新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題三 數(shù)列第4講 素養(yǎng)提升之?dāng)?shù)列新情境、新考法專項(xiàng)沖刺 解析版

第4講素養(yǎng)提升之?dāng)?shù)列新情境、新考法專項(xiàng)沖刺目錄一、新情境角度1：緊跟社會熱點(diǎn)角度2：關(guān)注經(jīng)濟(jì)發(fā)展角度3：聚焦科技前沿角度4：結(jié)合生產(chǎn)實(shí)踐角度5：滲透數(shù)學(xué)文化角度6：強(qiáng)調(diào)五育并舉二、新考法角度1：以高觀點(diǎn)為背景角度2：以給定定義、熱點(diǎn)信息為背景角度3：考查開放、探究精神角度4：考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析得核心素養(yǎng)角度5：相近學(xué)科融合一、新情境角度1：緊跟社會熱點(diǎn)1．（2022·陜西·漢陰縣第二高級中學(xué)一模（理））南京市地鐵S8號線經(jīng)擴(kuò)建后于2022年國慶當(dāng)天正式運(yùn)行，從起點(diǎn)站長江大橋北站到終點(diǎn)站金牛湖站總行程大約為51.3千米，小張是陜西來南京游玩的一名旅客，從起點(diǎn)站開始，他利用手機(jī)上的里程表測出前兩站的距離大約為2千米，以后每經(jīng)過一站里程約增加0.1千米，據(jù)此他測算出本條地鐵線路的站點(diǎn)（含起始站與終點(diǎn)站）數(shù)一共有（

）A．18 B．19 C．21 D．22【答案】B【詳解】由題意設(shè)前兩站的距離為SKIPIF1<0千米，第二站與第三站之間的距離為SKIPIF1<0千米，…，第n站與第SKIPIF1<0站之間的距離為SKIPIF1<0千米，則SKIPIF1<0是等差數(shù)列，首項(xiàng)是SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則站點(diǎn)數(shù)一共有19個.故選：B.2．（2022·江蘇連云港·高二期末）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（簡稱ICME-7）的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中SKIPIF1<0，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，記SKIPIF1<0的長度構(gòu)成的數(shù)列為SKIPIF1<0，由此數(shù)列的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由題意知，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0都是直角三角形，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0.故選：B．3．（2022·浙江衢州·高三階段練習(xí)）衢州市某中學(xué)開展做數(shù)學(xué)題猜SKIPIF1<0密碼益智活動.已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)SKIPIF1<0，現(xiàn)將數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中所有的項(xiàng)混在一起，按照從小到大的順序排成數(shù)列SKIPIF1<0，若滿足SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，若該中學(xué)SKIPIF1<0密碼為SKIPIF1<0計(jì)算結(jié)果小數(shù)點(diǎn)的后6位，則該中學(xué)的WiFi的密碼為（

）A．461538 B．255815 C．037036 D．255813【答案】D【詳解】由題意，數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)SKIPIF1<0，可得數(shù)列SKIPIF1<0由數(shù)字SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)SKIPIF1<0，可得數(shù)列SKIPIF1<0由數(shù)字SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時數(shù)列SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時數(shù)列SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0；SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時數(shù)列SKIPIF1<0前38項(xiàng)中有SKIPIF1<0的前32項(xiàng)和數(shù)列SKIPIF1<0的前6項(xiàng)構(gòu)成，此時SKIPIF1<0SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，經(jīng)驗(yàn)證：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，不符合題意，當(dāng)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，此時首次滿足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，所以該中學(xué)的SKIPIF1<0的密碼為255813.故選：D.4．（2022·廣西桂林·高三開學(xué)考試（理））在2022北京冬奧會開幕式上，二十四節(jié)氣倒計(jì)時驚艷亮相，與節(jié)氣相配的14句古詩詞，將中國人獨(dú)有的浪漫傳達(dá)給了全世界.我國古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同，即太陽照射物體影子的長度增長或減少的量相同，周而復(fù)始（晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度），二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，已知雨水的晷長為9.5尺，立冬的晷長為10.5尺，則大雪所對的晷長為（

