新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)強化練習(xí)專題20 解析幾何中的范圍、最值和探索性問題（練）（解析版）

第一篇熱點、難點突破篇專題20解析幾何中的范圍、最值和探索性問題（練）【對點演練】一、單選題1．（2023秋·江蘇揚州·高三揚州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標系xOv中，M為雙曲線SKIPIF1<0右支上的一個動點，若點M到直線SKIPIF1<0的距離大于m恒成立，則實數(shù)m的最大值為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．2SKIPIF1<0【答案】B【分析】先求出漸近線方程，利用平行線直接的距離公式即可求解.【詳解】由點M到直線SKIPIF1<0的距離大于m恒成立，可得點M到直線SKIPIF1<0的最近距離大于m.因為雙曲線的漸近線為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0即為最近距離，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：B2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點P在拋物線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）．A．2 B．SKIPIF1<0 C．3 D．4【答案】A【分析】設(shè)SKIPIF1<0，利用兩點間的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等，所以SKIPIF1<0的最小值為2，故選：A3．（2023秋·河南信陽·高三信陽高中校考期末）已知點SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0上任意一點，則點SKIPIF1<0到拋物線SKIPIF1<0的準線和直線SKIPIF1<0的距離之和的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．5【答案】C【分析】點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，到準線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，利用拋物線的定義得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0共線時，點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0和準線SKIPIF1<0的距離之和的最小，由點到直線的距離公式求得答案．【詳解】解：由拋物線SKIPIF1<0知，焦點SKIPIF1<0，準線方程為SKIPIF1<0，根據(jù)題意作圖如下；點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0；由拋物線的定義知：SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0和準線SKIPIF1<0的距離之和為SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0和準線SKIPIF1<0的距離之和最小值為SKIPIF1<0．故選：C．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0，若拋物線SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)題意可以求出SKIPIF1<0，再利用兩點間的距離公式表示出SKIPIF1<0，整理得到關(guān)于SKIPIF1<0的一個一元二次方程，利用根的判別式列出關(guān)于SKIPIF1<0的不等式，解不等式即可【詳解】SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0有非負實根SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0故選：A二、填空題5．（2023秋·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是其左、右焦點，點SKIPIF1<0在橢圓上且滿足SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為______.【答案】SKIPIF1<0【分析】由正弦定理可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則問題轉(zhuǎn)化為求SKIPIF1<0的最小值，即右焦點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離，即可得解.【詳解】解：在SKIPIF1<0中由正弦定理SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，要求SKIPIF1<0的最小值，即求SKIPIF1<0的最小值，則SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0垂直直線SKIPIF1<0且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間時取等號，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0．6.（2022秋·安徽·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0在同一象限，則SKIPIF1<0的最小值為_____．【答案】12【分析】設(shè)直線SKIPIF1<0，聯(lián)立拋物線方程可得到SKIPIF1<0，利用焦半徑公式化簡SKIPIF1<0，結(jié)合基本不等式，即可求得答案.【詳解】拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為圓心以3為半徑，由題意可知直線l不與y軸垂直，設(shè)直線SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，即SKIPIF1<0的最小值為12，故答案為：127．（2022·湖南·模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0，點P滿足SKIPIF1<0，動點M，N滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是____________．【答案】3【分析】以SKIPIF1<0的中點O為坐標原點，SKIPIF1<0的中垂線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，由雙曲線定義得點P的軌跡是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為焦點，實軸長為6的雙曲線的左支，然后根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，數(shù)量積的運算律求解．【詳解】以SKIPIF1<0的中點O為坐標原點，SKIPIF1<0的中垂線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，則SKIPIF1<0，由雙曲線定義可知，點P的軌跡是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為焦點，實軸長為6的雙曲線的左支，即點P的軌跡方程為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值是3．故答案為：3.三、解答題8．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）已知橢圓SKIPIF1<0的左，右焦點分別為SKIPIF1<0，上頂點為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為等邊三角形．