高考數(shù)學二輪復習 09 概率與統(tǒng)計教學案 文

力創(chuàng)余

一.考場傳真

1.【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（福建卷）文科】已知lx與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表:

Xi3456

y01334

假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為y="+。,若某同學根據(jù)上表

中的前兩組數(shù)據(jù)（1,0）和（2,2）求得的直線方程為了=以+",則以下結(jié)論正確的是（）

A.b>b',a>a'B.b>b',a<a'C.b<b',a>a'D.b<b',a<a'

［答案］C

［解析］散點圖如右，顯然后四個點都不在直線丁=3夕+福的左上方，所以回歸直線斜率應該更小，縱截距

更大，故選C.

2.［2012年高考遼寧卷文科11】在長為12cm的線段AB上任取一點C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段

AC,CB的長，則該矩形面積大于20cni2的概率為（）

1124

（A）-（B）-（0-（D）-

6335

I答案】C

【解析】設(shè)線段AC的長為xcm,則線段CB的長為（12-x）cm,那么矩形的面積為X（12-X）cm；,

2

由x（12-x）>20,解得2Vx<10.又0cx<12,所以該矩形面積小于32cm，的概率為§,故選C

3【2012年高考上海卷文科11】三位同學參加跳高、跳遠、鉛球項目的比賽，若每人只選擇一個項目，則

有且僅有兩位同學選擇的項目相同的概率是（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）.

2

r答案】-

3

【解析】一共有27種取法，其中有且只有兩個人選擇相同的項目的取法共有18種，所以根據(jù)古典概型得

到此種情況下的概率為￡2.

3

4.（2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）文科】四名同學根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x,y

之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結(jié)論：

①y與x負相關(guān)且y=2.347x-6.423；②y與x負相關(guān)且y=-3.476x+5.648；

③y與x正相關(guān)且y=5.437x+8.493；④y與x正相關(guān)且y=-4.326x-4.578.

其中一定不氐曬的結(jié)論的序號是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

［答案］D

［解析］由正負相關(guān)的定義知，①錯，表達式表示的是正相關(guān)，④錯，表達式表示的負相關(guān)，故①④一定錯，

選D.

5.【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）文科】某學校隨機抽取20個班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上

購物經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.以組距為5將數(shù)據(jù)分組成［0,5）,［5,10）,…，［30,35）,

［35,40］時，所作的頻率分布直方圖是（）

【解析】由莖葉圖，有

組別[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]

頻數(shù)11424332

上表對應的頻率分布直方圖為A，故選A.

【易錯點】莖葉圖和頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)的讀取和處理.

6.【2012年高考廣東卷文科13】由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)x“X2,X”x.i,其平均數(shù)和中位數(shù)都是2,且標

準差等于1,則這組數(shù)據(jù)為。（從小到大排列）

【答案】1,1,33

【解析】由題意知：不妨設(shè)々《后二個工演，演,孫，工3,天?N*,依題意得+勺+々=8,

s=心&-2y+（向一2y+6-2）2-2力=1,

即（々—2）2+（弓_2）2+（X3-2）2+（/-2）2=4,所以5V3

則只能再=今=則這組數(shù)據(jù)為

1，X3=X4=3,1,1,3,3.

7.【2012年高考四川卷文科17】某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)（簡稱系統(tǒng)）A和8,系統(tǒng)A

和系統(tǒng)8在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為2■和p。

10

49

（1）若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為濟，求〃的值；

（II）求系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率。

【解析】（1）設(shè)：“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C,那么

1491

1—產(chǎn)（C）=1--p--,解得P=—......................6分

10505

（2）設(shè)“系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)”為

事件D,

那么產(chǎn)（。=C；1-X（1--5-）2+==竺2

1010101000250

答：檢測中_不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率為2絲43............12分.

250

二.高考研究

說明：復制考綱對本專題的要求，然后根據(jù)上面的高考題，研究對于本專題高考如何考的。有哪些命題規(guī)

律。這里可以發(fā)表自己的見解。

1.考綱要求.

①了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別；了解兩個

互斥事件的概率加法公式.