）A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺【答案】B【詳解】設(shè)相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量為SKIPIF1<0，則立冬到大雪增加SKIPIF1<0，大雪到雨水先增加一個SKIPIF1<0再減少SKIPIF1<0,設(shè)大雪的晷長為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,故選：B.角度2：關(guān)注經(jīng)濟(jì)發(fā)展1．（2022·山東煙臺·高三期中）為響應(yīng)國家加快芯片生產(chǎn)制造進(jìn)程的號召，某芯片生產(chǎn)公司于2020年初購買了一套芯片制造設(shè)備，該設(shè)備第1年的維修費(fèi)用為20萬元，從第2年到第6年每年維修費(fèi)用增加4萬元，從第7年開始每年維修費(fèi)用較上一年上漲25%．設(shè)SKIPIF1<0為第n年的維修費(fèi)用，SKIPIF1<0為前n年的平均維修費(fèi)用，若SKIPIF1<0萬元，則該設(shè)備繼續(xù)使用，否則從第n年起需對設(shè)備進(jìn)行更新，該設(shè)備需更新的年份為（

）A．2026 B．2027 C．2028 D．2029【答案】C【詳解】設(shè)前n年的總維修費(fèi)用為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即前6年可繼續(xù)使用.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0計(jì)算得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故從第9年起需對設(shè)備進(jìn)行更新，更新的年份為SKIPIF1<0.故選：C.2．（2022·甘肅·永昌縣第一高級中學(xué)高二期中）冰墩墩作為北京冬奧會的吉祥物特別受歡迎，官方旗艦店售賣冰墩墩運(yùn)動造型多功能徽章，若每天售出件數(shù)成遞增的等差數(shù)列，其中第1天售出10000件，第21天售出15000件；價格每天成遞減的等差數(shù)列，第1天每件100元，第21天每件60元，則該店第__________天收入達(dá)到最高.【答案】6【詳解】設(shè)第n天售出件數(shù)為SKIPIF1<0,設(shè)第n天價格為SKIPIF1<0.由題意,SKIPIF1<0均為等差數(shù)列,設(shè)公差分別為SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.假設(shè)第n天的收入為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0取最大值,即第6天收入達(dá)到最高.故答案為：6角度3：聚焦科技前沿1．（2022·陜西·虢鎮(zhèn)中學(xué)高二階段練習(xí)）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造衛(wèi)星.為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列｛bn｝：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0……依次類推，其中SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A錯誤；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故B錯誤；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C錯誤；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故D正確；故選：D角度4：結(jié)合生產(chǎn)實(shí)踐1．（2022·山西呂梁·高三階段練習(xí)）習(xí)近平總書記在黨的二十大報告中提出：堅(jiān)持以人民為中心發(fā)展教育，加快建設(shè)高質(zhì)量教育體系，發(fā)展素質(zhì)教育，促進(jìn)教育公平，加快義務(wù)教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展和城鄉(xiāng)一體化．某師范大學(xué)學(xué)生會為貫徹黨的二十大精神，成立“送教下鄉(xiāng)志愿者服務(wù)社”，分期分批派遣大四學(xué)生赴鄉(xiāng)村支教．原計(jì)劃第一批派遣20名學(xué)生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人數(shù)暴漲，服務(wù)社臨時決定改變派遣計(jì)劃，具體規(guī)則為：把原計(jì)劃擬派遣的各批人數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列記為SKIPIF1<0，在數(shù)列SKIPIF1<0的任意相鄰兩項(xiàng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0）之間插入SKIPIF1<0個3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個新的數(shù)列SKIPIF1<0．按新數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)依次派遣支教學(xué)生．記SKIPIF1<0為派遣了70批學(xué)生后支教學(xué)生的總數(shù)，則SKIPIF1<0的值為（

）A．387 B．388 C．389 D．390【答案】A【詳解】∵數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵在任意相鄰兩項(xiàng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0）之間插入SKIPIF1<0個3，∴其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間插入2個3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間插入4個3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間插入8個3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間插入16個3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間插入32個3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間插入64個3，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0的前70項(xiàng)含有SKIPIF1<0前6項(xiàng)和64個3，故SKIPIF1<0．故選：A.角度5：滲透數(shù)學(xué)文化1．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期中）一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的實(shí)心塔群，共分十二階梯式平臺，自上而下一共12層，每層的塔數(shù)均不少于上一層的塔數(shù)，總計(jì)108座．已知其中10層的塔數(shù)成公差不為零的等差數(shù)列，剩下兩層的塔數(shù)之和為8，則第11層的塔數(shù)為（