經(jīng)過焦點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0的周長為8．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)求SKIPIF1<0的面積的最大值及此時直線SKIPIF1<0的方程．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)最大值3，此時直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.【分析】（1）由SKIPIF1<0為等邊三角形，得到SKIPIF1<0，由橢圓定義得到SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，進而求出SKIPIF1<0，得到橢圓方程；（2）推理出直線SKIPIF1<0斜率不為0，設(shè)出直線SKIPIF1<0，聯(lián)立橢圓方程，求出兩根之和，兩根之積，表達出SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，換元后結(jié)合基本不等式求出最大值及此時直線SKIPIF1<0的方程.【詳解】（1）由SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0；（2）由（1）知SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0斜率不為0．設(shè)直線SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0面積SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．即當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值3，此時直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．9．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動，在我國源遠流長.某些折紙活動蘊含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）步驟1：設(shè)圓心是，在圓內(nèi)異于圓心處取一點，標記為；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點；步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；步驟4：不停重復(fù)步驟2和3，就能得到越來越多的折痕.已知這些折痕所圍成的圖形是一個橢圓.若取半徑為6的圓形紙片，設(shè)定點到圓心的距離為4，按上述方法折紙.(1)以點、所在的直線為軸，建立適當?shù)淖鴺讼?，求折痕圍成的橢圓的標準方程；(2)若過點且不與軸垂直的直線與橢圓交于，兩點，在軸的正半軸上是否存在定點，使得直線，斜率之積為定值？若存在，求出該定點和定值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在點，使得直線與斜率之積為定值.【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義對照折紙的方法求出；（2）設(shè)直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，再根據(jù)斜率的定義求解即可.【詳解】（1）如圖，以所在的直線為軸，的中點為原點建立平面直角坐標系設(shè)為橢圓上一點，由題意可知，，所以點軌跡是以，為焦點，長軸長的橢圓，因為，，所以，，則，所以橢圓的標準方程為；（2）由已知：直線過，設(shè)的方程為，由題意m必定是存在的，聯(lián)立兩個方程得，消去得，得，設(shè)，，則，（*），，將（*）代入上式，可得上式，要使為定值，則有，，又∵，∴，此時，∴存在點，使得直線與斜率之積為定值；綜上，橢圓的標準方程為，存在點，使得直線與斜率之積為定值.10．（江西省上饒市六校2023屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）已知點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，且長軸長為4.(1)求橢圓C的方程：(2)過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓C相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，點SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸的對稱點為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸相交于點SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的面積的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由長軸長為4得SKIPIF1<0，再將SKIPIF1<0代入解方程可得SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0兩點坐標表示出直線SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0利用直線方程和韋達定理化簡得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，結(jié)合函數(shù)知識易得面積的取值范圍.【詳解】（1）因為長軸長為4，所以SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入解方程得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓C的方程為SKIPIF1<0；（2）易知直線SKIPIF1<0斜率存在且不為0，設(shè)直線SKIPIF1<0方程為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0化簡得SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0代回得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積的取值范圍為SKIPIF1<0.【沖刺提升】一、單選題1．（2022秋·四川成都·高三石室中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，與圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，且點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在同一象限，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【分析】確定拋物線焦點坐標和圓的圓心以及半徑，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，利用拋物線的焦半徑公式結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】由已知SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．顯然，直線SKIPIF1<0不與SKIPIF1<0軸垂直．圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0,半徑為3,設(shè)直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0．聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時等號成立，故SKIPIF1<0的最小值為12，故選：B二、多選題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上一動點，過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交橢圓于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，則下列說法正確的有（

