.19.如圖，在直角梯形中，，，，為的中點(diǎn)，沿將折起，使得點(diǎn)到點(diǎn)的位置，且，為的中點(diǎn)，是上的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求二面角的正切值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由等腰三角形三線合一性質(zhì)可證得；根據(jù)，和平行關(guān)系可