函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解7種常見考法歸類

4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解7種常見考法歸類1、函數(shù)的零點(diǎn)（1）概念：對(duì)于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．（2）函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)、對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系：注：函數(shù)的零點(diǎn)不是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)數(shù)，該數(shù)是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2、函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的解．注：（1）函數(shù)零點(diǎn)存在定理的條件有哪些？定理要求具備兩條：①函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；②f(a)·f(b)<0.（2）在函數(shù)零點(diǎn)存在定理中，若f(a)·f(b)<0，則函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)．則滿足f(x)在(a，b)內(nèi)連續(xù)且單調(diào)，且f(a)·f(b)<0.3、求函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)的方法(1)代數(shù)法：根據(jù)零點(diǎn)的定義，解方程f(x)＝0，它的實(shí)數(shù)根就是函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(2)幾何法或性質(zhì)法：若方程f(x)＝0的解不易求出，可以根據(jù)函數(shù)y＝f(x)的性質(zhì)及圖象求出零點(diǎn)．例如，已知f(x)是定義在R上的減函數(shù)，且f(x)為奇函數(shù)，求f(x)的零點(diǎn)：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，那么由奇函數(shù)的性質(zhì)可知f(0)＝0，因?yàn)閒(x)是定義在R上的減函數(shù)，所以不存在其他的x使f(x)＝0，從而y＝f(x)的零點(diǎn)是0.4、判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的六種常用方法(1)分解因式法：可轉(zhuǎn)化為一元n次方程根的個(gè)數(shù)問題，一般采用分解因式法來解決．(2)判別式法：可轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題，通常用判別式法來判斷根的個(gè)數(shù)．(3)利用方程根，轉(zhuǎn)化為解方程，有幾個(gè)不同的實(shí)數(shù)根就有幾個(gè)零點(diǎn)．(4)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(5)結(jié)合單調(diào)性，利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(6)轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．5、確定函數(shù)f(x)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)解方程法：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程f(x)＝0易解時(shí)，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上．(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(bf(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)．(3)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷．6、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)值(范圍)的方法已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)取值范圍的方法：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍．(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．考點(diǎn)一求函數(shù)的零點(diǎn)考點(diǎn)二零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題考點(diǎn)三判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間考點(diǎn)四根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間求參數(shù)范圍考點(diǎn)五已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍考點(diǎn)六比較零點(diǎn)大小考點(diǎn)七求零點(diǎn)的和考點(diǎn)一求函數(shù)的零點(diǎn)1．（2023秋·安徽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解方程，即可得出答案.【詳解】解方程，即，解得或，因此，函數(shù)的零點(diǎn)為.故選：.2．（2023秋·陜西西安·高一交大附中?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)圖象如圖所示，那么二次函數(shù)的零點(diǎn)是．【答案】【分析】結(jié)合函數(shù)的圖象即可求解；【詳解】根據(jù)圖象可得函數(shù)的零點(diǎn)是，故答案為：.3．（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)為．【答案】【分析】解方程，求出答案.【詳解】令，故，解得，故的零點(diǎn)為2.故答案為：24．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如果存在，請(qǐng)求出．(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)零點(diǎn)是(2)不存在(3)零點(diǎn)是(4)零點(diǎn)是3【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的概念結(jié)合條件即得.【詳解】（1）令，解得，所以函數(shù)的零點(diǎn)是；（2）令＝0，由于，所以方程無(wú)解，所以函數(shù)不存在零點(diǎn)；（3）令，解得，所以函數(shù)的零點(diǎn)是；（4）令，解得，所以函數(shù)的零點(diǎn)是3.5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如果存在，請(qǐng)求出零點(diǎn).(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)和1(2)(3)2(4)和【分析】根據(jù)零點(diǎn)定義，令函數(shù)為0，解出值即可.【詳解】（1）令，解得或.所以函數(shù)的零點(diǎn)為，1.（2）令，即，解得.所以函數(shù)的零點(diǎn)為.（3）令，即，解得.所以函數(shù)的零點(diǎn)為2.（4）當(dāng)時(shí)，由，即，也就是，解得或.因?yàn)椋?；?dāng)時(shí)，由，即，解得，滿足.所以函數(shù)的零點(diǎn)為和.6．（2023秋·江蘇南京·高一南京市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到是函數(shù)的根，再利用韋達(dá)定理求解即可.【詳解】因?yàn)槭呛瘮?shù)的根，由題意，，，故選：D.7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若是奇函數(shù)，且是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則一定是下列哪個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)是奇函數(shù)可得，因?yàn)槭堑囊粋€(gè)零點(diǎn)，代入得，利用這個(gè)等式對(duì)A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行一一判斷可得答案.【詳解】因?yàn)槭堑囊粋€(gè)零點(diǎn)，所以，又因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以，所以，即.所以，故一定是的零點(diǎn).故選：C.8．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則方程的解集為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用換元法求出方程的解集作答.