②.理解古典概型及其概率計算公式；會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

③.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率；了解兒何概型的意義.

④.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性.

⑤.理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單的應用.

⑥.了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡

單的實際問題.

⑦..理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并

能解決一些實際問題.

⑧.利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

⑨.了解下列一些常見的統(tǒng)計方法，并能應用這些方法解決一些實際問題.

⑩.了解獨立性檢驗(只要求2X2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡單應用.了解假設(shè)檢驗的基本思想、

方法及其簡單應用；了解回歸的基本思想、方法及其簡單應用.

2.命題規(guī)律

試題特點(1)概率統(tǒng)計試題的題量大致為2道，約占全卷總分的6%-10%,試題的難度為中等或中等偏易。

(2)概率統(tǒng)計試題通常是通過對課本原題進行改編，通過對基礎(chǔ)知識的重新組合、變式和拓展，從而加工

為立意高、情境新、設(shè)問巧、并賦予時代氣息、貼近學生實際的問題。這樣的試題體現(xiàn)了數(shù)學試卷新的設(shè)

計理念，尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實際，體現(xiàn)了人文教育的精神。(3)概率統(tǒng)計試題主

要考查基本概念和基本公式，對等可能性事件的概率、互斥事件的概率、獨立事件的概率、事件在n次獨

立重復試驗中恰發(fā)生k次的概率、離散型隨機變量分布列和數(shù)學期望、方差、抽樣方法等內(nèi)容都進行了考

查。

基礎(chǔ)知識整合

說明：基礎(chǔ)知識要精選，找核心的知識，寧缺毋濫，且滲透知識間的聯(lián)系性，補充教學中總結(jié)出來的常用

的結(jié)論，即高于簡單的知識的羅列.體現(xiàn)整合的思路.

1.等可能性事件的概率P(A)=—.

n

2.互斥事件A,B分別發(fā)生的概率的和P(A+B)=P(A)+P(B).

〃個互斥事件分別發(fā)生的概率的和PS1+A2+…+An)=P(Ai)+P(A2)+—+P(An).

3.獨立事件A,B同時發(fā)生的概率P(A?B)=P(A)?P(B).

事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率P(B|A)="歿

P(A)

4.n個獨立事件同時發(fā)生的概率P(A1?A2..An)=P(Aj),P(A2)....P(An).

5.n次獨立重復試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率P“(k)=CW(1-P)n-k.

二.高頻考點突破

本章知識的高考命題熱點有以下兩個方面：

1.概率統(tǒng)計是歷年高考的熱點內(nèi)容之一，考查方式多樣，選擇題、填空題、解答題中都可能出現(xiàn)，數(shù)量各1

道，難度中等,主要考查概率與統(tǒng)計的基本概念、公式以及基本技能、方法，以及分析問題、解決問題的能

力，通常以實際問題的應用為載體，以排列和概率統(tǒng)計知識為工具，考察概率的計算、隨機變量的概率分

布、均值、方差、抽樣方法、樣本頻率估計等內(nèi)容。二項式定理主要以選擇填空的形式出現(xiàn)，難度中等。

隨機變量的分布列、期望、方差相結(jié)合的試題

2.樣本抽取識別與計算也常在選擇、填空題中出現(xiàn)，條件概率、隨機變量與服從幾何分布及服從超幾何分

布的概率計算問題;獨立性檢驗等新課標中新增內(nèi)容頁會有不同程度的考察。

3.預計在2014年高考中，概率統(tǒng)計部分的試題仍會以實際問題為背景,概率與統(tǒng)計相結(jié)合命

題.

【要點梳理】

1.概率

(1)主要包括古典概型、幾何概型、互斥條件的概率、條件概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率、n次獨

立重復試驗等。(2)互斥事件的概率加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)，若A與B為對立事件，則

P(A)=1-P(B),(3)求古典概型的概率的基本步驟:算出所有基本事件的個數(shù)；求出事件A包含的基本事

件個數(shù)；代入公式，求出P(A)；(4)理解幾何概型與古典概型的區(qū)別，幾何概型的概率是幾何度量之比，主要

使用面積之比與長度之比.

