空間直線與平面的方程及其位置關(guān)系

空間直線與平面的方程以及位置關(guān)系高天儀20101105295數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)10級漢二班指導(dǎo)教師李樹霞摘要解析幾何中，在建立平面與空間直線的方程與討論他們的性質(zhì)時，充分運用了向量這一工具，通過向量來處理這類問題的好處是與坐標的選取是無關(guān)的。平面與空間直線方程的建立，就使得有關(guān)平面與空間直線的幾何問題轉(zhuǎn)化為這些稽核對象的方程的代數(shù)問題了。關(guān)鍵詞空間直線、方向向量、參數(shù)方程、方向數(shù)1空間直線的方程1.1直線的對稱式（點向式）方程空間給定了一點與一個非零向量,那么通過點且與向量平行的直線就被唯一確定,向量叫直線的方向向量.任何一個與直線平行的非零向量都可以作為直線的方向向量.直線過點,方向向量.設(shè)為上任意一點,,,由于與(非零向量)共線,則即（1.1-1）叫做直線的向量式參數(shù)方程，（其中t為參數(shù)）。如果設(shè)，又設(shè)，那么（1.1-1）式得（1.1-2）（1.1-1）叫做直線的坐標式參數(shù)方程。消參數(shù)t即得(1.1-3)則(1.1-3)叫做直線的對稱式方程或稱直線準方程。例1求通過空間兩點，的直線方程。解取作為直線的方向向量，設(shè)為直線上的任意點（如右圖），那么所以直線的向量式參數(shù)方程為：（1.1-4）坐標式參數(shù)方程為（1.1-5）對稱式方程為（1.1-6）方程（1.4-4）（1.4-5）（1.4-6）都叫做直線的兩點式方程。1.1.1直線的方向數(shù)①取直線的方向向量為,則直線的方程為(參數(shù)方程)或（1.1-7）標準方程（1.1-8）由此可見參數(shù)的幾何意義:為直線上點與點之間的距離.②直線的幾個問題Ⅰ.直線的方向角與方向余弦:直線的方向向量的方向角與方向.Ⅱ.直線的方向數(shù):直線的方向向量的分量X,Y,Z或與之成比例的一組數(shù)Ⅲ.直線的方向余弦與方向數(shù)之間的關(guān)系為原點O與平面I的距離。此時可以得到I的另一種方程表示，，稱為平面的法式方程，選取的稱為法化因子。它的幾何意義是：平面I是由所有的滿足在垂直于I的直線上投影向量為的點構(gòu)成的。若以給平面I的方程為則I的法式方程可以表示成其中法化因子，正負號的選取要使得。法式方程常用來處理和點與平面的距離有關(guān)的問題。3.3空間平面的參數(shù)方程（3.1.4—1）（3.1.4—2）從圖（3.1.4—2）中可以看出，平面I是由I上一點與兩個不共線的與I平行的向量a,b（或者說是I上兩個不共線的向量）所決定的。設(shè)I，，，a,b與I平行且。則空間中任意一點在I上，當(dāng)且僅當(dāng),a,b三向量共面。從而有實數(shù)k，m，使得或者使用分量來表示，則可得到（3.1.4—3）我們稱（3.1.4—3）為平面的參數(shù)方程，其中參數(shù)為k和m。從（3.1.4—3）中消去參數(shù)k，m，可以得到關(guān)于x,y,z的三元一次方程=03.4空間平面的截距式方程對于由方程所表示的平面I。假設(shè)I過原點O，即在I上當(dāng)且僅當(dāng)。若，則平面I可用方程（3.4—1）表示，其中，，分別為I與三個坐標軸的交點坐標。則我們稱（3.4—1）為平面的截距式方程。3空間中直線與平面的位置關(guān)系已知直線和平面的方程為現(xiàn)在我們來討論，，在上的充要條件。因為直線的方向向量與直線平行，平面的法向量與平面垂直，所以有如果時，和又有公共點，則就整個落在上了.因此有在上3.1空間直線與平面的交角設(shè)直線和平面的交角為.當(dāng)時，；當(dāng)時，；其他情況下，等于與它在上的射影直線所交的銳角.設(shè)是的方向向量與的法向量之間的夾角，則有或或因此在這兩種情況下，都有.已知直線和平面的方程為設(shè)和的交角為，則參考文獻[1]呂林根許子道.《解析幾何》第四版.高等教育出版社.2006.05.[2]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.《高等代數(shù)與解析幾何》.高等教育出版