）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】A【詳解】設(shè)成為等差數(shù)列的其中10層的塔數(shù)為：SKIPIF1<0，由已知得，該等差數(shù)列為遞增數(shù)列，因?yàn)槭Ｏ聝蓪拥乃?shù)之和為8，故剩下兩層中的任一層，都不可能是第十二層，所以，第十二層塔數(shù)必為SKIPIF1<0；故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①；又由SKIPIF1<0②，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，①+②得，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0觀察答案，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0滿足條件，所以，SKIPIF1<0；組成等差數(shù)列的塔數(shù)為：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；剩下兩層的塔數(shù)之和為8，只能為2，6.所以，十二層的塔數(shù)，從上到下，可以如下排列：1，2，3，5，6，7，9，11，13，15，17，19；其中第二層的2和第五層的6不組成等差數(shù)列，滿足題意，則第11層的塔數(shù)為17.故答案選：A2．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）在2022年北京冬殘奧會閉幕式上，出現(xiàn)了天干地支時辰鐘表盤.天干地支紀(jì)法源于中國，不僅用于紀(jì)時紀(jì)日，也可用于紀(jì)年.天干地支具體分為十天干與十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干地支紀(jì)年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，SKIPIF1<0，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”.橙子輔導(dǎo)創(chuàng)立于1933年（癸酉），以此類推即將迎來的九十周年校慶的2023年為（

）A．壬寅 B．壬卯 C．癸寅 D．癸卯【答案】D【詳解】天干是以10為構(gòu)成的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，從1933年到2023年經(jīng)過90年，且1933年為癸酉，以1933年的天干和地支分別為首項(xiàng)，又SKIPIF1<0，則2023年的天干是癸又SKIPIF1<0，則2023年的地支是卯所以即將迎來的九十周年校慶的2023年為癸卯故選：D3．（2022·江蘇省蘇州第十中學(xué)校高二階段練習(xí)）分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦·B·曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路．下圖是按照，的分形規(guī)律生長成的一個樹形圖，則第10行的實(shí)心圓點(diǎn)的個數(shù)是（

）A．89 B．55 C．34 D．144【答案】C【詳解】設(shè)第SKIPIF1<0行實(shí)心圓點(diǎn)的個數(shù)為SKIPIF1<0，由題圖可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故選：C．4．（2022·安徽·阜陽師范大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）山西大同的遼金時代建筑華嚴(yán)寺的大雄寶殿共有9間，左右對稱分布，最中間的是明間，寬度最大，然后向兩邊均依次是次間?次間?梢間?盡間.每間寬度從明間開始向左右兩邊均按相同的比例逐步遞減，且明間與相鄰的次間的寬度比為SKIPIF1<0.若設(shè)明間的寬度為SKIPIF1<0，則該大殿9間的總寬度為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由題意,設(shè)明間的寬度SKIPIF1<0為等比數(shù)列的首項(xiàng),從明間向右共5間,寬度成等比數(shù)列,公比為SKIPIF1<0,同理從明間向左共5間,寬度成等比數(shù)列,公比為SKIPIF1<0,則由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0所以總寬度為SKIPIF1<0故選:SKIPIF1<05．（2022·吉林·遼源市第五中學(xué)校高二階段練習(xí)）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地.”則該人第一天走的路程為（

）A．63里 B．126里 C．192里 D．228里【答案】C【詳解】由已知，設(shè)等比數(shù)列首項(xiàng)為SKIPIF1<0，前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，

