三角函數(shù)的應(yīng)用1 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

5.7 三角函數(shù)的應(yīng)用1高一-人教A版-數(shù)學(xué)-必修一-第五章學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握三角函數(shù)模型應(yīng)用基本步驟:根據(jù)圖象建立解析式,根據(jù)解析式作出圖象,將實(shí)際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型；2.選擇合理三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題，注意在復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，還要調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科知識(shí)來幫助理解問題。引入新課問題

你能舉出生活中具有周期性現(xiàn)象的實(shí)例嗎?周期性現(xiàn)象的例子可能包括以下幾方面：勻速圓周運(yùn)動(dòng)．如表的指針的轉(zhuǎn)動(dòng)，摩天輪等；自然界中的周期性現(xiàn)象．如潮汐變化，日升日落，一天當(dāng)中的氣溫變化等；物理學(xué)中的周期性現(xiàn)象．如鐘擺，彈簧振子運(yùn)動(dòng)，發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的交變電流等．t0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.60y－20.0－17.8－10.10.110.317.720.017.710.30.1－10.1－17.8－20.0模型一：簡諧運(yùn)動(dòng)例1某個(gè)彈簧振子在完成一次全振動(dòng)的過程中，時(shí)間t（單位s）與位移y（單位mm）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示．試根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定這個(gè)振子的位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式．新知探究問題1

畫出散點(diǎn)圖并觀察，位移y隨時(shí)間t的變化規(guī)律可以用怎樣的函數(shù)模型進(jìn)行刻畫？根據(jù)散點(diǎn)圖（如圖），分析得出位移y隨時(shí)間t的變化規(guī)律可以用y＝Asin（ωx＋φ)這個(gè)函數(shù)模型進(jìn)行刻畫．A＝20，T＝60

s，初始狀態(tài)的位移為－20

mm．3函數(shù)的解析式為y

20

sin

10

π

t

π

，t

[0，

)

2

問題2

由數(shù)據(jù)表和散點(diǎn)圖，你能說出振子振動(dòng)時(shí)位移的最大值A(chǔ)，周期T，初始狀態(tài)（t＝0）時(shí)的位移嗎？根據(jù)這些值，你能求出函數(shù)的解析式嗎？簡諧運(yùn)動(dòng)相關(guān)概念簡諧運(yùn)動(dòng)可以用函數(shù)

y

A

sin

ωx

φ

，x

[0，

)

來表示，其中A為ωT振幅（物體離開平衡位置的最遠(yuǎn)距離），T

2π

為周期，

f

1

為頻率．ωx

φ

相位，ω為初相．（1）振幅A＝3，

周期T＝4，頻率f＝

．14（2）設(shè)這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)表達(dá)式為y

3sin

π

x

2π

2 5

練習(xí)1：如圖所示是某簡諧運(yùn)動(dòng)的圖象，試根據(jù)圖象回答下列問題：這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期與頻率各是多少？寫出這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的解析式．變式1：如圖，一根絕對(duì)剛性且長度不變、質(zhì)量可忽略不計(jì)的線，一段固定，另一端懸掛一個(gè)沙漏．讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下鉛錘面內(nèi)做周期擺動(dòng)．若線長l cm，沙漏擺動(dòng)時(shí)離開平衡位置的位移為s（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是ls

3cosgt

π

，t

[0，

).3

當(dāng)l＝25時(shí)，求沙漏的最大偏角（精確到0.0001

rad）；已知g＝9.8m/s2，要使沙漏擺動(dòng)的周期是1s，線的長度應(yīng)當(dāng)是多少（精確到0.1

cm）?解答：（1）最大偏角為0.1203

rad．（2）要使沙漏擺動(dòng)的周期是1

s，線的長度l應(yīng)當(dāng)為24.8

cm．模型二：交變電流（2）當(dāng)時(shí)，求電流i．1600

150

600

60t

0，

1

，1

，7

，圖（1）圖（2）例2

如圖（1）所示的是某次實(shí)驗(yàn)測得的交變電流i（單位A）隨時(shí)間t（單位s）變化的圖象．將測得的圖象放大，得到圖（2）．（1）求電流i隨時(shí)間t變化的函數(shù)解析式；由交變電流的產(chǎn)生原理可知，電流i隨時(shí)間t的變化規(guī)律可以用i

Asin

ωt

φ

，t

0，

來刻畫．問題3

觀察圖象，交變電流i隨時(shí)間t的變化滿足怎樣的函數(shù)模型？，初始狀態(tài)的電流為4.33

A．50解：A

5，T

1

s由這些值可求得電流i隨時(shí)間t的變化的解析式是i

5sin(100πt

π

)，

t

[0，

)當(dāng)t

0時(shí)，i

5

313當(dāng)t

時(shí)，i

51150當(dāng)t

60076002時(shí)，i

0

當(dāng)t

時(shí)，i

560當(dāng)t

1

時(shí)，i

0問題4

根據(jù)圖象，你能說出電流的的最大值A(chǔ)，周期T，初始狀態(tài)（t＝0）時(shí)的電流嗎？由這些值，你能進(jìn)一步解決問題（1）、（2）嗎？練習(xí)2：一臺(tái)發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的電流是正弦式電流，電壓和時(shí)間之間的關(guān)系如圖所示．由圖象說出它的周期、頻率和電壓的最大值，并求出電壓U（單位V）關(guān)于時(shí)間t（單位s）的函數(shù)解析式．答案：周期為0.02，頻率為50，電壓的最大值為311

V．電壓和時(shí)間的函數(shù)解析式為U＝311sin100πt，t∈[0，+∞)．問題5

對(duì)于一個(gè)周期性現(xiàn)象，你該如何利用三角函數(shù)來刻畫？你能舉出一些符合三角函數(shù)規(guī)律的實(shí)際模型嗎？在本節(jié)課中，你經(jīng)歷了怎樣的學(xué)習(xí)過程，涉及哪些數(shù)學(xué)思想方法，還有哪些其它方面的收獲？課堂小結(jié)利用三角函數(shù)刻畫周期性現(xiàn)象，就是要找出這一現(xiàn)象中哪兩個(gè)變量滿足“當(dāng)其中一個(gè)變量增