）A．若SKIPIF1<0的垂直平分線過點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積的最大值為SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0的面積取最大值時的直線SKIPIF1<0不唯一，則SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】若SKIPIF1<0的垂直平分線過點SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，利用焦半徑公式可求得SKIPIF1<0點坐標，即可算出SKIPIF1<0，可判斷A錯誤；利用橢圓定義和三角形兩邊之和與差的關(guān)系可知當SKIPIF1<0四點共線時取到最小值為SKIPIF1<0，即B正確；設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，寫出SKIPIF1<0的面積表達式，再根據(jù)基本不等式即可得出面積最大值，可判斷C；若SKIPIF1<0的面積取最大值時的直線SKIPIF1<0不唯一，可知SKIPIF1<0面積取最大值時SKIPIF1<0的取值不唯一，利用基本不等式可得出SKIPIF1<0，進而確定SKIPIF1<0的取值范圍即可判斷D.【詳解】由題意可知，SKIPIF1<0，橢圓離心率SKIPIF1<0對于A，若SKIPIF1<0的垂直平分線過點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，由焦半徑公式可知，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0此時SKIPIF1<0，所以A錯誤；對于B，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0三點共線，如下圖所示：利用橢圓定義可知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0四點共線時等號成立；所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，所以B正確；對于C，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即為右焦點SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0聯(lián)立SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，所以SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的面積的最大值為SKIPIF1<0，所以C正確；對于D，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0聯(lián)立直線和橢圓方程整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0此時SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0而SKIPIF1<0若SKIPIF1<0的面積取最大值時的直線SKIPIF1<0不唯一，所以SKIPIF1<0取最大值時，滿足題意得SKIPIF1<0不止一個，即SKIPIF1<0等號成立當且僅當SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0成立而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，直線唯一不合題意，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即D正確.故選：BCD【點睛】方法點睛：解決圓錐曲線中三角形面積問題時，首先利用弦長公式或分割三角形寫出面積表達式，再合理變形利用基本不等式或?qū)?shù)求得面積最值，利用基本不等式時要注意等號成立的條件，即可將問題得到解決.三、填空題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0的焦點，過SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0與拋物線交于SKIPIF1<0兩點，以SKIPIF1<0為切點作兩條切線交于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積的最小值為___________.【答案】4【分析】設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立直線SKIPIF1<0與拋物線方程，得到關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系寫出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出兩條切線的斜率和方程，聯(lián)立兩切線方程求出SKIPIF1<0，利用平面向量的數(shù)量積為0判定SKIPIF1<0，再利用三角形的面積公式進行求解.【詳解】由題意，得SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即在點SKIPIF1<0處的切線斜率為SKIPIF1<0，方程為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即在點SKIPIF1<0處的切線斜率為SKIPIF1<0，方程為SKIPIF1<0；聯(lián)立SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時取等號）所以SKIPIF1<0的面積的最小值為4.故答案為：4.4．（2023秋·山東德州·高三統(tǒng)考期末）如圖所示，已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點，過SKIPIF1<0的直線與雙曲線的右支交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0的取值范圍為______；記SKIPIF1<0的內(nèi)切圓SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的內(nèi)切圓SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是______．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】分析可知直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸不重合，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，將直線SKIPIF1<0的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合已知條件求出SKIPIF1<0的取值范圍，可求得SKIPIF1<0的取值范圍；設(shè)圓SKIPIF1<0切SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別于點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，分析可知直線SKIPIF1<0的傾斜角取值范圍為SKIPIF1<0，推導(dǎo)出圓SKIPIF1<0、圓SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求得SKIPIF1<0的取值范圍.