公比為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，等比數(shù)列首項(xiàng)SKIPIF1<0.故選：C.6．（2022·吉林·遼源市第五中學(xué)校高二階段練習(xí)）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：SKIPIF1<0，從第三項(xiàng)起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，即SKIPIF1<0，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列SKIPIF1<0稱為“斐波那契數(shù)列”.記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B.7．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測（文））謝爾賓斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出.先取一個實(shí)心正三角形，挖去一個“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一個“中心三角形”，我們用白色三角形代表挖去的面積，那么黑色三角形為剩下的面積（我們稱黑色部分為謝爾賓斯基三角形）.用上面的方法可以無限操作下去，操作1次得到第2個圖案，操作2次得到第3個圖案……，若最大的三角形邊長為2，則操作4次后得到的第5個圖案中挖去的白色三角形個數(shù)為___________，挖去的面積為___________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【詳解】觀察圖中黑色三角形以及白色三角形的個數(shù)，設(shè)白色三角形個數(shù)為SKIPIF1<0，黑色三角形個數(shù)為SKIPIF1<0，可以知道SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即操作4次后得到的第5個圖案中挖去的白色三角形個數(shù)為40；由題意可知，設(shè)圖中黑色三角形面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，每次挖去的白色三角形面積都是上一個圖形中對應(yīng)的黑色三角形面積的SKIPIF1<0，故每次操作后圖中剩余黑色三角形的面積都是上一個圖中黑色部分面積的SKIPIF1<0，故圖中黑色三角形面積構(gòu)成首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，故操作4次后得到的第5個圖案中黑色三角形面積為SKIPIF1<0，則挖去的面積為SKIPIF1<0，故答案為：40；SKIPIF1<08．（2022·湖北·丹江口市第一中學(xué)模擬預(yù)測）四色定理又稱四色猜想、四色問題，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一．地圖四色定理最先是由一位叫古德里的英國大學(xué)生提出來的．四色定理的內(nèi)容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色．”某同學(xué)在橫格紙上研究填涂藍(lán)、紅、黃、綠4種顏色問題，如圖，第1行有1個格子，第2行有2個格子，…，第n行有n個格子，將4種顏色在每行中分別進(jìn)行涂色，每行相鄰的格子顏色不同，記SKIPIF1<0為第k行不同涂色種數(shù)，則SKIPIF1<0_____，SKIPIF1<0________．【答案】