2.抽樣方法

抽樣方法主要有簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣。分層抽樣三種，正確區(qū)分這三種抽樣.3.頻率分布直方圖

頻率分布直方圖中每一個小矩形的面積等于數(shù)據(jù)落在相應區(qū)間上的頻率，所有小矩形的面積之和等于L

4.平均數(shù)和方差：方差越小，說明數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。

5.兩個變量間的相關(guān)關(guān)系：能做出散點圖，了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式

建立線性回歸方程。

6.離散型隨機變量的分布列

熟練掌握幾個常見分布：1、兩點分布；2、超幾何分布；3、二項分布7.離散型隨機變量的均值和方差:

是當前高考的熱點內(nèi)容。8.正態(tài)分布是一種常見分布。

考點1概率

【例1】【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(安徽卷文科)】若某公司從五位大學畢業(yè)生甲、乙、丙、

丁、戌中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為()

2?

(A)-(B)-

35

39

(C)—(D)—

510

【答案】D

【分析】本題考查古典概型的概率問題，求解此類問題要求能夠準確的確定基本事件空間的基本事件個數(shù)，

和所求事件所含的基本事件個數(shù).

【解析】總的可能性有10種，甲被錄用乙沒被錄用的可能性3種，乙被錄用甲沒被錄用的可能性3種，甲

乙都被錄用的可能性3種，所以最后的概率3+士3+3=之9

1010

【規(guī)律方法】概率部分主要包括古典概型、幾何概型、互斥條件的概率、條件概率、相互獨立事件同時發(fā)

生的概率等，這些都是高考考查的重點內(nèi)容，必須熟練掌握.

【舉一反三】【山西省忻州一中康杰中學臨汾一中長治二中2014屆高三第一次四校聯(lián)考文】袋中共有5

個除顏色外完全相同的小球，其中1個紅球，2個白球和2個黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑

的概率等于()

1

A.一

5

【答案】B

【解析】

試題分析：用工表示紅球，用,易表示兩個白球，GC2表示兩個黑球，任取兩求的基本事件有4%,

AB2,AC^AC2,B島,用g,4G2，芻Ci，為弓GC2共10種，一白一黑的為瓦C1,4J，82c1，鳥5共4種,

由古典概型的概率計算公式得產(chǎn)=4二=士2，選B.

105

考點2統(tǒng)計

[例2]【湖北省武漢市2014屆高三10月調(diào)研測試數(shù)學（文）】某校從高一年級學生中隨機抽取部分學生,

將他們的模塊測試成績分成6組:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]

加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知高一年級共有學生600名，據(jù)此估計,該模塊測試成

)

C.450D.120

【答案】B

【分析】本題考查了統(tǒng)計的直方圖,在此圖中切記其縱坐標為頻率/組距.

【解析】根據(jù)頻率分布直方圖可知成績介入60~100的頻率為10.03+0.025+0.015+0.01，x10=0.8,

所以600x0.8=480.

【觀律方法】統(tǒng)計的直方圖切記其縱坐標為頻率/組距，從而計算出頻率，再根據(jù)所得的頻率求相關(guān)的問題.

其次要注意所有的頻率和為1.

【舉一反三】【廣東省廣州市越秀區(qū)2014屆高三上學期摸底考試（文）】某校高二年級100名學生期中考

試數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],則這100名學生數(shù)學成績在[70,100]分數(shù)段內(nèi)的人

數(shù)為（）

A.45B.50C.55D.60

【解析】由于在頻率分布直方圖中，各矩形的面積之和為1，則有ax10x2+0.04x10+0.03x10

4-0.02x10=1,即20a+0.9=l=a=0.005,故學生數(shù)學成績在[70,100]的頻率為0.03x10+0.02x10

4-0.005x10=0.55,故這100個學生數(shù)學成績在［70,100］的人數(shù)為100x0.55=55.

考點3頻率分布直方圖

【例3】【2012年高考廣東卷文科17］某校100名學

生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖4所示，其中成績

分組區(qū)間是：[50,60),[60,70),

[70,80),[80,90),[90,100].