【詳解】函數(shù)，令，則方程化為，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，因此或，當(dāng)時(shí)，，顯然，即，解得，當(dāng)時(shí)，，若，則，解得，若，則，解得，因此或，所以方程的解集為.故答案為：9．（2023秋·甘肅白銀·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)則函數(shù)的所有零點(diǎn)構(gòu)成的集合為．【答案】【分析】本題即求方程的所有根的集合，先解方程，得到，然后再解方程，可得所求．【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的所有根，令，根據(jù)函數(shù)，方程的解是，則方程的根，即為方程的根，當(dāng)時(shí)，，由，，當(dāng)時(shí)，，由，，綜上，函數(shù)所有零點(diǎn)構(gòu)成的集合是.故答案為：.考點(diǎn)二零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題10．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）方程解的個(gè)數(shù)為.【答案】1【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理，或者函數(shù)與方程的思想判斷函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得出答案.【詳解】解法一：令，則；在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)與的圖象，如圖所示.由圖可知函數(shù)與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).故原方程只有1個(gè)解.解法二：因?yàn)椋?，所以，說明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).又在區(qū)間上是增函數(shù)，所以原方程只有一個(gè)解.故答案為：111．（2023秋·福建漳州·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】分和兩種情況，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理分析求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，即，可得，所以在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則，即，可得，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；綜上所述：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè).故選：A.12．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）討論方程的解的個(gè)數(shù)與分布情況．【答案】答案見解析【分析】方程的解是函數(shù)的零點(diǎn)，可以通過適當(dāng)?shù)挠?jì)算和增減性討論來解答；也可以將所求方程的解看成是兩函數(shù)和的圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【詳解】函數(shù)，其零點(diǎn)就是方程的解．計(jì)算得：，，可見在內(nèi)有零點(diǎn)．另一方面，由于單調(diào)遞增而也單調(diào)遞增（因?yàn)閱握{(diào)遞減），因此單調(diào)遞增，所以在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)．由圖象可看出，函數(shù)與的圖象只在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，所以原方程有且只有一個(gè)解，且此解在區(qū)間上．13．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是定義在上的周期為5的奇函數(shù)，，則在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最少是（

）A．4 B．6 C．7 D．9【答案】D【分析】利用函數(shù)的周期性、奇偶性求區(qū)間零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的周期為5的奇函數(shù)，所以，又，所以，則，則．所以，故零點(diǎn)至少有，則在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最少是9．故選：D14．（2023秋·北京大興·高三北京市大興區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】結(jié)合分段函數(shù)，在各自的范圍判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，解得：；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，又，所以，所以在上有且只有1個(gè)零點(diǎn)；綜上，在上有2個(gè)零點(diǎn).故選：C15．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.【答案】3【分析】時(shí)，，由數(shù)形結(jié)合知，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)．依據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性知，時(shí)也有一個(gè)零點(diǎn)．又因?yàn)槠婧瘮?shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，所以，即過原點(diǎn)．從而可求出結(jié)果.【詳解】∵函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，∴，所以0是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，得到，分別畫出函數(shù)和的圖像，如圖所示，有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，又根據(jù)對(duì)稱性知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)也有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故答案為：3.16．（2023秋·貴州遵義·高三?？茧A段練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上的圖象如圖所示.(1)在答題卡中作出在上的圖象；(2)求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)答案見解析(2)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，即可畫出函數(shù)圖象；（2）依題意可得，則問題轉(zhuǎn)化為直線與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則作出在上的圖象如下圖所示：（2）由，得，因?yàn)椋灾本€與的圖象有個(gè)公共點(diǎn)，所以零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4.17．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程和根的個(gè)數(shù)，然后再轉(zhuǎn)化為函數(shù)與，圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，最后結(jié)合圖象判斷即可.【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)，即方程和的根，函數(shù)的圖象，如下圖所示：由圖可得方程和的根，共有4個(gè)根，即函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)．故選：C．考點(diǎn)三判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間18．（2023秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【詳解】在上連續(xù)且單調(diào)遞增，，，故函數(shù)的零點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi)．故選：B．19．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)存在性定理求解.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：C20．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，即可判斷選項(xiàng).