324

SKIPIF1<0【詳解】由分步計(jì)數(shù)原理知每行的第一個格子有4重涂法，其余每個格子均有3種涂法，故SKIPIF1<0種，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0①，所以SKIPIF1<0②，①-②得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故答案為：324，SKIPIF1<0角度6：強(qiáng)調(diào)五育并舉1．（2022·陜西·渭南市三賢中學(xué)高二期中）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉．圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是舉，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線SKIPIF1<0的斜率為0.725，則SKIPIF1<0（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】B【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，依題意，有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故選：B2．（2022·福建三明·高二階段練習(xí)）定義各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0的“美數(shù)”為SKIPIF1<0.若各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0的“美數(shù)”為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)楦黜?xiàng)為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0的“美數(shù)”為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，滿足式子SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在邊長為243的正三角形三邊上，分別取一個三等分點(diǎn)，連接成一個較小的正三角形，然后在較小的正三角形中，以同樣的方式形成一個更小的正三角形，如此重復(fù)多次，得到如圖所示的圖形（圖中共有10個正三角形），其中最小的正三角形的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】設(shè)第n個正三角形的邊長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由勾股定理知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首項(xiàng)為243，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故最小的正三角形的面積為SKIPIF1<0.故選：A4．（2022·廣東·深圳市第七高級中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，SKIPIF1<0是一塊半徑為SKIPIF1<0的半圓形紙板，在SKIPIF1<0的左下端剪去一個半徑為SKIPIF1<0的半圓后得到圖形SKIPIF1<0，然后依次剪去一個更小的半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得圖形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，…，記第SKIPIF1<0塊紙板SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______，如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，那么SKIPIF1<0的取值范圍是______．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【詳解】第一塊紙板的面積為SKIPIF1<0，第二塊紙板的面積為SKIPIF1<0，第三塊紙板的面積為SKIPIF1<0，……，第SKIPIF1<0塊紙板的面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，要使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，只需SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.5．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）“刺繡”是一門傳統(tǒng)手工藝術(shù)，我國已有多種刺繡列入世界非遺文化遺產(chǎn)名錄．有一種刺繡的圖案由一筆畫構(gòu)成，很像漢字“回”，稱為“回紋圖”（如圖）．某刺繡工在方格形布料上用單線針法繡回紋圖，共進(jìn)行了SKIPIF1<0次操作，每次操作在前一次基礎(chǔ)上向外多繡一圈(前三次操作之后的圖案分別如下圖)．若第SKIPIF1<0次操作之后圖案所占面積為SKIPIF1<0（即最外圍不封口的矩形面積，如SKIPIF1<0），則至少操作_______次，SKIPIF1<0不少于SKIPIF1<0；若每橫向或縱向一個單位長度繡一針，稱為“走一針”，如圖①共走了SKIPIF1<0針，如圖②共走了SKIPIF1<0針，如圖③共走了SKIPIF1<0針，則其第SKIPIF1<0次操作之后的回紋圖共走了______________針（用SKIPIF1<0表示）．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【詳解】由題意得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），故至少操作5次；由圖形可以看出，第1次操作之后的回紋圖共走的針數(shù)為SKIPIF1<0，第2次操作之后的回紋圖共走的針數(shù)為SKIPIF1<0，第3次操作之后的回紋圖共走的針數(shù)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0第n次操作之后的回紋圖共走的針數(shù)為SKIPIF1<0故答案為：5，SKIPIF1<06．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））某校在研究民間剪紙藝術(shù)時，經(jīng)常會沿著紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為SKIPIF1<0的長方形紙，對折一次可以得到SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩種規(guī)格的圖形，他們的周長之和為SKIPIF1<0，對折二次可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三種規(guī)格的圖形，他們的周長之和為SKIPIF1<0，以此類推，則折疊SKIPIF1<0次后能得到的所有不同圖形的周長和SKIPIF1<0為___________SKIPIF1<0，如果對折SKIPIF1<0次后，能得到的所有圖形的周長和記為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________SKIPIF1<0.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【詳解】對折三次可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四種規(guī)格的圖形，對折四次可得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0五種規(guī)格的圖形，對折五次可得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0六種規(guī)格的圖形，周長和SKIPIF1<0為：SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由累加法可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.二、新考法角度1：以高觀點(diǎn)為背景1．（2022·寧夏·銀川一中高三階段練習(xí)（文））英國物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則稱數(shù)列SKIPIF1<0為牛頓數(shù)列，如果SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0為牛頓數(shù)列，設(shè)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】依題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，依題意SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，兩邊取對數(shù)得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A2．（2022·廣東廣州·高二期中）對于數(shù)列SKIPIF1<0定義：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），稱數(shù)列SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的SKIPIF1<0階差分?jǐn)?shù)列.如果SKIPIF1<0（常數(shù)）（SKIPIF1<0），那么稱數(shù)列SKIPIF1<0是SKIPIF1<0階等差數(shù)列.現(xiàn)在設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0是2階等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為_________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】根據(jù)題意：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<03．（2022·吉林·遼源市第五中學(xué)校高二階段練習(xí)）對給定的數(shù)列SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則稱數(shù)列SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的一階商數(shù)列；記SKIPIF1<0，則稱數(shù)列SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的二階商數(shù)列；以此類推，可得數(shù)列SKIPIF1<0的P階商數(shù)列SKIPIF1<0，已知數(shù)列SKIPIF1<0的二階商數(shù)列的各項(xiàng)均為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：由數(shù)列SKIPIF1<0的二階商數(shù)列的各項(xiàng)均為SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0是以1為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<04．（2022·上?！じ叨谥校┒x:對于任意數(shù)列SKIPIF1<0,假如存在一個常數(shù)SKIPIF1<0使得對任意的正整數(shù)SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,則稱SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的“上漸近值”．已知數(shù)列SKIPIF1<0有SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù),且SKIPIF1<0）,它的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0,并且滿足SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,記數(shù)列SKIPIF1<0的“上漸近值”為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的值為_____．【答案】SKIPIF1<0##-0.5【詳解】解:當(dāng)SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,得到SKIPIF1<0,根據(jù)累乘法:SKIPIF1<0;滿足n=1情況，故而數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為0,公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<05．（2022·四川資陽·高一期末）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，通常是一個粗糙或零碎的幾何形狀，并可以分成數(shù)個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小后的形狀，即具有自相似的特征．如圖，有一列曲線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，…，且SKIPIF1<0是邊長為1的等邊三角形，SKIPIF1<0是對SKIPIF1<0進(jìn)行如下操作而得到：將曲線SKIPIF1<0的每條邊進(jìn)行三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉SKIPIF1<0記曲線SKIPIF1<0的周長依次為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，…，則SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0.【詳解】由題意可知，第1個圖形的邊長為1，第2個圖形的邊長為第1個圖形邊長的SKIPIF1<0，第3個圖形的邊長又是第2個圖形邊長的SKIPIF1<0，……，所以各個圖形的邊長構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，所以第SKIPIF1<0個圖形的邊長為SKIPIF1<0，由圖可知，各個圖形的邊數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為3，公比為4的等比數(shù)列，所以第SKIPIF1<0個圖形的邊數(shù)為SKIPIF1<0，所以第SKIPIF1<0個圖形的周長為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0角度2：以給定定義、熱點(diǎn)信息為背景1．（2022·山東聊城·高三期中）若函數(shù)SKIPIF1<0使得數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，則稱函數(shù)SKIPIF1<0為“數(shù)列保增函數(shù)”．已知函數(shù)SKIPIF1<0為“數(shù)列保增函數(shù)”，則a的取值范圍為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由題意，對SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，對SKIPIF1<0恒成立，由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0.故選：B2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對于數(shù)列SKIPIF1<0，定義SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的“好數(shù)”，已知某數(shù)列SKIPIF1<0的“好數(shù)”SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】解：由題意，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0對上式也成立，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，故SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立可化為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：D．3．（2022·河南三門峽·高三階段練習(xí)（文））定義：如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的和構(gòu)成一個等比數(shù)列，則稱該數(shù)列為“和等比”數(shù)列。已知“和等比數(shù)列SKIPIF1<0的前三項(xiàng)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前11項(xiàng)和SKIPIF1<0________．【答案】1365【詳解】依題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此等比數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)是2，公比為2，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：13654．（2022·福建寧德·高三期中）對于數(shù)列{SKIPIF1<0}，若對任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，則稱該數(shù)列{SKIPIF1<0}為“凸數(shù)列”．設(shè)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是凸數(shù)列，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是“上凸數(shù)列”，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0則SKIPIF1<0單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時，取最小值SKIPIF1<0故SKIPIF1<0又當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，故選：D5．（2022·遼寧·沈陽市第四中學(xué)高三階段練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，高階等差數(shù)中前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，2，5，10，17，26，37，則該數(shù)列的第19項(xiàng)為（