【詳解】設(shè)直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，在雙曲線SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故點SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸重合，則直線SKIPIF1<0與雙曲線交于該雙曲線的兩個實軸的端點，不合乎題意，所以，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸不重合，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由韋達定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0軸，此時SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0，不妨設(shè)點SKIPIF1<0在第一象限，則SKIPIF1<0；設(shè)圓SKIPIF1<0切SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別于點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線與雙曲線的右支交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，可知直線SKIPIF1<0的傾斜角取值范圍為SKIPIF1<0，由切線長定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的橫坐標為SKIPIF1<0.故點SKIPIF1<0的橫坐標也為SKIPIF1<0，同理可知點SKIPIF1<0的橫坐標為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0軸，故圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0均與SKIPIF1<0軸相切于SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0兩圓外切.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由直線SKIPIF1<0的傾斜角取值范圍為SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0單調(diào)遞增.因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.5．（2022秋·湖南株洲·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線E：SKIPIF1<0的焦點為F，過點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，與準線交于C點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____________；設(shè)點SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0上的任意一點，拋物線SKIPIF1<0的準線與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0點，在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為_____________．【答案】

SKIPIF1<0##1.5

SKIPIF1<0【分析】(1)根據(jù)三角形中位線定理即可求解；(2)根據(jù)拋物線的定義SKIPIF1<0取最大值即SKIPIF1<0最小，此時直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相切，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】過點SKIPIF1<0作準線的垂線，垂足為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，且SKIPIF1<0，則在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作準線的垂線，垂足為SKIPIF1<0，則可得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0取到最大值即SKIPIF1<0最小，此時直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相切，，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則切線斜率SKIPIF1<0，切線方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，切線過SKIPIF1<0，代入得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．四、解答題4．（2023·貴州·校聯(lián)考一模）已知橢圓過點，且離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)已知直線與橢圓交于不同的兩點P，Q，那么在x軸上是否存在點M，使且，若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)詳見解析【分析】（1）根據(jù)條件得到關(guān)于的方程組，即可求得橢圓方程；（2）首先直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理表示線段中點坐標，再根據(jù),以及，轉(zhuǎn)化為坐標表示，代入韋達定理后，即可求【詳解】（1）由條件可知，，解得：，，所以橢圓C的方程是；（2）假設(shè)在軸上存在點，使且，聯(lián)立，設(shè)，，方程整理為，，解得：或，，，則線段的中點的橫坐標是，中點縱坐標，即中點坐標，，則，即，化簡為，①又,則，，整理為，，化簡為②由①得，即，代入②得，整理得③，又由①得，代入③得，即，整理得，即.當時，，當時，，滿足，所以存在定點,此時直線方程是，當定點,此時直線方程是.5．（2023·福建·統(tǒng)考一模）已知橢圓的離心率為，其左焦點為．(1)求的方程；(2)如圖，過的上頂點作動圓的切線分別交于兩點，是否存在圓使得是以為斜邊的直角三角形？若存在，求出圓的半徑；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求橢圓標準方程即可；（2）假設(shè)存在圓滿足題意，當圓過原點時，直線與軸重合，直線的斜率為0，不合題意；不妨設(shè)為：，：，，，圓的半徑為，得圓心到直線的距離為，得，聯(lián)立直線與橢圓方程得，進而得，由得，即可解決.【詳解】（1）由題意設(shè)焦距為，則，由離心率為，所以，則，的方程為．（2）不存在，證明如下：假設(shè)存在圓滿足題意，當圓過原點時，直線與軸重合，直線的斜率為0，不合題意．依題意不妨設(shè)為：，：，，，圓的半徑為，則圓心到直線的距離為，即是關(guān)于的方程的兩異根，此時，再聯(lián)立直線與橢圓方程得，所以，即，得所以，同理由，得，由題意，，即，此時，所以，因為，所以方程無解，命題得證．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點為F，過點的直線與相交于A，B兩點.當直線經(jīng)過點時，點A恰好為線段PF的中點.(1)求的方程；(2)是否存在定點T，使得為常數(shù)?若存在，求出點T的坐標及該常數(shù)﹔若不存在，說明理由.【答案】(1)；(2)存在，，.【分析】（1）根據(jù)中點坐標公式求出點的坐標，代入拋物線方程即可得出的值；（2）假設(shè)存在，設(shè)，.