【詳解】函數(shù)為增函數(shù)，，，，，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：B21．（2023秋·北京豐臺(tái)·高三北京市第十二中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計(jì)算端點(diǎn)函數(shù)值，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理和單調(diào)性直接判斷可得.【詳解】易知增函數(shù)加增函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，且，，所以存在唯一零點(diǎn)，且.故選：C.22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，則所在的區(qū)間是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由零點(diǎn)存在性定理求解．【詳解】易知在上單調(diào)遞增且連續(xù)，，，所以故選：B23．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理即可得解.【詳解】由單調(diào)性的性質(zhì)易得在上單調(diào)遞增，又，，所以的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：C.24．（2024秋·四川廣安·高三四川省廣安友誼中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在（

）內(nèi).A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合零點(diǎn)存在性定理列不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在連續(xù)不斷，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理另一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi).故選：C.25．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）方程的根所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)零點(diǎn)存在性定理分析判斷即可【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)楹驮谏蠁握{(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，因?yàn)?，，，由的單調(diào)性可知，，則，故函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為，即方程的根屬于區(qū)間．故選：C26．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中校考一模）方程的根所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將問題轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)所在區(qū)間的求解問題，利用零點(diǎn)存在定理求解即可.【詳解】設(shè)，則方程根所在區(qū)間即為零點(diǎn)所在區(qū)間，與在上均為增函數(shù)，在上單調(diào)遞增；對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，即，，使得，B正確；對(duì)于CD，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間和上無(wú)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤.故選：B.27．【多選】（2023秋·新疆·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對(duì)應(yīng)值表：135724131則一定包含的零點(diǎn)的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理結(jié)合表中的數(shù)據(jù)分析判斷即可【詳解】因?yàn)榈膱D象是一條連續(xù)不斷的曲線，且，所以一定包含的零點(diǎn)的區(qū)間是．故選：BCD28．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，且，，則下列命題不正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)B．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)C．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)D．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)【答案】ABC【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理分析判斷.【詳解】因?yàn)?，則中有一個(gè)小于0，另兩個(gè)大于0，或三個(gè)都小于0.若，又，則，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)；若，又，則，，所以函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)有零點(diǎn)；若，又，則，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)；若，又，則，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，綜上，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)，因此ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：ABC.考點(diǎn)四根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間求參數(shù)范圍29．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)為，且，，則k的值為（

）A．1 B．2 C．0 D．3【答案】A【分析】利用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理求解.【詳解】解：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又，所以，故選：A30．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi)，則.【答案】2【分析】利用函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，易知，而，所以,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，所以可得.故答案為：31．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間，列出相應(yīng)不等式，即可求得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)得，解得，故選：A32．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷出在上是增函數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理列不等式可求a的范圍.【詳解】和在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，只需即可，即，解得．故選：B.33．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)存在1個(gè)零點(diǎn)位于內(nèi)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應(yīng)用零點(diǎn)存在定理結(jié)合函數(shù)單調(diào)性列不等式求解即可.【詳解】若函數(shù)存在1個(gè)零點(diǎn)位于內(nèi)，單調(diào)遞增,又因?yàn)榱泓c(diǎn)存在定理，.故選：A.34．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可得，解出實(shí)數(shù)的取值范圍為.【詳解】由零點(diǎn)存在定理可知，若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，顯然函數(shù)為增函數(shù)，只需滿足，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D35．（2023秋·山東棗莊·高一棗莊市第三中學(xué)校考期中）函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，在根據(jù)零點(diǎn)情況，結(jié)合端點(diǎn)值的正負(fù)，列式求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】為增函數(shù)減函數(shù)=增函數(shù)，若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則且，解得：.