（1）求圖中a的值

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這

（3）若這10Q名學生語文成績某些分數(shù)段的人數(shù)（x）

與數(shù)學成績相應分數(shù)段的人數(shù)（y）之比如下表所示，求

數(shù)學成績在［50,90）之外的人數(shù).

分數(shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)

1：12：13：44：5

【答案】（1）0.005；（2）75；（3）10人.

【分析】（1）頻率分布直方圖中切記其縱坐標為頻率/組距，其次要注意所有的頻率和（矩形面積和）為1.本

題中，先計算各組的頻率，再由此得到所求相關(guān)組的頻率，根據(jù)組卷即可確定圖中a的值.（2）根據(jù)平均

數(shù)的計算方法，取各組區(qū)間的中間數(shù)代人進行計算，即可得到平均數(shù)；（3）可以先計算語文成績在這些分

數(shù)段的成績，再求出相應的數(shù)學成績在這些分數(shù)段的成績，最后即可得到所求.

【解析】（1）由頻率分布直方圖中各個矩形的面積之和等于1可得:a=If3=。2）=0005.

2

⑵這1。0名學生語文成績的平均分為55x0.05+65x0.4+75x0.3+85x0.2+95x0.05=75.

⑶因為語文成績在這些分數(shù)段的人數(shù)人別為5TQ3CUQ；所以數(shù)學成績在前四段分數(shù)段的人數(shù)人別為

5二。,4。,25,所以數(shù)學成績在［5。，90）之外的人數(shù)為1Q人.

【竊律方法】：本題考查頻率分布直方圖.注意圖中的縱坐標，以及圖中矩形面積和為1這一結(jié)論.此外，涉

及頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算問題，應取區(qū)間中間數(shù)代入計算.

【舉一反三】【廣東省廣州市執(zhí)信、廣雅、六中2014屆高三10月三校聯(lián)考（文）】（本小題滿分12分）某市

為增強市民的環(huán)境保護意識，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機抽取100名按年

齡分組：第1組［20,25）,第2組［25,30），第3組［30,35）,第4組［35,40）,第5組［40,45］,得到的

頻率分布直方圖如圖所示.

1M

（1）若從第3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場的宣傳活動，應從第3,4,5組各抽

取多少名志愿者？

（2）在（1）的條件下，該縣決定在這6名志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗，求第4組至少有

一名志愿者被抽中的概率.

3

【答案】⑴3,2,1；（2）

【解析】

試題分析：（D先由頻率分布直方圖得到第3,4,5組的概率，從而得到這三組中各組的人數(shù)以及三蛆總?cè)?/p>

數(shù)，所以易知這三蛆人數(shù)的比例關(guān)系，從而由分層抽樣的定義確定在各蛆中應抽取多少人；（2）先確定在

這6名志愿者中隨機抽取2名志愿者共有多少種抽取方法，在確定第4組至少有一名志愿者被抽中時的抽取

方法有多少種，用后者比前者即為所求.

試題解析：（1）第3組的人數(shù)為0.3x10。=3a第4組的人數(shù)為Q.2X1QQ=2Q,第：組的人數(shù)為

0.1x100=10.........3分

因為第3凡5組共有60名志愿者,所以利用分層抽樣的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每組抽取的人

數(shù)分別為第3組稱、6=3:第4組^x6=2.第5組：4"64

606060

所以應從第3,4,5組中分別抽取3人,2人1人.........6分

⑶記第3組的3名志愿者為A：R：A第4組的2名志愿者為第5組的1名志愿者為C；.

則從6名志愿者中抽取2名志愿者有：

（AhA：）,（A],A5）.（A；:3；）t（A；3i）,（A；,Ci）,（Ai,A：）,（A：,Bi）,（A2!B：）,（Ai!Ci）,（A：tB]）,（A：IB2）,

（AC）,（Bi,B",（Bi,C】）,（B：,CD,共有丫種........8分

其中第4組的2名志愿者3支比至少有一名志愿者被抽中的有

（AhBi）.（Ai.B：）.（A：B）,（A>B2）,（A3B）,（A3R）,（B],B2）,（B】C）,（B〉C上共有9種‘

.........10分

Q3

所以第4組至少有一名志愿者被抽中的概率為不=;........匕分

155|

三.錯混辨析

1、“非等可能”與“等可能”混淆

【例1】（古典概型）：擲兩枚骰子，求所得的點數(shù)之和為6的概率。

【錯原】擲兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和2,3,4,…，12共11種基本事件，所以概率為尸=工。