）A．290 B．325 C．362 D．399【答案】B【詳解】設(shè)該數(shù)列為SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…可知該數(shù)列逐項(xiàng)差數(shù)之差SKIPIF1<0成等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，上式相加，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：B.角度3：考查開放、探究精神1．（2022·上海·高二專題練習(xí)）如圖，在邊長為1的正三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得正三角形SKIPIF1<0，以此類推可得正三角形SKIPIF1<0正三角形SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__．【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)檎切蜸KIPIF1<0的邊長為1，所以SKIPIF1<0，在邊長為1的正三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0，同理可求：SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相似，相似比為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．同理可求：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0構(gòu)成一個首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．2．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）如果數(shù)列1，6，15，28，45，SKIPIF1<0中的每一項(xiàng)都可用如圖所示的六邊形表示出來，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么第9個六邊形數(shù)為______．【答案】153【詳解】解：因?yàn)椋?，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；即這些六邊形數(shù)是由首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列的和組成的；所以：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0第9個六邊形數(shù)為：SKIPIF1<0．故答案為：153．3．（2022·湖南岳陽·高三階段練習(xí)）將正整數(shù)SKIPIF1<0分解為兩個正整數(shù)SKIPIF1<0的積，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0兩數(shù)差的絕對值最小時，我們稱其為最優(yōu)分解.如SKIPIF1<0即為6的最優(yōu)分解，當(dāng)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的最優(yōu)分解時，定義SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前100項(xiàng)和為___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時，由于SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，由于SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的前100項(xiàng)和為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<04．（2022·全國·高三專題練習(xí)）中國古代數(shù)學(xué)史有許多光輝燦爛的篇章，“楊輝三角”就是其中十分精彩的一頁．如圖所示，在“楊輝三角”中，斜線SKIPIF1<0上方箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形的數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，…，記這個數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．【答案】285【詳解】SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，上面各式相加可得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案為：285．5．（2022·上海·華師大二附中高一期末）如圖，在邊長為1的正三角形ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得正三角形SKIPIF1<0，以此類推可得正三角形SKIPIF1<0