故答案為：36．（2023春·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則整數(shù)t的值為．【答案】1【分析】得到的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理及特殊值求出答案.【詳解】在R上單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在性定理可知，，由于，故整數(shù).故答案為：137．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）方程在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)在區(qū)間端點(diǎn)的正負(fù)列式求解即可.【詳解】考查，因?yàn)?，且開口向上，故在區(qū)間上最多有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得，若方程在區(qū)間上有解，則，即，解得.故答案為：38．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，其中，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象的交點(diǎn)，根據(jù)，得到函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合題意得到，即可求解.【詳解】如圖所示，函數(shù)的零點(diǎn)，即函數(shù)與圖象的交點(diǎn)，由圖象可知，兩函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，且，所以，所以函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，又由，所以，所以.故答案為：.考點(diǎn)五已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍39．（2023秋·江蘇南京·高一南京市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值集合為【答案】【分析】分和討論即可.【詳解】（1）若，即時(shí)，①當(dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)沒有零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，此時(shí)，令，解得，符合題意，（2）當(dāng)時(shí)，令，則，解得或1（舍去），綜上或，則的取值集合為.故答案為：.40．（2023秋·山東德州·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，.若有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是.【答案】【分析】令，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，然后在同一坐標(biāo)系中，畫出與的函數(shù)圖象，最后根據(jù)圖象求解出結(jié)果.【詳解】令，則,在同一坐標(biāo)系中畫出，圖象的示意圖，如圖所示，若存在2個(gè)零點(diǎn)，則的圖象與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，平移的圖象可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，得到，當(dāng)在上方，即時(shí)，僅有1個(gè)交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)在下方，即時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，綜上，a的取值范圍為，故答案為：.41．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若二次函數(shù)在區(qū)間有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的對(duì)稱軸，然后根據(jù)已知可得，從而可求得結(jié)果.【詳解】二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以，即，得，即的取值范圍為，故選：A42．（2023秋·北京海淀·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將有兩個(gè)不同的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程在有，兩個(gè)根，然后利用韋達(dá)定理列不等式求解即可.【詳解】令，則，函數(shù)單調(diào)遞增，所以要想有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則需要函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程在有，兩個(gè)根，所以，解得.故選：B.43．（2023秋·河北石家莊·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，．若有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】有2個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，利用函數(shù)圖象判斷實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，令可得，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示：由上圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)．因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：D．44．【多選】（2023·江蘇連云港·校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則下列選項(xiàng)中可以作為實(shí)數(shù)取值范圍的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】將方程有根轉(zhuǎn)化為曲線和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，根據(jù)函數(shù)圖像分析運(yùn)算即可得解.【詳解】解：因?yàn)殛P(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以函數(shù)的圖象與直線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象，如下圖所示，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是．四個(gè)選項(xiàng)中只要是的子集就滿足要求.故選：BCD.45．（2023秋·北京·高三北京四中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．①若，則函數(shù)的值域?yàn)?；②若函?shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域；根據(jù)零點(diǎn)和對(duì)應(yīng)方程的解得關(guān)系可知，當(dāng)時(shí)方程有1個(gè)解，當(dāng)時(shí)方程有2個(gè)解，結(jié)合即可求解.【詳解】若，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即函數(shù)的值域?yàn)?；若函?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)解，則，即，由解得，綜上，，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：；.46．（2023秋·福建福州·高二校考階段練習(xí)）設(shè)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】求出在時(shí)的取值范圍，再畫出函數(shù)圖象，則問題轉(zhuǎn)化為與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，則，所以，即，畫出函數(shù)圖象如下所示：因?yàn)榉匠逃腥齻€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖可知，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：47．（2023秋·江蘇連云港·高三東?？