聯(lián)立直線與拋物線的方程，得到，根據(jù)韋達定理求出，.進而整理得到，解，得出，即可得出定點坐標以及常數(shù)的值.【詳解】（1）解：因為，，且點A恰好為線段PF中點，所以，又因為A在C上，所以，即，解得，所以C的方程為.（2）解：存在定點，使得.假設(shè)存在定點T，使得為常數(shù).設(shè)，由題意可知直線斜率存在.設(shè)直線的斜率為，則的方程為，設(shè)，.聯(lián)立直線的方程以及拋物線的方程，可得.，所以且.由韋達定理可得，.又，，，.所以.由可得，.所以存在定點，使得為常數(shù)，此時.7．（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0滿足直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程，并說明SKIPIF1<0是什么曲線；(2)過坐標原點的直線交C于A，B兩點，點A在第一象限，SKIPIF1<0軸，垂足為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0并延長交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0.（i）證明：直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的斜率之積為定值；（ii）求SKIPIF1<0面積的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是一個長軸長為6，短軸長為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的橢圓(2)（i）證明見解析（ii）SKIPIF1<0【分析】（1）直接利用斜率公式即可求解；（2）（i）設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，根據(jù)坐標之間的聯(lián)系，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0聯(lián)立消SKIPIF1<0，運用韋達定理求出SKIPIF1<0的坐標，再利用斜率公式求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后代入SKIPIF1<0化簡即可證明；（ii）將點SKIPIF1<0SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0SKIPIF1<0，利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）依題知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0是一個長軸長為6，短軸長為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的橢圓.（2）（i）如圖所示：設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0兩點關(guān)于原點中心對稱，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0軸，垂足為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點，所以SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，由韋達定理得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的斜率之積為定值，其值為：SKIPIF1<0.（ii）由（i）知，SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，所以SKIPIF1<0面積的最大值為：SKIPIF1<0.【點睛】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．（3）強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．8．（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓右焦點SKIPIF1<0作兩條互相垂直的弦AB與CD，求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0.【分析】（1）根據(jù)題意，由離心率可得SKIPIF1<0的關(guān)系，再將點的坐標代入即可得到橢圓方程；（2）根據(jù)題意，先討論兩條弦中一條斜率為0時，另一條弦的斜率不存在，再討論兩條弦斜率均存在且不為0，此時設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立橢圓與直線SKIPIF1<0方程，結(jié)合韋達定理與弦長公式分別表示出弦長SKIPIF1<0與弦長SKIPIF1<0，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.設(shè)橢圓方程為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0.故橢圓方程為SKIPIF1<0.（2）①當兩條弦中一條斜率為0時，另一條弦的斜率不存在，易得其中一條弦為長軸SKIPIF1<0，另一條弦長為橢圓的通徑為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；②當兩條弦斜率均存在且不為0時，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，將直線SKIPIF1<0的方程代入橢圓方程中，并整理得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.綜合②可知，SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.9．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）已知橢圓SKIPIF1<0的左焦點為F，C上任意一點M到F的距離最大值和最小值之積為3，離心率為SKIPIF1<0.(1)求C的方程；(2)若過點SKIPIF1<0的直線l交C于A，B兩點，且點A關(guān)于x軸的對稱點落在直線SKIPIF1<0上，求n的值及SKIPIF1<0面積的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0.【分析】（1）由已知SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.根據(jù)已知得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)離心率值即可求出SKIPIF1<0的值；（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0.根據(jù)韋達定理求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.根據(jù)坐標表示出弦長SKIPIF1<0以及點SKIPIF1<0到直線l的距離SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0.進而根據(jù)基本不等式，結(jié)合SKIPIF1<0的范圍換元即可求出面積的最小值.【詳解】（1）解：由題意可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又橢圓C的離心率SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以橢圓C的方程為SKIPIF1<0.（2）解：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化簡整理得SKIPIF1<0①.設(shè)直線SKIPIF1<0，聯(lián)立直線與橢圓方程SKIPIF1<0