11

【正解】以上11種基本事件并不是等可能的，如點數(shù)和為2的只有（1,1）,而點數(shù)和為6的有（1,5）、（2,

4）、（3,3）、（4,2）、（5,1）共5種。事實上，擲兩枚骰子共有36種基本事件，且是等可能的，所以“所

得點數(shù)之和為6”的概率為P=2。

36

【例2】（幾何概型）：如圖1,在等腰中，過直角頂點C在NACB內(nèi)部任作一條射線CM與線段

AB交于點M,求|AM|<|Aq的概率。

圖1

圖2

【錯原】在A8上取AC'=AC,在NACB內(nèi)作射線CM看作在線段AC'上任取一點M,過C、M作射

Ar

線CM,則概率為2匕AC_亞

-

ABABV

【分析】如圖2,在乙4cB內(nèi)部任作射線，則射線落在乙4cB內(nèi)的概率是一定的，但在，里，處的值

DFHKAB

是變化的.

【正解】在乙4cB內(nèi)的射線CM是均勻分布的，所以射線CM在任何位置都是等可能的，在49上取

AC'=AC,則乙4CC'=67.5。,故滿足條件的概率為—

904

2.“互斥”與“對立”

【例3】把紅、黑、白、藍4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每個人分得1張，事件“甲分得紅

牌”與“乙分得紅牌”是：

A.對立事件B.不可能事件C.互斥但不對立事件D.以上均不對錯解：A

【分析】本題錯誤在于把“互斥”與“對立”混同，要準確解答這類問題，必須搞清對立事件與互斥事件

的聯(lián)系與區(qū)別：

(1)兩事件對立，必定互斥，但互斥未必對立；

(2)互斥的概念適用于多個事件，但對立概念只適用于兩個事件；

(3)兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個，但可以都不發(fā)生；而兩

事件對立則表示它們有且僅有一個發(fā)生.

【正解】事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不能同時發(fā)生的兩個事件，這兩個事件可能恰有一個發(fā)

生，也可能兩個都不發(fā)生，所以應選C.

3.“互斥”與“獨立”

【例4】甲投籃命中率為0.8,乙投籃命中率為0.7,每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？

【錯原】設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A,“乙恰好投中兩次”為事件B,

則所求事件為4+8,P(A+B)=P(A)+P(B)=C；0.82x0.2+C；0.72x0.3=0.825。

t分析】本題錯誤原因是把相互獨立同時發(fā)生的事件當成了互斥事件.

【正解】設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A,“乙恰好投中兩次”為事件B,且A,B相互獨立，則兩人都恰好

投中兩次為事件jxB,于是產(chǎn)(jxB)=產(chǎn)(/)尸(8)=C：0.82X0.2XC；0.72X0.3N0.169

—.原創(chuàng)預測

說明：可以是高考題的改編題，可以是精選的最新模擬試題，必須讓老師一看，眼前一亮的感覺，出題的

角度、試題的新穎度.這個需要有經(jīng)驗，一看這個題就是一個好題，新題.

數(shù)量：3---5道.

1.【湖北省武漢市2014屆高三10月調(diào)研測試數(shù)學(文)】如圖，在矩形區(qū)域/四的4C兩點處各有一個

通信基站，假設(shè)其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域力比、和扇形區(qū)域⑦尸(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源,

基站工作正常）.若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選一地點，則該地點無信號的概率是（）

7T

C.2-

【答案】A

【解析】

1X2---7T-12

試題分析：幾何概型，尸=-------------=1--

1x24

2.［浙江溫州市十校聯(lián)合體2014屆高三上學期期初聯(lián)考數(shù)學（文科）】已知函數(shù)/（%）=^x3+ax2+b2x+i,

若。是從1,2,3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，。是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的

概率為（）

.7105a2

A.-Bn.-C.-D.一

9