h第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】作出圖象，令，可知方程有個(gè)不等實(shí)根，采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)的分布可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示，令，關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)根，方程有個(gè)不同的實(shí)根，，解得：或；與與共有個(gè)交點(diǎn)，不妨令，又，或，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，不等式組無(wú)解；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，解題的基本思路是通過換元法和數(shù)形結(jié)合的方式，將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布的問題，通過兩根的范圍，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布的知識(shí)來構(gòu)造不等式組求解.考點(diǎn)六比較零點(diǎn)大小48．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知：的零點(diǎn)，那么a，b，大小關(guān)系可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可設(shè)，作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合它們的零點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，可判斷出答案.【詳解】由題意：的零點(diǎn)，則，令，則，而，則其圖象可由圖象向下平移2個(gè)單位得到，故可作出函數(shù)的大致圖象如圖：由此可知應(yīng)介于兩數(shù)之間，結(jié)合選項(xiàng)可知可能的結(jié)果為，故B，C，D錯(cuò)誤，A正確，故選：A49．【多選】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，的零點(diǎn)分別為，，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、的對(duì)稱性知與關(guān)于直線對(duì)稱，利用指數(shù)冪、對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)計(jì)算依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，圖象也關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)與圖象的交點(diǎn)為A，與圖象的交點(diǎn)為，則與關(guān)于直線對(duì)稱，則，．因?yàn)椋?，則，即，因?yàn)榈膱D象與直線的交點(diǎn)為，所以，，，則．故選：ABD.50．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，的零點(diǎn)分別是，，，則，，的大小順序是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將函數(shù)的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象分別與函數(shù)、、的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用數(shù)形結(jié)合法求解．【詳解】解：函數(shù)，，的零點(diǎn)，即為函數(shù)分別與函數(shù)、、的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖所示：由圖可得.故選：B51．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為a，b，c，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別令、、，根據(jù)函數(shù)定義域可得的范圍，從而求出的范圍可得答案.【詳解】令，可得，因?yàn)?，所以，，可得，所以；令，可得，因?yàn)?，所以，，可得，所以；令，可得，因?yàn)椋?，，可得，所以；綜上，.故選：A.52．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用零點(diǎn)存在定理計(jì)算出、的取值范圍，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出，即可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，且，，因?yàn)椋闪泓c(diǎn)存在定理可知；構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，且，，因?yàn)椋闪泓c(diǎn)存在定理可知.因?yàn)?，則，因此，.故選：B.53．【多選】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)零點(diǎn)的性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)求交點(diǎn)問題，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及對(duì)數(shù)運(yùn)算以及單調(diào)性，可得答案.【詳解】函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)即函數(shù)與的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如下圖：則，，即，，故D錯(cuò)誤；由圖可知，且，，則，由，，則，即，可得，即，故A、C正確，B錯(cuò)誤.故選：AC.考點(diǎn)七求零點(diǎn)的和54．（2023秋·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（

）A．0 B．3 C．10 D．13【答案】D【分析】令，根據(jù)，求得或，再根據(jù)和，結(jié)合分段函數(shù)的解析式，即可求解.【詳解】令，由得或，所以或，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，則或，解得，所以函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為.故選：D.55．（2023秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且曲線與曲線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)的零點(diǎn)之和是（

）A．2 B．－2 C．4 D．－4【答案】A【分析】判斷函數(shù)和的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即可判斷曲線與曲線有且只有的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合函數(shù)圖象交點(diǎn)與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，可得函數(shù)的零點(diǎn)之和.【詳解】由題意定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，則的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移一個(gè)單位得到，故的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，又曲線與曲線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，故這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2，而函數(shù)的零點(diǎn)即為曲線與曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故函數(shù)的零點(diǎn)之和是2，故選：A56．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)二十中校考開學(xué)考試）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的所有零點(diǎn)之和為（

）A． B．32 C．16 D．8【答案】D【分析】由題意可得是偶函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)都是以相反數(shù)的形式成對(duì)出現(xiàn)的，從而函數(shù)在上所有的零點(diǎn)的和為0，則函數(shù)在上所有的零點(diǎn)的和，即函數(shù)在上所有的零點(diǎn)之和，即方程在上的所有實(shí)數(shù)解之和，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案．【詳解】∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴.又∵函數(shù)，∴∴函數(shù)是偶函數(shù)，∴函數(shù)的零點(diǎn)都是以相反數(shù)的形式成對(duì)出現(xiàn)的.∴函數(shù)在上所有的零點(diǎn)的和為0，∴函數(shù)在上所有的零點(diǎn)的和，即函數(shù)在上所有的零點(diǎn)之和.即方程在上的所有實(shí)數(shù)解之